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1、专题突破(十)新定义问题新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识而规律探究、方法运用、学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律新定义题型是北京中考最后一题的热点题型“该类题从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的，等等这类试题不来源于课本且高于课本，结构独特北京第25题分析北京第29题分析年份20142015考点新定义问
2、题先学习后判断，函数综合给出新定义，学习，应用12015北京 在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于O的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P，满足CPCP2r，则称P为点P关于C的反称点，如图Z101为点P及其关于C的反称点P的示意图(1)当O的半径为1时分别判断点M(2，1)，N(，0)，T(1，)关于O的反称点是否存在，若存在，求其坐标；点P在直线yx2上，若点P关于O的反称点P存在，且点P不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围(2)当C的圆心在x轴上，且半径为1，直线yx2 与x轴、y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得点P关于C的反称点P
3、在C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围图Z10122014北京 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0，对于任意的函数值y，都满足MyM，则称这个函数是有界函数在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值例如，图Z102中的函数是有界函数，其边界值是1.(1)分别判断函数y(x0)和yx1(4a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；(3)将函数yx2(1xm，m0)的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足t1?图Z10232013北京 对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A，B，使得APB60，则称P
4、为C的关联点已知点D(，)，E(0，2)，F(2 ，0)(1)当O的半径为1时，在点D，E，F中，O的关联点是_；过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使GFO30，若直线l上的点P(m，n)是O的关联点，求m的取值范围；(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围图Z10342012北京 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|；若|x1x2|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1y2|.例如：点P1(1，2)，点P2(3
5、，5)，因为|13|25|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|25|3，也就是图Z104(a)中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点)(1)已知点A(，0)，B为y轴上的一个动点若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值(2)已知C是直线yx3上的一个动点，如图(b)，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标如图(c)，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标图Z1041201
6、5平谷一模 b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a，b对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当mxn时，有myn，我们就称此函数是闭区间m，n上的“闭函数”如函数yx4，当x1时，y3；当x3时，y1，即当1x3时，有1y3，所以说函数yx4是闭区间1，3上的“闭函数”(1)反比例函数y是闭区间1，2015上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若二次函数yx22xk是闭区间1，2上的“闭函数”，求k的值；(3)若一次函数ykxb(k0)是闭区间m，n上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m，n的代数式表示)22015东城一模 定
7、义符号min的含义为：当ab时，minb；当ab时，mina.如：min2，min1.(1)求min；(2)已知minx22xk，33，求实数k的取值范围；(3)已知当2x3时，minx22x15，m(x1)x22x15.直接写出实数m的取值范围32015海淀二模 如图Z105(a)，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(1，1)，C(1，0)，D(1，1)，记线段AB为T1，线段CD为T2，点P是坐标系内一点给出如下定义：若存在过点P的直线l与T1，T2都有公共点，则称点P是T1T2联络点例如，点P(0，)是T1T2联络点(1)以下各点中，_是T1T2联络点(填出所有正确的序号)
