层次分析法（AHP）详细教程.ppt

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1、层次分析法（AHP）应用,一、层次分析法概述二、层次分析法的基本思路三、层次分析法的用途举例四、层次分析法应用的程序五、应用层次分析法的注意事项六、层次分析法应用实例,一、层次分析法概述,层次分析法是美国运筹学家Saaty教授于二十世纪80年代提出的一种实用的多方案或多目标的决策方法。其主要特征是，它合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。问题该方法自1982年被介绍到我国以来，以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等，得到了广泛的重视和应用。,

2、二、层次分析法的基本思路：,-先分解后综合的系统思想整理和综合人们的主观判断，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。首先将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。,三、层次分析法的用途举例,例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式是，往往不是直接进行比较，因为存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如

3、电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。,四、层次分析法应用的程序,运用AHP法进行决策时，需要经历以下4个步骤：1、建立系统的递阶层次结构；2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）3、针对某一个标准，计算各备选元素

4、的权重；4、计算当前一层元素关于总目标的排序权重。5、进行一致性检验。,五、应用层次分析法的注意事项,如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。,六、层次分析法应用实例,1、建立国民素质评价系统的递阶层次结构；2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）根据层次分析模型示意图所示，每位问卷评分者就可以依据个人对评价指标的主观评价，进行综合分析，对各指标之间进行两两对比之后，

5、然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。,3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；,关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。（1）几何平均法（根法）计算判断矩阵A各行各个元素mi的乘积；计算mi的n次方根；对向量进行归一化处理；该向量即为所求权重向量。,（2）规范列平均法（和法）,计算判断矩阵A各行各个元素mi的和；将A的各行元素的和进行归一化；该向量即为所求权重向量。,（3）计算矩阵A的最大特征值max,对于任意的i=1,2,n,式中为向量AW的第i个元素,一致性检验,构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准

6、则层各元素的相对权重，并进行一致性检验。虽然在构造判断矩阵A时并不要求判断具有一致性，但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩阵A进行一致性检验。,RI为平均随机一致性指标，是足够多个根据随机发生的判断矩阵计算的一致性指标的平均值。n为判断矩阵的阶数。110阶矩阵的RI取值见下表：矩阵阶数n 1 2 3 4 5RI 0 00.58 0.90 1.12 矩阵阶数n 6789 10RI 1.24 1.32 1.411.45 1.49,一般而言CR愈小，判断矩阵的一致性愈好，通常认为CR0.1时，判断矩阵具有满意的一致性。,层次分析法,Analytical Hierarchy Proces

7、s（AHP）,T.L.Saaty,层次分析法建模,一 问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。,例3 择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4 科研课题的选择 由于经费等因素

8、，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。,面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法（Analytical Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分

9、析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。,层次分析法的基本思路：,与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。,选择钢笔,质量、颜色、价格、外形、实用,钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4,质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔,二 层次分析法的基本步骤,用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：(1)建立层次结构模型；(2)构造判断矩阵；(3)层次单排序；(4)层次总排序；(5)一致性检验。其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。,1.建立层次结构模型,首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，按照最高层

10、、若干有关的中间层和最低层的形式排列起来。对于决策问题，通常可以将其划分成层次结构模型。,最高层：表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标。中间层：它表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等。最低层：表示解决问题的措施或政策(即方案)。,AHP决策分析法层次结构示意图,一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1 的层次结构模型,准则层,方案层,目标层,例2 层次结构模型,准则层A,方案层B,目标层Z,若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。,图

11、8.2.3 晋陕蒙三角地区综合开发治理战略决策模型层次结构图,设某层有个因素，,2 构造成对比较矩阵（判断矩阵）,要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）,用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则,则称为成对比较矩阵。,上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。,尺度,第 个因素与第 个因素的影响相同,第 个因素比第 个因素的影响稍强,第 个因素比第 个因素的影响强,第 个因素比第 个因素的影响明显强,第 个因素比第 个因素的影响绝对地强,含义,比较尺度：（19尺度的含义）,2,4,6,8表示

12、第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。倒数：若j因素和i因素比较，得到的判断值为。,由上述定义知，成对比较矩阵,则称为正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：,满足一下性质,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。,由上表，可得成对比较矩阵,旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。,问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？,3 层次单排序及一致性检

