考研数学理工类精选试题及解析：概率.doc

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1、2011考研数学理工类精选试题及解析：概率第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C为三个事件, 且_.解.= 0.970.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_.解. , 注意: = +所以; 3. 随机地向半圆为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为_.解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D为半圆. 则 , k为比例系数. 所以假设D1 = D中落点和原点连线与x轴夹角小于的区域 .4. 设随机事件A

2、, B及其和事件AB的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若表示B的对立事件, 则积事件的概率 = _.解. 0.4 + 0.30.6 = 0.1 .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是_.解. 假设A = 订日报, B = 订晚报, C = A + B.由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)P(A + B) = 0.5 + 0.650.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器

3、不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率_.解. 设Ai事件表示第i台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A1) = 0.9, P(A2) = 0.8, P(A3) = 0.7, =10.90.80.7=0.496.7. 电路由元件A与两个并联元件B, C串联而成, 若A, B, C损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是_.解. 假设事件A, B, C表示元件A, B, C完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B

4、 + C) = AB + AC. P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)P(A)P(B)P(C) = 0.70.8 +0.70.90.70.80.9 = 0.686.所以 P(电路断路) = 10.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率_.解. 设X表示甲进球数, Y表示乙进球数. P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2,

5、 Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0) =+ = 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为, 则此密码被译出的概率_.解. 设A, B, C表示事件甲, 乙, 丙单独译出

6、密码., 则.P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)P(AB)P(AC)P(BC) + P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)P(A)P(B)P(A)P(C)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =.二单项选择题.1. 以A表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销”解. (D)是答案.2. 设A, B, C是三个事件, 与事件A互斥的事件是(A) (B) (C) (D) 解. f, 所以(D)是答案.3

7、. 设A, B是任意二个事件, 则(A) P(AB)P(AB)P(A)P(B) (B) P(AB)P(AB)P(A)P(B)(C) P(AB)P(BA)P(A)P(B)P(AB) (D).解. P(A + B)P(AB)P(A)P(B) = (P(A) + P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(B) =P(A)(P(B)P(AB) + P(AB)(P(B)P(AB) =(P(B)P(AB)(P(A)P(AB) =P(BA)P(AB) 0所以(B)是答案 .4. 事件A与B相互独立的充要条件为(A) A + B = W (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = f (D) P

8、(A + B) = P(A) + P(B)解. (B)是答案.5. 设A, B为二个事件, 且P(AB) = 0, 则(A) A, B 互斥 (B) AB是不可能事件 (C) AB未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0.解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案.6. 设A, B为任意二个事件, 且AB, P(B) 0, 则下列选项必然成立的是(A) P(A) P(A|B) (C) P(A) P(A|B)解. (当B = W时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 P(B) a) = _. P(x1 X x2) =

9、 _.解. P(X a) = F(a) P(X = a) = P(X a)P(X a) = 1F(a) P(x1 X x2) = F(x2)F(x1)4. 设k在(0, 5)上服从均匀分布, 则有实根的概率为_.解. k的分布密度为 P有实根 = P = Pk 1或k 2 =5. 已知(k = 1, 2, 3), X与Y独立, 则a = _, b = _, 联合概率分布_, Z = X + Y的概率分布为_.解. . (X, Y)的联合分布为 YX1 2 3 123ab Z = X + Y2 1 0 1 2 P24a 66a 251a 126a 72a ab = 216a, 6. 已知(X,

10、Y)联合密度为 , 则c = _, Y的边缘概率密度_.解. 所以 当 时 所以 7. 设平面区域D由曲线围成, 二维随机变量(X, Y)在D上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X的边缘密度在x = 2处的值为_.解. D的面积 = . 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: 下面求X的边沿密度:当x e2时 当1 x e2时 , 所以.8. 若X1, X2, , Xn是正态总体N(m, s2)的一组简单随机样本, 则服从_.解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布. , 所以 9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出, (X, Y)(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2

11、, 1) (2, 2) (2, 3) P a b且X与Y相互独立, 则a = _, b = _.解. YX1 2 3121/6 1/9 1/18 1/3 a b 两式相除得, 解得 , .10. 设(X, Y)的联合分布律为 YX2 1 0 1 3 0 0 则 i. Z = X + Y的分布律 _. ii. V = XY的分布律_. iii. U= X2 + Y2的分布律_.解. X + Y3 2 1 3/2 1/2 1 3 P1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 XY1 0 1 3/2 5/2 3 5 P3/12 1/12 1/12 1/12 2/12 2/1

