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1、 第212节 平面直角坐标系中的基本公式一、教材思路解读第一节是数轴上的基本公式，第二节是平面直角坐标系中的基本公式，这是第二节. 1.本节学习的重点平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式的掌握和利用。平面直角坐标系中两点距离公式的推导是充分利用平面几何知识向轴上转化，注意知识的综合利用；在学习过程中，要逐步体会并熟悉解析法的基本思想是数形结合，逐步理解并掌握用“坐标法”解决平面几何问题的步骤，学会构造直角三角形解决相关问题。平面直角坐标系两点间的距离公式中点公式推导公式应用推导公式应用2.思维导图二、情景引入16世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出
2、了新的要求。1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔潜心研究，对当时的几何和代数的研究方法进行了分析和比较，因此他主张采取代数和几何中二者最好的东西，互相取长补短，他所做的工作就是把代数应用到几何上去。笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对的对应关系，的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质，这就是解析几何的基本思想。找一张带经纬度的地图图片会更好。三、知识与技能解读（一） 平面内两点的距离公式在直角坐标系内，设两点，则两点间的距离为。特别地，当平行于轴时，；当平行于轴时，；理解辨析1.平面内两点间的距离公式建立在数轴上两点间的距离公式的基础上，
3、将即不平行也不垂直于坐标轴的线段分解成垂直于坐标轴的线段，通过端点坐标利用直角三角形的勾股定理推出的；2推倒过程体现了“化斜为直”、“化一般为特殊”的数学思想；3两点间的距离公式是解析几何最重要最基本的公式，以后许多知识以它为基础。（二） 解析法（坐标法）1.在坐标系的基础上，利用代数方法来解决平面几何问题的方法称为解析法。直角坐标系是沟通“数”与“形”的桥梁，是建立解析几何理论的基础，解析法解题则是直角坐标系这种巨大作用的初步体现。2解析法解决问题的步骤：建立适当的坐标系；设出点的坐标；通过代数计算得出某种代数结论；返回到几何问题的结论。3平行四边形的重要结论：平行四边形两条对角线的平方和等
4、于它的四边的平方和。温馨提示该结论可将平行四边形的边长进行转化、化简，还可以帮助求三角形一边的中线长度。（三） 中点公式与中心对称1中点公式：已知，设点为线段的中点，则。此为线段的中点坐标的计算公式，简称中点公式。理解辨析该公式的推导仍然是将线段的两个端点、及中点投影到轴和轴上，利用坐标的意义及数轴的相关公式得到。它的作用很大，凡涉及中点的问题（包括中心对称）都要应用它解决。中心对称若一个图形绕着点旋转后，与图形重合，则称这两个图形关于点成中心对称；若一个图形本身绕着点旋转后，仍与自身重合，则称该图形本身关于点成中心对称；若一条线段的中点为，则称点与点关于点成中心对称，故中心对称问题与线段的中
5、点问题一致；特别地，当点与点关于坐标原点成中心对称，且点的坐标为时，则点的坐标为；反过来，若点的坐标为，的坐标为时，则点与点关于坐标原点成中心对称。【拓展引申】 1.关于轴的对称点； 2. 关于轴的对称点； 3关于直线的对称点； 4关于直线的对称点. 四、技能应用解读题型：考查两点间的距离公式例：已知点，在轴上的点与点的距离等于，求点的坐标。分析 设出点P的坐标，根据两点间的距离公式，列方程求解。详解 设点P的坐标为，由得解得或。所以点P的坐标为或。【评注】用待定系数法设出点的坐标，用方程的思想求解。 例2：已知两点和，试问是否能在坐标轴上找一点，使得为直角？分析 先假设能找到这样的点，由，得
6、为直角三角形，利用勾股定理探求。详解 假设在轴上能找到一点，使得为直角。由勾股定理可得：即化简，得解得或。在轴上存在点，使得为直角。假设在轴上能找到一点，使得为直角。同样由勾股定理可得化简，得，此方程无实数解。所以在轴上不存在点，使得为直角。综上所述，在坐标轴上存在两点，使得为直角。【评注】本题需要分点在轴上和点在轴上两种情况进行分类讨论，解题时不可漏掉情况。变式练习1. 已知、，点在坐标轴上，则满足条件的点的个数为（）个个个个变式练习2. 已知点，在轴上的点与点的距离等于，求点的坐标。题型2：考查中点坐标公式例3：若的两个顶点为，且的中点在轴上，的中点在轴上，求点的坐标。分析 先设出点的坐标
