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1、 直角三角形与勾股定理A一、选择题1. （2011山东滨州，9，3分）在ABC中,C=90, C=72,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（ ）A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5【答案】C2. （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9mO（第7题图）【答案】C3. （2011台湾全区，29）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东
2、直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？A 100 B 180 C 220 D 260【答案】4. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cm【答案】D5. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（第7题图） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （
3、D）7 【答案】D6. （2011河北，9，3分）如图3，在ABC中，C=90，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）A B2 C3 D4 【答案】B二、填空题1. （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆命题成立的是_（只填写序号）同旁内角互补，两直线平行；如果两个角是直角，那么它们相等；如果两个实数相等，那么它们的平方相等；如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形【答案】 2. （2011浙江温州，16，5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（
4、如图1）图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3 若S1，S2，S310，则S2的值是 【答案】3. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角A30,B90,BC6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE 米时,有DCAEBC. 【答案】：4. （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么”的逆命题改写成“如果，那么”的形式： 。【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足
5、，那么这个三角形是直角三角形【答案】56. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，C 90，BC 12，AC 9，则AB 【答案】157. （2011贵州安顺，16，4分）如图，在RtABC中，C=90，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C点，那么ADC的面积是 第16题图【答案】6cm28. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是_cm2. ACEDBF3045【答案】三、解答题1. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造测得两直角边长为
6、6m、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+=16+2. （2011四川绵阳23，12）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-
7、a-（2a+2）=28-3a(2)不可以是7，第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。a5(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形3. （2011江西南昌，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=（090）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上.活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.= 度；若记小棒A2n-1A
8、2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.图甲活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1.数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则= ，= ，= ；（用含的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.图乙【答案】解：（1）能（2）22.5方法一：AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2A2A3，A1A3=，AA3=1+.又A2A3A3A4，A1A2A3A4.同理：A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，AA3=A3A4，A
9、A5=A5A6，a2= A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.A3A5=a2,a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.方法二：AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2A2A3，A1A3=，AA3=1+.又A2A3A3A4，A1A2A3A4.同理：A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，a2=A3A4=AA3=1+,又A2A3A4=A4A5A6=90，A2A4A3=A4A6A5，A2A3A4A4A5A6，a3=(+1)2.an=(+1)n-1.(3)(4)由题意得，1518.4. （2011四川乐山25，12分）如图,在直角ABC中, ACB
10、=90,CDAB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EFBE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系. (1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明:(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是 证明(3) 如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是 (写出关系式,不必证明)5. （2011四川乐山18，3分）如图，在直角ABC中，C=90，CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求B的度数。【答案】 解：AD平分CAD CAD=BADDE垂直平
11、分ABAD=BD,B=BADCAD=BAD=B在RtABC中，C=90CAD+DAE+B=90B=306. （2011山东枣庄，21，8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段ADBC且使AD =BC，连接CD；（2）线段AC的长为 ，CD的长为 ，AD的长为 ；（3）ACD为 三角形，四边形ABCD的面积为 ；（4）若E为BC中点，则tanCAE的值是 ABCE解：（1）如图； 1分ABCE第21题图D（2），5； 4分（3）直角，10； 6分（4） 8分 直角三角形与勾股定理B一、选择题1. （2011湖北十堰，5，3分）如
12、图，RtABC中，ACB=900，DE过点C，且DE/AB，若ACD=500，则B的度数是（ ）第5题图A500 B400 C300 D250【答案】B2. （2011湖北随州，11，3分）下列说法中一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形RtABC中，C=90，两直角边a，b分别是方程x27x7=0的两个根，则AB边上的中线长为正确命题有（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】C3. （2011内蒙古呼和浩特市，9,3分）如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC=1，AB=AC=AD=2.则B