8、；(0，2)；(4，2)；(3，2)(2)直接在图(a)中画出所有T1T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示(3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，M上只有一个点为T1T2联络点，若r1，求点M的纵坐标；求r的取值范围图Z10542015门头沟一模 如图Z106，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc(a0)的顶点为M，直线ym与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽图Z106(1)抛物线yx2的碟宽为_，抛物线yax2(a0)的碟宽为_(
9、2)如果抛物线ya(x1)26a(a0)的碟宽为6，那么a_(3)将抛物线ynanx2bnxcn(an0)的准蝶形记为Fn(n1，2，3，)，我们定义F1，F2，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比如果Fn与Fn1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.求抛物线y2的函数解析式请判断F1，F2，Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的函数解析式；如果不是，说明理由图Z10752015朝阳一模 定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此
10、时MPMQ为PQ的“等高距离”(1)若P(1，2)，Q(4，2)在点A(1，0)，B(，4)，C(0，3)中，PQ的“等高点”是_；若M(t，0)为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值(2)若P(0，0)，PQ2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标图Z10862015通州一模 如图Z109，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(6，3)，连接AB.若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ1，则称点P是线段AB的“邻近点”(1)判断点D(，)是否是线段AB的“邻近点”_(填“是”或“否”)；(2)若点H(m，n)在一次函
11、数yx1的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围；(3)若一次函数yxb的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围图Z10972015海淀一模 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a，b)和点Q(a，b)，给出如下定义：若b则称点Q为点P的限变点例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是.(1)点的限变点的坐标是_；在点A，B中有一个点是函数y的图象上某一个点的限变点，这个点是_(2)若点P在函数yx3(2xk，k2)的图象上，其限变点Q的纵坐标b的取值范围是5b2，求k的取值范围(3)若点P在关于x的二次函数yx22txt2t的图象上，其限变点Q的纵坐标b的取值范围是bm或
12、bn，其中mn.令smn，求s关于t的函数解析式及s的取值范围图Z101082015西城一模 给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点(1)点A的坐标为A(1，0)，则点B(2，3)和射线OA之间的距离为_，点C(2，3)和射线OA之间的距离为_(2)如果直线yx和双曲线y之间的距离为，那么k_(可在图Z1011(a)中进行研究)(3)点E的坐标为(1，)，将射线OE绕原点O逆时针旋转60，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的
13、点所组成的图形记为图形M.请在图(b)中画出图形M，并描述图形M的组成部分；(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线yx22与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离图Z1011参考答案北京真题体验1.解：(1)点M(2，1)关于O的反称点不存在点N(，0)关于O的反称点存在，反称点N(，0)点T(1，)关于O的反称点存在，反称点T(0，0)如图，直线yx2与x轴、y轴分别交于点E(2，0)，点F(0，2)设点P的横坐标为x.(i)当点P在线段EF上，即0x2时，0OP2，在射线OP上一定存在一点P，使得OPOP2，点P关于O的
14、反称点存在，其中点P与点E或点F重合时，OP2，点P关于O的反称点为O，不符合题意，0x2.(ii)当点P不在线段EF上，即x0或x2时，OP2，对于射线OP上任意一点P，总有OPOP2，点P关于O的反称点不存在综上所述，点P的横坐标x的取值范围是0x2.(2)若线段AB上存在点P，使得点P关于C的反称点P在C的内部，则1CP2.依题意可知点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，2 )，BAO30.设圆心C的坐标为(x，0)当x6时，过点C作CHAB于点H，如图，0CHCP2，0CA4，06x4，2x6，并且，当2x6时，CB2，CH2，在线段AB上一定存在点P，使得CP2，此时点P关于C的
