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1、 福州市区一类校自主招生考试模拟试题（数学） 命题：福州中考吧答疑解惑监督委员会 审核：福州中考吧高管部 校对：福州中考吧吧务组福州中考吧提示：如果能够全部解决这些题目！你的自主招生是没有问题的！加油！（注意排版后使用）题号一、综合题二、计算题三、选择题总分得分一、综合题评卷人得分1、如图，抛物线与双曲线相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（2,2），点B在第四象限内.过点B用直线BCx轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，记抛物线顶点为E.（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC与ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在
2、点D，使ABD的面积等于ABE的面积的8倍，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PEAB交AC于点E 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?连接EQ在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
3、3、如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标4、已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点
4、（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由5、已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为
5、，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由6、如图，在RtABC中，C=90，AC = 3，AB = 5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之
6、停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；（2）在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值 7、在ABC中，A90，AB4，AC3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MNBC交AC于点N以MN为直径作O，并在O内作内接矩形AMPN令AMx （1）用含x的代数式表示NP的面积S； （2）当x为何值时，O与直线BC相切？ （3）在动点M的运动过程中，记NP
7、与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？8、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（8，0），直线BC经过点B（8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形OABC，此时直线OA、直线BC分别与直线BC相交于P、Q（1）四边形OABC的形状是 ，当=90时，BPBQ的值是 （2）如图2,当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴上时,求BPBQ的值;如图3,当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时,求OPB的面积（3）在四边形OABC旋转过程中,当时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P
8、的坐标；基不存在，请说明理由9、已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；（3） AOB与BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为）10、如图(1)，在直角梯形OABC中，BCOA，OCB90，OA6，AB5，cosOAB (1)写出顶点A、B、C的坐标； (2)如图(2)，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PMOA，PNOC，垂足分别为M，N设PMx，四
9、边形OMPN的面积为y 求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由11、已知AB是O的直径，弦CDAB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交O于点F，直线CF交直线AB于点P.设O的半径为R.（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OEOPR2.（提示：作直径FQ交O于Q，并连结DQ）（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.评卷人得分二、
10、计算题（每空？ 分，共？ 分）12、 汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种帐篷共600顶已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，问A，B两种帐篷各多少顶？13、已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。14、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置；（2）求路灯灯泡的垂直高度；（3）如果小明沿线段向小颖（点）走去，当小明走到中点处
11、时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为 m（直接用的代数式表示）评卷人得分三、选择题15、已知方程组的解为，则的值为（ ）A 4 B 6 C 6 D4 福州市区一类校自主招生考试模拟试题（数学） 命题：福州中考吧答疑解惑监督委员会 审核：福州中考吧高管部 校对：福州中考吧吧务组参考答案一、综合题1、（1）点A（2,2）在双曲线上双曲线的解析式为 2分直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍可设B点的坐标为（m，4m）（m0），代入双曲线解析式即可得到m=1.抛物线过点A（2,2）