7、，再根据中点公式解题。详解 设点的坐标为，的中点为，的中点为。由的中点在轴上，得，解得；由的中点在轴上，得，解得。点的坐标为。【评注】本题涉及到两个中点，故分别利用中点公式求解。变式练习3. 点平分线段，其中，则的值分别是（），例：平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为，求顶点的坐标。分析运用中点坐标公式先求出平行四边形的两条对角线的交点的坐标，再求顶点的坐标。详解设与的交点为，则为的中点。由中点坐标公式可得。又设，则为线段的中点，所以，解得。所以点的坐标为（，）。【评注】本题主要考查了平行四边形对角线的性质：相互平分。在解决解析几何问题时，要充分考虑图形的基本特征，利用初中所学的平面几何的结
8、论来解决问题，简洁方便。题型：考查坐标法例：已知为等腰三角形底边上任意一点，求证：分析 抓住等腰三角形的特点，巧妙建立直角坐标系，利用两点间距离公式解题。详解 取的中点为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系。设、两点的坐标分别为，则点的坐标为令的坐标为，则，【评注】本题将点、放在轴上，为坐标原点证明；若将点放在轴上，同样也可以证明。变式练习4. 已知AO是ABC的边BC的中线，证明：。五、技能拓展解读经典综合题例题：已知正三角形ABC的边长为，在平面上求一点P，使得最小，并求此最小值。分析若任取一点作为原点建立坐标系，则计算比较繁琐，所以应取一边所在直线为轴，其中垂线为轴建立坐标系
9、可使问题简化。 详解 如图，取边所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系。由为正三角形，且边长为，得。设，则当且仅当时等号成立，所求最小值为，此时为正三角形的中心。 评注 应用解析法（坐标法）解决几何问题的一个关键环节，就是建立恰当的平面直角坐标系，应该遵循建系的原则。建系后要使尽可能多的点落在坐标轴上，或充分利用图形的对称性。例题：已知三点，试判断的形状。分析 一般地，判断一个三角形的形状，往往从直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、正三角形上考虑。也有从锐角三角形、直角三角形、钝角三角形考虑的。详解 ；且，故此三角形为等腰三角形。评注 本题不可漏掉与的关系检验，因为它有可能为等腰直
10、角三角形。例题：求函数的最小值。分析 此函数的定义域为，如果从代数的角度考虑，确实比较复杂；如果借助于两点间的距离公式，转化为几何问题，利用平面几何中相应的结论，非常容易解决。详解 设，动点。则上式的几何意义是，该问题即为：在轴上求一点，使得取得最小值。作关于轴的对称点，所以，其最小值等于，也就是说函数的最小值为。评注 解决问题的关键是：把函数表达式的两部分表示为两点间的距离公式的形式，进而求解。注意当碰到用代数方法较难解决的问题时，应该尝试把问题转化为相应的几何问题解决。充分理解和应用数学中的数形结合思想和方法。拓展探究题 例题：设，求证：。分析 此题若要从代数方面证明，难度颇大。主意要证明
11、的不等式中式子的特征，很容易联系到两点间的距离公式，从而可转化为几何问题，利用平面几何的知识来解决。详解 在平面直角坐标系内，设有两点，则有，。（）如图，若三点不共线，则构成三角形，由三角形中两边之和大于第三边，得；（）如图，若三点共线，且在线段之外，则有；（）如图，若三点共线，且在线段上，则有。综上所述，不管两点的位置如何，总有，即图图图。评注 本题看似与图形无关，其实与图形有关，充分体现了“数形结合”数学思想在解题中的应用，解答过程中还用到了数学中的“分类讨论”思想，这些都是高考中重点考察的内容，要能见“数”想形，见“形”想“数”。 六、高考信息园高考题型感悟例题：（2006年福建卷）对于
12、直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：AB=xx+yy.给出下列三个命题：若点C在线段AB上，则AC+CB=AB;在ABC中，若C=90，则AC+CB=AB；在ABC中，AC+CBAB.其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则=在中，= 命题 成立，而命题在中，若则明显不成立，选B.例题1(2006年上海卷)如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离
13、，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题：OM（ ， ）若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ ）（A）0； （B）1； （C）2； （D）3解：选（D） 正确，此点为点； 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）； 正确，四个交点为与直线相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点；故选D。高考规律导航两点间的距离公式是将袋鼠问题和