12、2 2/12 X2 + Y215/4 3 11/4 2 1 5 7 P2/12 1/12 1/12 1/12 3/12 2/12 2/12二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X的分布函数(A) , (B) (C) , (D) 解. (A)不满足F(+) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案.2. 是随机变量X的概率分布, 则l, c 一定满足(A) l 0 (B) c 0 (C) c l 0 (D) c 0, 且 l 0解. 因为, 所以c 0. 而k为偶数, 所以l可以为负. 所

13、以(B)是答案.3. XN(1, 1), 概率密度为j(x), 则(A) (B)(C) (D) 解. 因为E(X) = m = 1, 所以. (C)是答案.4. X, Y相互独立, 且都服从区间0, 1上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X2 (D) XY解. X , Y . 所以(X, Y) .所以(A)是答案.5. 设函数 则(A) F(x)是随机变量X的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是

14、答案.6. 设X, Y是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为, 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) = max (B) = max(C) = (D) 都不是解. .(C)是答案.7. 设X, Y是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为, 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) = (B) = (C) = min (D) = 111解. (D)是答案.8. 设X的密度函数为, 而 则Y = 2X的概率密度是(A) (B) (C) (D) 解. (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为 , 则的分布密度是(A) (B) (C) (D) 解. 是一维随

15、机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z的密度:当z 0时当z 0时 = , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X和 Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) PX + Y 0 = 1/2 (B) PX + Y 1 = 1/2 (C) PXY 0 = 1/2 (D) PXY 1 = 1/2解. 因为X和 Y分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X和 Y相互独立, 所以 X + Y N(1, 2), XY N

16、(1, 2)于是PX + Y 1 = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X服从指数分布, 则Y = minX, 2的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点解. 分布函数: 当y 2时 当0 y 2时 当y 0时 于是 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X的分布密度.解. 假设X表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5. P(X = i) = P(前i1次不中, 第i次命中

17、) = , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = . 于是分布律为 X1 2 3 4 5 p0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00012. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设Ai表示第i次取出正品(i = 1, 2, 3, )i. 每次取

18、出的产品不放回X1 2 3 4 p ii. 每次抽取后将原产品放回X1 2 k p , (k = 1, 2, )iii. 每次抽取后总以一个正品放回X1 2 3 4 p 3. 随机变量X的密度为 , 求: i. 常数c; ii. X落在内的概率.解. 4. 随机变量X分布密度为i. , ii. 求i., ii的分布函数F(x).解. i. 当x 1时 当1 x 1时 当x 1时 所以 ii. 当x 0时 当0 x 1时 当1 x 2时 当2 x时 所以 5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X具有分布密度函数 , x +试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率; ii. 接连

19、独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为, x 0时当 F(x) = 0当 = 当 x 9p时 所以 密度 8. 已知X 服从参数 p = 0.6的01分布在X = 0, X = 1下, 关于Y的条件分布分别为表1、表2所示 表1 表2 Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0) P(Y|X = 1) 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y 1时, 关于X的条件分布.解. X的分布律为X0 1p0.4 0.6(X, Y)的联合分布为 YX 1 2 3010.1 0.2 0.10.3 0.1 0.2 所以Y的分布律为Y1 2 3p0.4 0.3 0.3所以

20、X|Y 10 1p0.5 0.59. 设随机变量X与Y相互独立, 并在区间0, 9上服从均匀分布, 求随机变量的分布密度.解. X , Y 因为X, Y相互独立, 所以(X, Y)联合密度为 (X, Y) , 当 z 0时 当 0 z 1时 y = xz (z 1)所以 D210. 设(X, Y)的密度为 求: i., ii. 解. i. 当x 0 或 x 1时 当0 x 1时 所以 所以 所以 ii. 当y 0 或 y 1时 当0 y 1时 所以 所以 所以 第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X与Y相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2XY) = _.

