《电大工程数学(本科)期末复习资料及答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电大工程数学(本科)期末复习资料及答案.doc（17页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、 一、单项选择题 1.若，则（）乘积矩阵中元素（10） 设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是） 设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）D. 下列结论正确的是（A. 若是正交矩阵则也是正交矩阵） 矩阵的伴随矩阵为（C. ） 方阵可逆的充分必要条件是（） 设均为阶可逆矩阵，则（D） D. 设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A） A. 用消元法得的解为（C. ）线性方程组（有唯一解） 向量组的秩为（3）设向量组为，则（ ）是极大无关组 与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则D. 秩秩若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A） A. 可能
2、无解 以下结论正确的是（D）D. 齐次线性方程组一定有解 若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出 A. 至少有一个向量 9设A，为阶矩阵，既是又是的特征值，既是又是的属于的特征向量，则结论（A）成立是AB的特征值 10设，为阶矩阵，若等式（）成立，则称和相似为两个事件，则（B）成立 B.如果（C）成立，则事件与互为对立事件 C. 且 10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为（ D. ） 4. 对于事件，命题（C）是正确的 C. 如果对立，则对立某随机试验的成功率为,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（D. 6.设随机变量，
3、且，则参数与分别是（6, 0.8） 7.设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A） A. 8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B） B. 9.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则 D.） 10.设为随机变量，当（C）时，有C. 1.A是矩阵，B是矩阵，当C为（ B ）矩阵时，乘积有意义。2.设A,B是n阶方阵，则下列命题正确的是（ A ）3设为阶矩阵，则下列等式成立的是（A ）（ D ）5若是对称矩阵，则等式（B. ）成立 6方程组相容的充分必要条件是( B )，其中， 7. n元线性方程组AX=b有接的充分必要条件是（ A r(A)=r(Ab) ）=( D
4、 )时有无穷多解。9. 若（ A 秩（A）=n ）成立时，n元线性方程组AX=0有唯一解10.向量组的秩是（ B 3 ）11. 向量组,的极大线性无关组是（ A ） 12下列命题中不正确的是（ DA的特征向量的线性组合仍为A的特征向量 ）13若事件与互斥，则下列等式中正确的是（A ）14设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量U =（C ）15. 若条件（C. 且 ）成立，则随机事件，互为对立事件 16. 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和是4”的概率（ C ） 17. 袋中有3个红球2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ D ） 18对来自正态总体（未知）
5、的一个样本，记，则下列各式中（ C. ）不是统计量 19. 对单个正态总体的假设检验问题中，T检验法解决的问题是（ B 未知方差，检验均值）设是来自正态总体（均未知）的样本，则（）是统计量设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计 D. 是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是2 若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 54 矩阵4.二阶矩阵设，则 设均为3阶矩阵，且，则 72 设均为3阶矩阵，且，则 3 若为正交矩阵，则 0 矩阵的秩为 2 。 设是两个可逆矩阵，则当 时，齐次线性方程组有非零解 向量组线性 相关 向量组的秩是 3 设齐次线性方程组的系数行列式，则这
6、个方程组有 无穷多 解，且系数列向量是线性 相关 的 向量组的极大线性无关组是向量组的秩与矩阵的秩 相同 设线性方程组中有5个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 个 设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为9若是的特征值，则是方程的根10若矩阵满足，则称为正交矩阵从数字1,2,3,4,5中任取3个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为2/5.2.已知，则当事件互不相容时， 0.8 ， 0.3 3.为两个事件，且，则4. 已知，则5. 若事件相互独立，且，则6. 已知，则当事件相互独立时， 0.65 ， 0.3 7.设随机变量，则的分布函数8.若，
7、则 6 9.若，则10.称为二维随机变量的 协方差 1统计量就是 不含未知参数的样本函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法 3比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 ， 有效性 4设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量5. 假设检验中的显著性水平为事件（u为临界值）发生的概率。1设，则的根是1，-1，2，-2 2设均为3阶方阵，则83. 设均为3阶方阵，则=-18_.4. 设均为3阶方阵，则=_-8_.5设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有3
8、个解向量6设为n阶方阵，若存在数l和非零n维向量，使得，则称为相应于特征值l的特征向量 7设互不相容，且，则08. 0.39设随机变量X B（n，p），则E（X）= np10若样本来自总体，且，则 11设来自总体的一个样本，且，则=12若，则0.313如果随机变量的期望，那么2014. 设X为随机变量，且D(X)=3,则D(3X-2)=_2715不含未知参数的样本函数称为统计量16. 若则a=_0.3_17. 设是的一个无偏估计，则_.17三、计算题设，求；答案： 设，求解：已知，求满足方程中的解： 写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值答案： 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵： ； ； 解
9、：（1）（2）(过程略) (3) 求矩阵的秩解： 1用消元法解线性方程组解：方程组解为设有线性方程组为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?解：当且时，方程组有唯一解当时，方程组有无穷多解判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式其中 解：向量能否由向量组线性表出，当且仅当方程组有解这里方程组无解不能由向量线性表出计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关 解：该向量组线性相关求齐次线性方程组的一个基础解系解：方程组的一般解为令，得基础解系求下列线性方程组的全部解解：方程组一般解为令，这里，为任意常数，得方程组通解试证：任一维向量都可由向量组，线性表示，且表示方式唯一，写
