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1、用几何画板动态展示圆滚动周数的问题【摘要】在数学中考题和教科书中我们常常会遇到与圆滚动周数有关的问题，由于滚动是一种复合运动，包括滚动圆本身的自转及其沿着另一个几何图形的平移或旋转，故此类问题灵活性强，易被表面现象所迷惑，解题时易出现错误几何画板是动态教学软件，它能动态展现几何图形各个元素的内在联系，特别是一些动态的生成过程（如轨迹问题）本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用几何画板动态展示圆滚动的周数的问题【关键词】几何画板；圆滚动的周数；外切；内切我们常常会遇到一类与圆的滚动有关的问题，由于此类问题灵活性较强，且易被表面现象所迷惑，解题时极易出现
2、错误，有些同学感到难以理解，教师不知道如何解释。本文针对动圆与定圆外切、内切的两种情况，首先给出了一个简洁明快的分析过程，再介绍利用几何画板动态展示圆滚动的周数的问题。我们先引入概念：（1）动圆自转一周；（2）滚动。动圆自转一周，是指圆心移动的同时，圆的任一半径绕圆心旋转了，半径终止时的状态与起始时的状态成同向平行（从圆心出发指着同一方向）。滚动，是指一个物体（多为球形或圆柱形）在另一个物体上接触面不断改变的移动。滚动其实是一种复合运动，包括两种运动：一是滚动圆本身的自转；另外还有滚动圆沿着另一个几何图形的平移或旋转。由于在滚动过程中滚动圆除圆心外，其余各点相对于另一个几何图形的运动轨迹是变化
3、的，很难把握其规律，而圆心相对于另一个几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题，只要知道圆心轨迹的长度和滚圆的半径, 就可以按公式/求出滚圆自身滚动的圈数。1. 动圆与定圆外切的情况设半径为r的动圆D与半径为R的定圆A外切且作无滑动的滚动,当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时,求动圆自转的周数。图1分析 如右图1：当动圆自转1周，动圆从初始位置点D滚动圆，半径PD旋到，且，记，显然= 由于+ ，得 + 即得= 这表明动圆自转1周时，它的圆心描出的弧长恰好是动圆的周长，由此推出动圆自转的周数。当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时，动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之和为半径的圆，其路程
4、是，此时自转的周期。操作步骤（以定圆的半径R是动圆的半径 r的3倍为例）（1）新建画板，用【圆】工具在上绘制一个定圆A，作圆上一点C，依次选择点A、C，作射线AC，连接线段AC，并用【度量】|【长度】量出AC的长。（2）【数据】|【新建参数】设置参数，【数据】|【计算】出AC/t的值。（3）用【构造】|【以圆心和半径绘圆】作以点C为圆心、线段AC/t为半径的圆C，圆C与射线AC的外侧交点D；选中圆C，【显示】|【隐藏圆】将圆C隐藏，以同样的方法作以点D为圆心、线段AC/t为半径的动圆D。（4）在圆A上任取一点E,依次选择点A、E，作水平线上的射线AE，确定动圆D的初始位置；拖动点C时，将圆D标
5、签改为圆D1；选中点D1及射线AE，【构造】|【平行线】，所得平行线与圆D1左交点为F，连接线段D1F。 （5）依次选择点C、E和定圆A，用【构造】|【圆上的弧】作圆弧CE，【度量】|【弧长】量出CE的弧长；用【数据】|【计算】计算（CE的弧长/(AC/t)的长）1弧度，并将计算结果标记角度；以点D1为中心，标记角度为旋转角，将点C旋转到点E1，作弧CE1。（6）选依次选择点F、 E1和圆D1，用【构造】|【圆上的弧】作圆弧FE1；选中点C、D，【构造】|【轨迹】得圆D的圆心轨迹。（7）选择点C，【编辑】|【操作类按钮】|【动画】制作出动圆D运动的按钮，点击此按钮就可以欣赏到动圆是如何旋转4圈