13、D的长为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B二、填空题1. （2011广东河源，9,4分）如图1,在 RtABC中,B=90.ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,已知BAE=30,则C的度数为【答案】3002. （2011黑龙江省哈尔滨市，20，3分）如图，在RtABC中，ACB=90，点D是斜边AB的中点，DEAC,垂足为E，若DE=2，CD=,则BE的长为 _。【答案】3. (湖南湘西,5,3分)如图，在RtABC中，C=90，若BC=3,AC=4,则AB的长是_.【答案】54. （2011山西，18，3分）如图，已知AB=12，ABBC于B，ABAD于A，AD=5，
14、BC=10，点E是CD的中点，则AE的长是_.（第18题）【答案】；5. 如（2011贵州遵义，15，4分）图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC中BC边上的高是 。【答案】6. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，C90，BC12，AC9，则AB 【答案】157. （2011黑龙江绥化，10，3分）已知三角形相邻两边长分别为20和30，第三边上的高为10，则此三角形的面积为 .【答案】或（答案不全或含错解，本题不得分）8. （2011江西b卷，15,3分）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示,1+2=_度.11111
15、12第15题【答案】909. （2011江苏徐州，13,3分）若直角三角形的一个锐角为20，则另一个锐角等于 【答案】7010（2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是_cm2. ACEDBF3045【答案】三、解答题2. （2011湖北潜江天门仙桃江汉油田，23，10分）两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图摆放，使直角顶点重合. 将图中DEC绕点C逆时针旋转得到图，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点. （1）不添加辅助线，写出图中所有与BCF全等的三角形；（2）将图中的DEC绕点C逆时针旋转得D1E1C，
16、点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1 ，如图.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I =CI.【答案】解：（1）图中与BCF全等的有GDF、 GAH 、ECH（2）= 证明：AF1C D1H1C. F1C= H1C， 又CD1=CA，CD1- F1C =CA- H1C.即（3）连结CG1.在D1G1F1和AG1H1中，D1G1F1 AG1H1.G1F1=G1H1又H1C=F1C，G1C=G1C，CG1F1 CG1H1.1=2. B=60，BCF=30 ，BFC=90.又DCE=90，BFC=DCE，BACE
17、， 1=3， 2=3，G1I=CI. 直角三角形与勾股定理C一、选择题1. （2011湖北十堰，5，3分）如图，RtABC中，ACB=900，DE过点C，且DE/AB，若ACD=500，则B的度数是（ ）第5题图A500 B400 C300 D250【答案】B2. （2011湖北随州，11，3分）下列说法中一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形RtABC中，C=90，两直角边a，b分别是方程x27x7=0的两个根，则AB边上的中线长为正确命题有（ ）A0个B1个C2个D3个【答案】C3. （2
18、011内蒙古呼和浩特市，9,3分）如图所示，四边形ABCD中，DCAB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B4. （2011昭通，6，3）将一副直角三角板如图2所示放置，使含300角的三角板的一条直角边和含450角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为（ ） A450 B600 C750 D8501 图2【答案】C5. （2011泸州，11，2分）如图，在RtABC中，ABC=90，C=60，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C，折痕为BE，则EC的长度是（）A、B、C、D、【答案】B6. （2011贵州黔南，5,4分）
19、如图，ABC中,AB=AC=6,BC=8，AE平分BAC交BC于点E,点D为AB的中点，连接DE,则BDE的周长是（ ）A.7+ B.10 C.4+2 D.12ADBEC第5题图【答案】B二、填空题1. （2011广东河源，9,4分）如图1,在 RtABC中,B=90.ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,已知BAE=30,则C的度数为【答案】3003. (湖南湘西,5,3分)如图，在RtABC中，C=90，若BC=3,AC=4,则AB的长是_.【答案】54. （2011山西，18，3分）如图，已知AB=12，ABBC于B，ABAD于A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，则
20、AE的长是_.（第18题）【答案】；5. 如（2011贵州遵义，15，4分）图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC中BC边上的高是 。【答案】6. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC中，C90，BC12，AC9，则AB 【答案】157. （2011黑龙江绥化，10，3分）已知三角形相邻两边长分别为20和30，第三边上的高为10，则此三角形的面积为 .【答案】或（答案不全或含错解，本题不得分）8. （2011江西b卷，15,3分）一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示,1+2=_度.1111112第15题【答案】909. （
21、2011江苏徐州，13,3分）若直角三角形的一个锐角为20，则另一个锐角等于 【答案】7010（2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是_cm2. ACEDBF3045【答案】11. （2011云南玉溪，14，3分）如图，在ABC中，ABC=90，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=_.【答案】2.12. （2011新疆维吾尔自治区，新疆生产建设兵团，11，5分）如图，ABC是等边三角形，AB=4cm，则BC边上的高AD等于_cm； 第11题图【答案】三、解答题1. (湖南湘西
22、,20,6分)如图，在ABC中，ADBC,垂足为D，B=60,C=45.(1)求BAC的度数。（2）若AC=2,求AD的长。解: (1)BAC=180-60-45=75(2) ADBC,ADC是直角三角形,C=45, DAC=45,根据勾股定理,得AD=.2. （2011湖北潜江天门仙桃江汉油田，23，10分）两个大小相同且含角的三角板ABC和DEC如图摆放，使直角顶点重合. 将图中DEC绕点C逆时针旋转得到图，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点. （1）不添加辅助线，写出图中所有与BCF全等的三角形；（2）将图中的DEC绕点C逆时针旋转得D1E1C，点F、G、H的对
23、应点分别为F1、G1、H1 ，如图.探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I =CI.【答案】解：（1）图中与BCF全等的有GDF、 GAH 、ECH（2）= 证明：AF1C D1H1C. F1C= H1C， 又CD1=CA，CD1- F1C =CA- H1C.即（3）连结CG1.在D1G1F1和AG1H1中，D1G1F1 AG1H1.G1F1=G1H1又H1C=F1C，G1C=G1C，CG1F1 CG1H1.1=2. B=60，BCF=30 ，BFC=90.又DCE=90，BFC=DCE，BACE， 1=3， 2=3，G1I=CI.