13、验,层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记为1，打碎分成n各小块，各块的重量,分别记为：,则可得成对比较矩阵：,由右面矩阵可以看出：,即，,但在例2的成对比较矩阵中，,在正互反矩阵 中，若,则称 为一致阵。,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根 的归一化特征向量，且,表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，则,这样确定权向量的方法称为特征根法。,定义一致性指标,其中 为 的对角线元素之和，也

14、为 的特征根之和。,则可得一致性指标,定义平均随机一致性指标,随机构造500个成对比较矩阵,平均随机一致性指标 RI 的数值：,4 层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。从最高层到最低层逐层进行。设：,对总目标Z的排序为,的层次单排序为,即 层第 个因素对总目标的权值为：,层的层次总排序为：,A,B,层次总排序的一致性检验,设 层 对上层(层)中因素 的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：,当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。,1.建立层次结构模型 该结

15、构图包括目标层，准则层，方案层。,层次分析法的基本步骤归纳如下,3.计算单排序权向量并做一致性检验,2.构造成对比较矩阵,从第二层开始用19尺度构造成对比较矩阵。,对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、平均随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。,计算最下层对最上层总排序的权向量。,4.计算总排序权向量并做一致性检验,进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。,利用总排序一致性比率,作业：上机实验用Exc

16、el分析完成层次分析法的一个应用。,旅游问题层次结构模型,Excel函数,PRODUCT(B11:F11)：参数的乘积；POWER(G11，1/5)：某数的乘幂；SUM(H$11:H$15)：数值的求和；MMULT(B11:F11，I$11:I$15)：两数组矩阵的乘积。,四、对AHP方法的简单评价,优点：思路简单明了，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受；所需要的定量化数据较少，但对问题的本质，问题所涉及的因素及其内在关系分析得比较透彻、清楚。,缺点：存在着较大的随意性。譬如，对于同样一个决策问题，如果在互不干扰、互不影响的条件下，让不同的人同样都采用AHP决策分析

17、方法进行研究，则他们所建立的层次结构模型、所构造的判断矩阵很可能是各不相同的，分析所得出的结论也可能各有差异。,注意：在实际运用中，特别是在多目标、多准则、多要素、多层次的非结构化的战略决策问题的研究中，对于问题所涉及的各种要素及其层次结构模型的建立，往往需要多部门、多领域的专家共同会商、集体决定；在构造判断矩阵时，对于各个因素之间的重要程度的判断，也应该综合各个专家的不同意见，譬如，取各个专家的判断值的平均数、众数或中位数。,五、正互反阵最大特征值和特征向量实用算法,用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没

18、有必要的。寻找简便的近似方法。,定理,对于正矩阵 A（A的所有元素为正）,（1）A 的最大特征根为正根；,（2）对应正特征向量 w（w的所有分量为正）；,是对应 的归一化特征向量。,1 幂法 步骤如下,a)任取 n 维归一化初始向量,b)计算,c)归一化,，即令,d)对于预先给定的精度，当下式成立时,即为所求的特征向量；否则返回b；,e)计算最大特征值,这是求特征根对应特征向量的迭代方法，其收敛性由定理的(3）保证。,2 和积法 步骤如下,a)将A的每一列向量归一化得,b)对,c)归一化,按行求和得,d)计算,e)计算,，最大特征值的近似值。,列向量归一化,求和,归一化,精确计算，得,3 方根

19、法,a),按行求积并开n次方，即,b)归一化,d)计算,e)计算,，最大特征值的近似值。,AHP决策分析法层次结构示意图,AHP决策分析方法应用实例,甘肃省两西地区扶贫开发战略决策定量分析 晋陕蒙三角地区综合开发治理战略决策分析,一、甘肃省两西地区扶贫开发战略决策定量分析,甘肃省两西地区，包括以定西为代表的中部半干旱区及以河西走廊干旱区。其中，中部地区，属黄土高原西部半干旱区，资源贫乏，生态环境脆弱，植被稀少，水土流失严重，自然灾害频繁，人口严重超载，经济、文化落后，是一个集中连片的区域性贫困地区。河西走廊地区，地处西北干旱区，降水稀少，水资源紧缺，荒漠面积广阔，沙漠化严重，人口稀少；然而，丰