21、解. D(2XY) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量XN(3, 1), YN(2, 1 ), 且X与Y相互独立, Z = X2Y + 7, 则Z_.解. 因为Z = X2Y + 7, 所以Z服从正态分布. E(Z) = E(X)2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以ZN(0, 5)3. 投掷n枚骰子, 则出现点数之和的数学期望_.解. 假设Xi表示第i颗骰子的点数(i = 1, 2, , n). 则 E(Xi) = (i = 1, 2, , n)又设, 则4. 设离散型随机变量X的取值是

22、在两次独立试验中事件A发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = _.解. , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 20.450.55 = 0.495.5. 设随机变量X在区间1, 2上服从均匀分布, 随机变量 , 则方差D(Y) = _.解. X Y的分布律为Y1 0 1p2/3 0 1/3因为 于是 , , 6. 若随机变量X1, X2, X3相互独立, 且服从相同的两点分布, 则服从_分布, E(X) = _, D(X) = _.解. X服从B(3, 0.2). 所以

23、E(X) = 3p = 30.2= 0.6, D(X) = 3pq = 30.20.8 = 0.487. 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 且XN(0, 1), Y在1, 1上服从均匀分布, 则= _.解. 因为X和Y是两个相互独立的随机变量, 所以= 0.8. 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为: , , 则E(XY) = _.解. 因为X和Y是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X1, X2, X3相互独立, 其中X1在0, 6服从均匀分布, X2服从正态分布N(0, 22), X3服从参数l = 3的泊松分布, 记Y

24、= X12X2 + 3X3, 则D(Y) = _.解. =二. 单项选择题1. 设随机变量X和Y独立同分布, 记U = XY, V = X + Y, 则U和V必然(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零解. 因为X和Y同分布, 所以E(U) = E(X)E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. .所以 cov(X,Y) = E(UV)E(U)E(V) = 0. (D)是答案.2. 已知X和Y的联合分布如下表所示, 则有 YX0 1 20120.1 0.05 0.250 0.1 0.20.2 0.1 0(A) X与Y不独立 (B) X与Y独立 (C) X与

25、Y不相关 (D) X与Y彼此独立且相关解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3. 0.1 = P(X = 0, Y= 0) P(X = 0)P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X可能取值为: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X2) = 5.9, 则x1, x2, x3所对应的概率为(A) p1 = 0.1, p2 = 0.2, p3 = 0.7 (B) p1 = 0.2, p2 = 0.3, p3 = 0.5(C) p1 = 0.3, p2 = 0.5, p3 = 0.2 (D) p1 = 0.2, p

26、2 = 0.5, p3 = 0.3解. 解得 p1 = 0.2, p2 = 0.3, p3 = 0.5. (B)是答案.4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望(A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X的分布律为X6 9 12p 7/15 7/15 1/15. (C)是答案.5. 设随机变量X和Y服从正态分布, XN(m, 42), YN(m, 52), 记P1 =PX m4, P2 = PY m + 5, 则(A) 对任何m, 都有P1 =

27、 P2 (B) 对任何实数m, 都有P1 P2解. P1 = X m4 =P2 = Y m + 5 =(其中F(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量x = X + Y 与h = XY不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X2)E2(X) = E(Y2)E2(Y)(C) E(X2) = E(Y2) (D) E(X2) + E2(X) = E(Y2) + E2(Y)解. cov(x, h) = E(xh)E(x)E(h) E(xh) = E(x)E(h) = E(X)+E(Y)E(X)E(Y) = 所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X

28、的分布律为, k = 0, 1, 2, , a 0, 试求E(X), D(X).解. 令 , 所以. 令 , 所以.2. 设随机变量X具有概率密度为 , 求E(X), D(X).解. 3. 设随机变量X和Y的联合概率分布为(X, Y)(0, 0)(0, 1)(1, 0)(1, 1)(2, 0)(2, 1)P(X=x, Y=y)0.100.150.250.200.150.15求.解. 的分布律为sin p(X + Y)/2 0 1 1p0.45 0.40 0.154. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X的概率分布, ii. 解. 假设X为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数X 0 1 2 3p1/2 1/22 1/23 1/23 P(X = 0) = P第一个路口为红灯 = P(X = 1) = P第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯 = P(X = 0) = P第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯 = P(X = 0) = P第一, 二, 三路口为绿灯 = 5. 设(X, Y)的分布密度 求.解. 6. 在长为l的线段上任选两点, 求两点间距