14、几何问题相互转化的一个桥梁，所以在高考中也是一个重点，而中点坐标公式也非常重要。单独命题的可能性较小，往往结合其它部分知识命题，应该注意两点间的距离与距离平方的区别。七、课外知识乐园用什么信号和外星人联系？有没有外星人？这是地球人非常关注的问题，随着很多不可思议的事物相继出现，人们的疑惑越来越大了。例如埃及的金字塔，人们从一开始就存在疑问：这么大的石块几千年前人们使用什么方法搬来并垒上去的？进而发现金字塔的工程及其精细，两块巨石之间的缝隙连薄薄的刮脸刀片都插不进去，人们在惊叹之余，着实怀疑为外星人所为。当在巨石中发现动物的毛发之后，这种怀疑就进一步加深了。随着科技的迅猛发展，宇宙飞船的升空，人
15、们自然就想到应该主动发出信息与外星人联系，那么用什么样的语言与信息才能使他们听得懂和看懂呢？人们首先想到了数学和音乐，因为数学和音乐都是高级动物的共同语言。这里仅仅说说数学，人们可以语言不同、文字不同，但是一个数学公式却可以把人们的思想沟通起来。不过这里也有一些约定俗成的符号，如何克服这些障碍呢？换句话说，选择数学中的哪些东西最容易被没有共同语言的外星人理解呢？人们不约而同地想到了勾股定理，因为勾股定理有以下几点优势：（）勾股定理的发现早在多年前（我国最早发现），当时各方面的科学知识都非常少，这就是说他很少依赖于其它知识，反过来它却是很多其它知识的基础。（）多年来不同的时期、不同的国家、不同的
16、民族往往都独立地发现了勾股定理，就是说人们的认识发展到一定阶段，自然而然地就会发现勾股定理；（）它的内容比较简单，图形非常直观，往往不需要做什么解释就一目了然。因此，世界各国都有人建议，把勾股定理的图形作为光线信号发射给外星人。由此开始逐步探索与外星人的共同信号。我国数坛巨星华罗庚先生也曾设想过用两个图形来作为信号：一个是河图洛书，一个就是勾股图。八、随堂练兵点（，）关于坐标原点的对称点是（）（，）（，）（，）（，）2已知，且，则实数的值为（）或或3以（，）、（，）、（，）为顶点的三角形是（）直角三角形等腰三角形等边三角形等腰直角三角形4设点在轴上，点在轴上，中点是，则等于（）5轴上任意一点到
17、定点的距离之和的最小值是（）6甲船在某港口的东公里，北公里处，乙船在同一港口的东公里，南公里处，那么甲乙两船的距离是（）公里公里公里公里7已知菱形的三个顶点是，则它第四个顶点的坐标为（）8等腰三角形的顶点（，），底边的长度为且中点为（，），则它的腰长为（）9在中，已知，对角线的交点为，则另两个顶点、的坐标分别为。10已知的三个顶点坐标分别为。（）判断三角形的形状；（）求这个三角形的中线长。九、答案与解析 1.变式练习略解与提示练习1. 解：若点在轴上，设坐标为，由为直角，得：即解得或。在轴上存在点，使得为直角。若点在轴上，设坐标为。同样由勾股定理可得解得，。在轴上存在点，使得为直角。综上所述，
18、在坐标轴上存在三点或，使得为直角。故选A。练习2设点P的坐标为，由得解得或。所以点P的坐标为或。练习3. 因为点平分线段，所以点为线段的中点，由中点坐标公式得，解得。故选D.练习4.略。 2.随堂练兵解答与提示1设点（，）关于坐标原点的对称点为，则为线段的中点，根据中点坐标公式可解得。故选。2. 由解得或。故选。3. （，）、（，）、（，），显然，所以三角形是等腰三角形，故选。4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. （）由平面内两点间的距离公式可求得，所以三角形为正三角形；（）由于三角形为正三角形，所以它的三条中线长度都相等，为。 3.教材课后习题解答与提示练习A（P76）1.解：（1）x
19、1 = 6，y1 = 2，x2 = -2，y2 = 5，x x2 x1 - 2 6- 8，y y2 y1 5 2 3.d(A，B) 。（2）x1 = 2，y1 = - 4，x2 = 7，y2 = 2，x x2 x1 7 25，y y2 y1 2 （-4） 6.d(A，B) 。（3）x1 = 5，y1 = 0，x2 = 8，y2 = 0，x x2 x1 8 53，y y2 y1 0 0 0.d(A，B) 。（4）x1 = 2，y1 = 1，x2 = 5，y2 = -1，x x2 x1 5 23，y y2 y1 （-1） 1 -2.d(A，B) 。2.证明：A（3，8），B（-11，3），C（-8
20、，-2），d(A，B) ，d(B，C) ，d(A，C) ， | AB | | AC |，又A、B、C不共线，ABC是等腰三角形。3.解：（1）x = ，y = ，线段AB的中点坐标为（0，3）.（2）x = ，y = ，线段AB的中点坐标为（，-3）.4.解：设M（x1，y1）关于原点（0，0）的对称点为N（x2，y2），由中点坐标公式得0 ，0 x2 = -x1，y2 = -y1.A（2，3）关于原点的对称点为（-2，-3），B（-3，5）关于原点的对称点为（3，-5），C（-2，-4）关于原点的对称点为（2，4），D（3，-5）关于原点的对称点为（-3， 5），P（a,b）关于原点的对称点