10、出这种表示方式证明：任一维向量可唯一表示为试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解证明：设为含个未知量的线性方程组该方程组有解，即从而有唯一解当且仅当而相应齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解9设是可逆矩阵的特征值，且，试证：是矩阵的特征值证明：是可逆矩阵的特征值存在向量，使即是矩阵的特征值10用配方法将二次型化为标准型解：令，即则将二次型化为标准型1.设为三个事件，试用的运算分别表示下列事件： 中至少有一个发生； 中只有一个发生； 中至多有一个发生； 中至少有两个发生； 中不多于两个发生； 中只有
11、发生解:(1) (2) (3) (4) (5) (6)2. 袋中有3个红球，2个白球，现从中随机抽取2个球，求下列事件的概率： 2球恰好同色； 2球中至少有1红球解:设=“2球恰好同色”，=“2球中至少有1红球” 3. 加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是3%，求加工出来的零件是正品的概率解：设“第i道工序出正品”（i=1,2）4. 市场供应的热水瓶中，甲厂产品占50%，乙厂产品占30%，丙厂产品占20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格
12、品的概率解：设 5. 某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布解：故X的概率分布是6.设随机变量的概率分布为试求解：7.设随机变量具有概率密度试求解：8. 设，求解：9. 设，计算；解：10.设是独立同分布的随机变量，已知，设，求解： 1设对总体得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5, 5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值和样本方差解： 2设总体的概率密度函数为试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 解：提示教材第214页例3矩估计：最大似然估计：， 3测两点之间的直线距离5次，测得距离
13、的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值并在；未知的情况下，分别求的置信度为0.95的置信区间解： （1）当时，由10.95， 查表得： 故所求置信区间为：4设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平，问原假设是否成立 解：，由 ，查表得：因为 1.96 ，所以拒绝 5某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8,
14、19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）解：由已知条件可求得： | T | 2.62 接受H0即用新材料做的零件平均长度没有变化。（四）证明题（每小题4分，共12分） 对任意方阵，试证是对称矩阵证明： 是对称矩阵 若是阶方阵，且，试证或 证明： 是阶方阵，且或 若是正交矩阵，试证也是正交矩阵证明： 是正交矩阵 即是正交矩阵 1设矩阵，求 解：由矩阵乘法和转置运算得利用初等行变换得即 2设矩阵，求或解矩阵方程AX=B 利用初等行变换得即 由矩阵乘法得 3求下列线性方程组的通解解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即方程组的一般解为：，其中，是自由未知量 令，得方程组
15、的一个特解方程组的导出组的一般解为：，其中，是自由未知量令，得导出组的解向量；令，得导出组的解向量 所以方程组的通解为：，其中，是任意实数 4当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。此时齐次方程组化为分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 令，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的全部解为（其中为任意常数）6. 设随机变量X N（3，4）求：（1）P（5 X 7）,(已知，) 7. 设随机变量X N（3，）求：（1）P（X 5）,（2）P（）,(已知.，,) 8设随机变量X N（3，4）求：（1）P
16、（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立的常数a (已知，) 解：（1）P（1 X 7）= = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8186 （2）因为 P（X a）= 0.9所以 ，a = 3 + = 5.56 9设，试求：(1)；(2)（已知）解：(1) (2) 10从正态总体N（，4）中抽取容量为625的样本，计算样本均值得= 2.5，求的置信度为99%的置信区间.(已知 )解：已知，n = 625，且 因为 = 2.5， 所以置信度为99%的的置信区间为： . 11某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这
17、批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间解：由于已知，故选取样本函数 已知，经计算得 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为12. 据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机抽取9块，测得抗断强度（单位：）的平均值为31.12，问这批转的抗断强度是否合格（）？13. 某一批零件重量，随机抽取4个测量重量（单位：千克）为14.7，15.1, 14.8, 15.2，可否认为这批零件的平均重量为15千克（）？14. 某钢厂生产了一批管材， 每根标准直径IOOmm ， 今对这批管材进行检验， 随机取出9根测得直径的平均值为9
18、9 . 9 mm，样本标准差s = O . 47 ， 已知管材直径服从正态分布， 问这批管材的质量是否合格? (检验显著性水平 = 0 . 05 , tO. 05(8)=2. 306)故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的.X0123 P0.40.30.20.1求：（1）期望E(X); (2) 四、证明题 1设是阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵证明：是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知已知是对称矩阵，故有，即由此可知也是对称矩阵，证毕2. 设A是n阶对称阵，试证也是对称阵。 3设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵证明： 因为 ，即 所以，A为可逆矩阵 4设向量组线性无关，令，证明向量组线性无关。 证明：设，即 因为线性无关，所以 解得k1=0, k2=0, k3=0，从而线性无关 5设随机事件,相互独立，试证：也相互独立证明： 所以也相互独立证毕6设,为随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知 7. 设A,B为随机事件，试证P(A-B)=P(A)-P(AB)