6、的了。（8）度量弧CE、CF和DD1的弧长，并计算度量弧CE与弧CF之和，制成对应观察表；隐藏不需要的对象，美化界面如图2所示。图22.动圆与定圆内切的情况设半径为r的动圆与半径为R(Rr)的定圆内切且作无滑动的滚动，当动圆滚动了一周回到原处时，求动圆自转的周数。图3分析 如右图3：当动圆自转1周，动圆从初始位置点D滚动圆，半径DE旋到，且，记由- ，得即得= 这表明动圆自转1周时，它的圆心描出的弧长恰好是 动圆的周长，由此知动圆自转的周数。当动圆绕定圆滚了一圈回到原处时，动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之差为半径的圆，其路程是，此时自转的周期。操作步骤（以定圆的半径R是动圆的
7、半径 r的3倍为例）（1）新建画板，用【圆】工具在上绘制一个定圆A，作圆上一点C，依次选择点A、C，作射线AC，连接线段AC，并用【度量】|【长度】量出AC的长。（2）【数据】|【新建参数】设置参数，【数据】|【计算】出AC/t的值。（3）用【构造】|【以圆心和半径绘圆】作以点C为圆心、线段AC/t为半径的圆C，圆C与射线AC的内侧交点D；选中圆C，【显示】|【隐藏圆】将圆C隐藏，以同样的方法作以点D为圆心、线段AC/t为半径的动圆D。（4）在圆A上任取一点E,依次选择点A、E，作水平线上的射线AE，确定动圆D的初始位置；拖动点C时，将圆D标签改为圆D1；选中点D1及射线AE，【构造】|【平行
8、线】，所得平行线与圆D1右交点为F，连接线段D1F。 （5）依次选择点C、E和定圆A，用【构造】|【圆上的弧】作圆弧CE，【度量】|【弧长】量出CE的弧长；用【数据】|【计算】计算（CE的弧长/(AC/t)的长）1弧度，并将计算结果标记角度；以点D1为中心，标记角度为旋转角，将点C旋转到点E1，作弧CE1。（6）选依次选择点F、 E1和圆D1，用【构造】|【圆上的弧】作圆弧FE1；选中点C、D，【构造】|【轨迹】得圆D的圆心轨迹。（7）选择点C，【编辑】|【操作类按钮】|【动画】制作出动圆D运动的按钮，点击此按钮就可以欣赏到动圆是如何旋转2圈的了。（8）度量弧CE、CF和DD1的弧长，并计算度
9、量弧CE与弧CF之和，制成对应观察表；隐藏不需要的对象，美化界面如图4所示。图4结论综上所述可得结论，圆滚动时，圆心移动的路程恰好等于圆上某个确定的点绕圆心转过的弧长，因此动圆自转的周数。当动圆与定圆外切时，动圆绕定圆滚了一圈回到原处时，动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之和为半径的圆，其路程是，此时自转的周期。当动圆与定圆内切时，动圆绕定圆滚了一圈回到原处时，动圆圆心的运动轨迹是以定圆的圆心为圆心,两圆半径之差为半径的圆，其路程是，此时自转的周期。说明 （1）解决圆的滚动问题关键之处是，知道圆心轨迹的长度S和滚圆的半径R, 就能按公式求出圆滚动的圈数。（2）圆的滚动问题还可以继续延伸，比如圆沿多边形四周滚动、多边形在直线上滚动等等，这些都可以借助几何画板来解决。【参考文献】1 胡卫华.基于的数学探究式教学模式的实证研究D. 广西师范大学2 赵浩良, 赵小云.滚动时它转了几圈?J. 中学数学, 20114 余炯沛.怎样计算动圆自转的周数J. 中学生数学, 2009 5 武众军.一类滚圆问题的解法J. 初中数学教与学, 20096 陈尔昌, 张汝才.滚动的圆自身旋转的规律J. 教学月刊, 2006
