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1、用反证法证明双生素数(p,p+k)猜想摘要 偶数N，k，素数pi、pr、P、p。2pipr，pr+kPN。在(pi -k)与(P-k)中，若P是以k为常数项、以pi为公差的等差数列中的素数P=k+pin，则(P-k)是可被pi整除的合数。本文用反证法证明，(P-k)中必有素数p，P=p+k。故双生素数(p，p+k)猜想成立。关键词 双生素数(p，p+k)猜想 反证法N、k偶数。N相对于k足够大。pi、pr、P、p素数。2pipr，i=1，2，r。r=()。pr+kPN。“偶数都可以表示为二个素数相减。”这就是常说的双生素数(p，p+k)猜想。本文取P=p+k，本文中也称双生素数(P-k，P)。
2、简称“1-1”。在(pi -k)与(P-k)中，(pi -k)的数量相对于(P-k)的数量可以忽略不计。本文只考虑p=P-k。若P是以k为常数项、以pi为公差的等差数列中的素数P=k+pin，则(P-k)是可被pi整除的合数。本文用反证法证明(P-k)中不可能都是合数，(P-k)中必有素数p，k=P-(P-k)=“1-1”成立。1 符号、引理、定理、推论。k用pi表示时：k=k(1)+e1p1=k(2)+e2p2=k(i)+eipi=k(r)+erpr。这些余数简称k(i)。pik时，k(i)=0。例如，2(i)=0、2、2、2、。4 (i)=0、1、4、4、。6(i)=0、0、1、6、6、。
3、P用pi表示时：P=P(i )+pin。常数项P(i )=1，2，3，(pi-1)。(见引理2。)例如，p1=2时，P(1)=1。p2=3时，P(2 )=1、2。p3=5时，P(3)=1、2、3、4。p4=7时，P(4)=1、2、3、4、5、6。引理1(等差数列中的素数定理) N时，末项不大于N的等差数列P(i )+pin中的素数数量(pi，P( i )，N)。引理2 素数P皆散布在以pi为公差的等差数列P(i )+pin之中。常数项P(i )=1、2、(pi -1)是其充分和必要的条件。证明 素数皆散布在正整数之中，正整数无遗漏地散布在0+pin、1+pin、2+pin、3+pin、(pi
4、-1)+pin这些以pi为公差的等差数列之中。当然，素数P也充分地散布在这些等差数列之中。P(i )中元素一个也不能少，若缺少其中的某一个元素，所缺少的素数数量都会是(pi，P(i )，N)。故P(i )=1、2、(pi-1)是P存在的充分的条件，也是必要的条件。证毕。定理1 若P是以k为常数项、以pi为公差的等差数列中的素数P=k+pin，(n2。)则(P-k)是含有素因数pi的合数。证明 P=k+pin。则(P-k)=npi2pi。(P-k)是含有素因数pi的合数。证毕。定理2 (k, p1p2pr)=2时，(P-k)中不可能都是合数，(P-k)中必定存在素数。证明 假设(所有P-k)都是
5、合数，即(所有P-k)=(所有P-( k(i)+eipi)= pin，移项后，就是：所有P= k(i)+eipi +pin= k(i)+(ei +n)pi，前面指出，P(i )与k(i)之间是不一样的，所以，原来的假设(所有P-k)都是合数不能成立。(所有P-k)中必定存在素数。证毕。推论1 在其它条件不变的情况下，若(k, p1p2pr)2时，则“1-1”的答案数量增多。证明 (k, p1p2pr)=2时，只有k(1)=0，要剔除其它的k(i)0所产生的P。(k, p1p2pr)2时，出现2pik，此时k(i)=0，不必剔除由这个pi产生的P。比较之下，数量增多。证毕。2 结论。(P-k)中必定存在素数p。故双生素数(P-k，P)，或者说双生素数(p，p+k)必定存在。N=P+(N-P)，用本方法还可以证明(N-P)中必定有素数，从而证明偶数哥德巴赫猜想。