21、为(-a,-b)。练习B P761.解：d(A，B) 17，解得a = 。2.解设顶点D的坐标为（x，y），对角线AC和BD互相平分，解得。顶点D的坐标为（-4，-1）.习题2-1 A（P77）1.解：AB2，BC1，CD-4，EA-4.2.解：（1）d(A，B) = x2 x1 = 3 8 = 5；（2）d(A，B) = x2 x1 = |-5 （-3）|= 2；（3）d(A，B) = |x2 x1 |=| -23 15 |= 38；（4）d(A，B) = |x2 x1 |=| -7 （-13）| = 6.3.解：d(A，B) ；d(A，B) ；d(A，B) 。4.解：设P点的坐标为(x，0
22、)，由d(P，A) 13得，解得x = -1或x = 9，P（-1，0）或P（9，0）.5.解：设M（x，0），由d(M，A) d(M，B)得，解得 x =，M（，0）.6.解：由d(P，Q) 10得解得y = -1或y = 11.7.解：（1）d(A，B) ，由中点坐标公式得，A、B的对称中心为（5，3）.（2）d(C，D) ，由中点坐标公式得，C、D的对称中心为（2，-3）.（3）d(E，F) ，由中点坐标公式得，E、F的对称中心为（，1）.8.解：AB的中点D的坐标为（0，2），因此，中线CD的长度为d(C，D) ；BC的中点E的坐标为（-1，1），因此，中线AE的长度为d(A，E) ；
23、AC的中点F的坐标为（1，0），因此，中线BF的长度为d(B，F) 。习题2-1 B P771.解：在x轴上取点C（x，0），使d(C，A) = d(C，B)，则，解得x = 3，即C的坐标为（3，0）.在y轴上取点D（0，y），使d(D，A) = d(D，B)，则，ACBDOxy解得y= - 3，即D的坐标为（0，-3）.2.解：如图，设直线AB的方程为y = kx + b，将点A（4，1）、B（-3，2）的坐标代入方程得，解得。 直线AB的方程为y =x 。令x = 0得y =。直线AB与y轴的交点的坐标为D（0，），设点C的坐标为（0，y），则SABCSACDSBCD4| CD | |
24、-3 | CD | CD |12， | CD |，解得y = 5或y = 。 点C的坐标为（0，5）或（0，）。3.解：由中点坐标公式得，解得。4.解：d(A，B) ，d(B，C) ，d(A，C) ， d(A，B)d(B，C) d(A，C) ，A、B、C三点在一条直线上。5.证明：d(A，B) ，d(B，C) ，d(A，C) ， | AB |2| AC |2 | BC |2 ，则ABC是直角三角形。6.ACBMxy解：如图，取边BA所在的直线为轴，边BC所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则三个顶点的坐标分别为.由中点坐标公式得，斜边AC的中点M的坐标为.，.7解：设点C的坐标为，ABCD的对
25、角线AC、BD互相平分，由中点坐标公式得：，解得.ABCDM点C的坐标为.8.证明：如图，取AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设长方形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，0），B（a，0），C（a，b），D（0，b），在平面上任取一点M（m，n）。则AM2CM2m2 + n2 +(m - a)2 + (n b )2，BM2DM2(m - a)2 + n2 + m2+ (n b )2， AM2CM2BM2DM2。请写出课本P77 习题21B的第7题的详细解答。探索与研究P781.解：| x + 3 | | x 1 | 5的几何意义是：数轴上到A（-3）、B（1）的距离之和等于
26、5的点，因此，x = 1.5或x = -3.5.2.解：| x + 3 | | x 1 | 4的几何意义是：数轴上到A（-3）、B（1）的距离之和等于4的点，而 | AB |4，因此，-3x1.3.解：| x + 3 | | x 1 | 3的几何意义是：数轴上到A（-3）、B（1）的距离之和等于3的点，而 | AB |43，因此方程| x + 3 | | x 1 | 3无解。4.解：| x + 3 | - | x 1 | 5的几何意义是：数轴上到A（-3）的距离减去到B（1）的距离等于5的点，因为 | A B |45，因此方程| x + 3 | - | x 1 | 5无解。5.解：| x + 3 | - | x 1 | 4的几何意义是：数轴上到A（-3）的距离减去到B（1）的距离等于4的点，因为 | A B |4，因此x1。6.解：| x + 3 | - | x 1 | 3的几何意义是：数轴上到A（-3）的距离减去到B（1）的距离等于3的点，因此x0.5。
