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1、卡尔曼滤波简介,1.背景介绍：,Kalman，匈牙利数学家。卡尔曼滤波器源于他的博士论文和1960年发表的论文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems（线性滤波与预测问题的新方法）。,2.卡尔曼滤波的概念：,卡尔曼滤波是美国工程师Kalman在线性最小方差估计的基础上，提出的在数学结构上比较简单的而且是最优线性递推滤波方法，具有计算量小、存储量低，实时性高的优点。特别是对经历了初始滤波后的过渡状态，滤波效果非常好。,卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态
2、空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。,卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。它以“预测实测修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。,3.卡尔曼滤波特点：,卡尔曼滤波是解决状态空间模型估计与预测的有力工具之一，它不需存储历史数据，就能够从一系列的不完全以及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。卡尔曼滤波是一种递归的估计，即只要获知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，因此不需要记录观测或者估计
3、的历史信息。,4.卡尔曼滤波器的原理,状态估计原理状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分，一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。,受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确值，但可对它进行一系列观测，并依据一组观测值，按某种统计观点对它进行估计。使估计值尽可能准确地接近真实值，这就是最优估计。真实值与估计值之差称为估计误差。若估计值的数学期望与真实值相等，这种估计称为无偏估计。,卡尔曼滤波就是在有随机干扰和噪声的情况下，以线性最小方差估计方法给出状态的最优估计值。卡尔曼滤波是在统计的意义上给出最接近状态真值的估计
4、值。卡尔曼提出的递推最优估计理论，采用状态空间描述法，在算法采用递推形式，卡尔曼滤波能处理多维和非平稳的随机过程。卡尔曼滤波理论的提出，在工程上得到了广泛的应用，尤其在控制、制导、导航、通讯等现代工程方面。,5.卡尔曼滤波控制系统结构图,由于系统的状态x是不确定的，卡尔曼滤波器的任务就是在有随机干扰w和噪声v的情况下给出系统状态x的最优估算值，它在统计意义下最接近状态的真值x，从而实现最优控制u()的目的。,状态方程：X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k)输出方程：y(k)=CX(k)+Z(k)系统测量值：Z(k)=HX(k)+V(k)在上述方程中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)
5、是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，它们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程噪声和测量噪声。它们被假设成高斯白噪声，它们的协方差分别是Q，R。,6.卡尔曼滤波过程,卡尔曼滤波包括两个阶段：预测和更新。在预测阶段，滤波器应用上一状态的估计做出对当前状态的估计。在更新阶段，滤波器利用在当前状态的观测值优化预测阶段的预测值，以获的一个更精确的当前状态的估计。,6.1预测阶段,状态估计：根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在的状态。X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k).(1)
6、式(1)中，A是作用在前一状态的状态转移模型(状态转移矩阵),B是作用在控制向量上的控制输入模型(输入输出矩阵),X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。,协方差预测：对应于X(k|k-1)的协方差用P表示：P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A+Q(2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的协方差，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的协方差，A表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。公式1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，是对系统的状态预测。,6.2 更新
7、阶段,新息或测量余量：y(k)=Z(k)-H X(k|k-1)新息协方差:S(k)=H P(k|k-1)H+R卡尔曼增益(Kalman Gain):Kg(k)=P(k|k-1)H/(H P(k|k-1)H+R)(3)状态估计更新:收集现在状态的测量值，结合预测值和测量值，可以得到现在状态的最优化估算值。X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-H X(k|k-1)(4),状态协方差更新:为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，还要更新k状态下X(k|k)的协方差。P(k|k)=(I-Kg(k)H)P(k|k-1)(5)其中I为1的矩阵，对于单模型单测量,I=1。算法可以自回归的运算下去。公式(1)-(5)为卡尔曼滤波原理的五个重要基本公式。,Thank You,