12、、B（1，4）、O（0,0）抛物线的解析式为. 4分（2）物线的解析式为.顶点，对称轴为B（1，4），解之得：C（4，4）由A、B两点坐标为（2，2）、（1，4）可求得直线AB的解析式为设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为. 8分（3）当点D与点C重合时，显然满足条件当当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线，其对应的一次函数解析式为令解之得：当时，存在另一点D（3，18）满足条件. 12分2、(1)点A的坐标为（4，8） 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4抛物线的解析式为：y=-x2+4x （
13、2）在RtAPE和RtABC中，tanPAE=,即=PE=AP=tPB=8-t点的坐标为（4+t，8-t）.点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8.EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.-0，当t=4时，线段EG最长为2. 共有三个时刻. t1=， t2=，t3= 3、解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5） 点B（1，0）在抛物线C1上 解得，a （2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G点P、M关于点B成中心对称PM过点B，且PBMBPBHMBGMGPH5，BGBH3顶点M的坐标为（4，5） 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到抛
14、物线C3的表达式为 （3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5设点N坐标为（m，5） 作PHx轴于H，作NGx轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上EFAB2BH6 FG3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 当PNF90时，PN2+ NF2PF2，解得m，Q点坐标为（，0） 当PFN90时，PF2+ NF2PN2，解得m，Q点坐标为（，0）PNNK10NF，NPF90综上所得
15、，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 4、解：（1）根据题意，得解得（2）当时，得或，当时，得，点在第四象限，当时，得，点在第四象限，（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上，（舍去），当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上，（舍去）， 5、解：（1）由已知，得，设过点的抛物线的解析式为将点的坐标代入，得将和点的坐标分别代入，得）解这个方程组，得故抛物线的解析式为（2）成立点在该抛物线上，且它的横坐标为，点的纵坐标为设的解析式为，将点的坐标分别代入，得 解得的解析式为，过
16、点作于点，则，又，（3）点在上，则设p(t,2)，若，则，解得，此时点与点重合若，则，解得 ，此时轴与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，点的纵坐标为若，则，解得，此时，是等腰直角三角形过点作轴于点，则，设，解得（舍去）综上所述，存在三个满足条件的点，即或或 6、解：（1）1，； （2）作QFAC于点F，如图，AQ = CP= t，由AQFABC， 得 ，即（3）能 当DEQB时，如图 DEPQ，PQQB，四边形QBED是直角梯形 此时AQP=90由APQABC，得，即 解得 如图当PQBC时，DEBC，四边形QBED是直角梯形此时APQ =90由AQPABC，得 ，即 解得 （4）或【注
17、：点P由C向A运动，DE经过点C方法一、连接QC，作QGBC于点G，如图，由，得，解得方法二、由，得，进而可得，得， 点P由A向C运动，DE经过点C，如图，7、解：（1）MNBC，AMN=B，ANMC AMN ABC ，即 ANx =（04） （2）如图2，设直线BC与O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN在RtABC中，BC =5 由（1）知 AMN ABC ，即 ， 过M点作MQBC 于Q，则 在RtBMQ与RtBCA中，B是公共角， BMQBCA ， x 当x时，O与直线BC相切（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点 MNBC， AMN=B
18、，AOMAPC AMO ABP AMMB2 故以下分两种情况讨论： 当02时， 当2时， 当24时，设PM，PN分别交BC于E，F 四边形AMPN是矩形， PNAM，PNAMx 又 MNBC， 四边形MBFN是平行四边形 FNBM4x 又PEF ACB 当24时， 当时，满足24， 综上所述，当时，值最大，最大值是28、解：（1）矩形（长方形）；（2），即，同理，即，在和中，设，在中， ，解得（3）存在这样的点和点，使点的坐标是，对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求过点画于，连结，则，设， 如图1，当点P在点B左侧时， ，在中，解得，（不符实际，舍去），如图2，当点P在点B右侧
19、时，在中，解得，综上可知，存在点，使9、解：（1）由已知得：解得c=3,b=2抛物线的线的解析式为(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=9（3）相似如图，BD=BE=DE=所以, 即： ,所以是直角三角形所以,且,所以10、(1)因为ABOC 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2将x2代入y，得y2所以点M的坐标为（0，2）(2) 如图2，过点Q作QH x轴，设垂足为H，则HQy，HPx t 因为CM/PQ，所以QPHMCO因此tanQPHtanMCO，即所以整理，得如图3，
20、当P与C重合时，解方程，得如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x 2因此自变量x的取值范围是，且x 2的所有实数 图2 图3 图4因为sinQPHsinMCO，所以，即当时，解方程，得（如图5）此时当时，解方程，得如图6，当时，；如图6，当时， 图5 图6 图711、二、计算题12、解：设A种帐篷x顶，B种帐篷y顶，根据题意，列方程组 解，得 A种帐篷400顶，B种帐篷200顶 13、解：由题意得三元一次方程组： 化简得 得： 23得：， 由得：， 14、解：（1） （2）由题意得：，（m）（3），设长为，则，解得：（m），即（m）同理，解得（m），三、选择题15、B结束.o-o.oAqwsedbgword