15、反称点为C，且点C在C的内部，2x6.当x6时，如图.0CACP2，0x62，6x8.并且，当6x8时，CB2，CA2，在线段AB上一定存在一点P，使得CP2，此时点P关于C的反称点为C，且点C在C的内部，6x8.综上所述，圆心C的横坐标x的取值范围是2x8.2解：(1)y(x0)不是有界函数yx1(4x2)是有界函数，边界值为3.(2)对于yx1，y随x的增大而减小，当xa时，ya12，a1，当xb时，yb1.1b3.(3)由题意，函数平移后的表达式为yx2m(1xm，m0)当x1时，y1m；当x0时，ym；当xm时，ym2m.根据二次函数的对称性，当0m1时，1mm2m.当m1时，1mm2
16、m.当0m时，1mm.由题意，边界值t1m.当t1时，0m，0m.当m1时，1mm.由题意，边界值tm.当t1时，m1，m1.当m1时，由题意，边界值tm，不存在满足t1的m值综上所述，当0m或m1时，满足t1.3解：(1)如图(a)所示，过点E作O的切线，设切点为R.O的半径为1，RO1.EO2，OER30，根据切线长定理得出O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30，E点是O的关联点D(，)，E(0，2)，F(2 ，0)，OFEO，DOEO，D点一定是O的关联点，而在O上不可能找到两点与点F的连线的夹角等于60，故在点D，E，F中，O的关联点是D，E.由题意可知，若P刚好是C的关联点，则点
17、P到C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60，由图(b)可知APB60，则CPB30.连接BC，则PC2BC2r，若点P为C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0d2r.由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，则点P到原点的距离OP212，如图(c)，过点O作l轴的垂线OH，垂足为H，GFO30，OGF60，OG2，可得点P1与点G重合过点P2作P2Mx轴于点M，可得P2OM30，OMOP2cos30，从而若点P为O的关联点，则P点必在线段P1P2上，0m.(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应是线段EF的中点考虑临界情况，如图(d)，即恰好点E，F
18、为K的关联点时，则KF2KNEF2，此时，r1，故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，则这个圆的半径r的取值范围为r1.4解：(1)点B的坐标是(0，2)或(0，2)点A与点B的“非常距离”的最小值为.(2)C是直线yx3上的一个动点，设点C的坐标为(x0，x03)，x0x02，此时，x0，点C与点D的“非常距离”的最小值为，此时C(，)E(，)x0x03，解得x0，则点C的坐标为(，)，点C与点E的“非常距离”的最小值为1.北京专题训练1.解：(1)反比例函数y是闭区间1，2015上的“闭函数”理由如下：反比例函数y在第一象限，y随x的增大而减小，当x1时，y2015；当x2015时，y
19、1，即图象过点(1，2015)和(2015，1)，当1x2015时，有1y2015，符合闭函数的定义，反比例函数y是闭区间1，2015上的“闭函数”(2)由于二次函数yx22xk的图象开口向上，对称轴为直线x1，二次函数yx22xk在闭区间1，2内，y随x的增大而增大当x1时，y1，k2.当x2时，y2，k2.即图象过点(1，1)和(2，2)，当1x2时，有1y2，符合闭函数的定义，k2.(3)因为一次函数ykxb是闭区间上的“闭函数”，根据一次函数的图象与性质，有：()当k0时，图象过点(m，m)和(n，n)，解得yx.()当kr，F(0，)在RtAOF中，AOF90，AO1，OF，AF，s
20、inAFO.在RtFEM中，FEM90，FMFOOMr，sinEFMsinAFO，MEFMsinEFM.r.又r0，0r2.4解：(1)4(2)(3)F1的碟宽F2的碟宽21，.a1，a2.又由题意得F2的碟顶坐标为(1，1)，y21.F1，F2，Fn的碟宽的右端点在一条直线上；其解析式为yx5.5解：(1)A、B(2)如图，作点P关于x轴的对称点P，连接PQ，PQ与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段PQ的长P(1，2)，P(1，2)设直线PQ的函数解析式为ykxb，根据题意，有解得直线PQ的函数解析式为yx.当y0时，解得x，即t.根据题意，可知PP4，PQ3，P
21、QPP，PQ5.“等高距离”最小值为5.(3)Q(，)或Q(，)6解：(1)是(2)点H(m，n)是线段AB的“邻近点”，点H(m，n)在直线yx1上，nm1.直线yx1与线段AB交于(4，3)当m4时，有nm13.又ABx轴，此时点H(m，n)到线段AB的距离是n3，0n31，4m5.当m4时，有nm1，n3.又ABx轴，此时点H(m，n)到线段AB的距离是3n，03n1，3m4，综上所述，3m5.(3)如图，3b1.7解：(1)(，1)点B(2)依题意，yx3(x2)的图象上的点P的限变点必在函数y的图象上b2，即当x1时，b取最大值2.当b2时，2x3.x5.当b5时，5x3或5x3.x2或x8.5b2，由图象可知，k的取值范围是5k8.(3)yx22txt2t(xt)2t，顶点坐标为(t，t)若t1，b的取值范围是bm或bn，与题意不符若t1，当x1时，y的最小值为t，即mt；当x1时，y的值小于(1t)2t，即n(1t)2tsmnt(1t)2tt21.s关于t的函数解析式为st21(t1)当t1时，s取最小值2.s的取值范围是s2.8解：(1)3(2)1(3)如图，过点O分别作射线OE，OF的垂线OG，OH，则图形M为：y轴正半轴，GOH的边及其内部的所有点(图中的阴影部分)说明：(图形M也可描述为：y轴正半轴，直线yx下方与直线yx下方重叠的部分(含边界).