20、富的光热资源、发源于祁连山冰川的灌溉水源以及成片的宜农荒地孕育了历史悠久绿洲农业，独特的自然风光（如，七一冰川等）和丝绸古道上的历史文化遗产（如，敦煌莫高窟等）是国内外著名的旅游景点，我国著名的镍都金昌市与钢铁工业基地之一嘉峪关市也位于本区。,（1）总目标：A 使甘肃省两西地区稳定解决温饱，彻底脱贫致富，改变落后面貌。（2）战略目标，包括：O1 改善生态环境，力争达到良性循环；O2 发展大农业生产；O3 积极发展第二、三产业。,（一）层次结构模型,（3）发展战略，包括：C1 移民；C2 建设河西商品粮基地；,C3 建设中部自给粮基地；C4 种树种草，大力发展林牧业；C5 扩大经济作物种植面积，

21、发展名优农副生产基地；C6 充分利用当地资源，发展多样化产业。,（4）制约因素，有：S1 资金不足；S2 水资源不足；S3 有效灌溉面积不足；S4 技术力量缺乏（包括农业技术人员、工程技术人员、科研人员、教员等）；,S5 交通运输条件差；S6 自然条件恶劣，自然灾害频繁，水土流失严重；,S7 饲料严重不足；S8 人口自然增长率高。（5）方针措施，包括：P1 国家投入专项基金；P2 省财政设立农业专项开发资金；P3 当地对资源实行有偿使用，以便积累资金；P4 向国际金融机构申请贷款；P5 采取联合开发的方式，弥补资金、技术力量的不足；P6 实施高扬程引黄提灌工程；P7 积极修建河西蓄水工程；P8

22、 开采地下水资源；P9 发展节水农业，提高水资源利用率；,P10 开垦荒地；P11 建设基本农田；,P12 努力提高粮食单产；P13 退耕还林、还牧；P14 开展科技培训、提高劳动者科技素质；P15 建立健全科技服务网络；P16 兴办集体企业，壮大集体经济实力；P17 改善公路运输条件，兴建公路；P18 修建铁路，提高铁路运输能力；P19 抓紧抓好计划生育工作。根据上述各因素及其之间的相互关系，可以建立如图8.2.1所示的决策层次结构模型。,计算结果：,（1）AO判断矩阵及单/总层次排序结果,=3.018，CI=0.009，RI=0.58，CR=0.0150.10,（2）O1-C判断矩阵及层次

23、单排序结果,=5.179，CI=0.045，RI=1.12，CR=0.0400.10,（3）O2-C判断矩阵及层单排序结果,=6.524，CI=0.105，RI=1.24，CR=0.0850.10,（4）O3-C判断矩阵及层次单排序结果,=2，CI=RI=0,（5）发展战略的层次总排序结果,CI=0.059，RI=1.022，CR=0.0580.10,（6）C1S判断矩阵及层次单排序结果,=4.259，CI=0.086，RI=0.9，CR=0.0960.10,（7）C2S判断矩阵及层次单排序结果,=4.145，CI=0.048，RI=0.9，CR=0.0470.10,（8）C3S判断矩阵及层次

24、单排序结果,=6.290，CI=0.058，RI=1.24，CR=0.0470.10,（9）C4S判断矩阵及层次单排序结果,=5.338，CI=0.084，RI=1.12，CR=0.0750.10,（10）C5S判断矩阵及层次单排序结果,=5.314，CI=0.078，RI=1.12，CR=0.070.10,（11）C6S判断矩阵及层次单排序结果,=3.01，CI=0.005，RI=0.58，CR=0.0090.10,（12）制约因素的层次总排序结果,CI=0.063，RI=0.956，CR=0.0660.10,（13）S1P判断矩阵及层次单排序结果,=6.394，CI=0.079，RI=1.

25、24，CR=0.0640.10,（14）S2P判断矩阵及层次单排序结果,=4.143，CI=0.048，RI=0.9，CR=0.0530.10,（15）S3P判断矩阵及层次单排序结果,=5.183，CI=0.046，RI=1.12，CR=0.0410.10,（16）S4P判断矩阵及层次单排序结果,=3.054，CI=0.027，RI=0.58，CR=0.0460.10,（17）S5P判断矩阵及层次单排序结果,（18）S6P判断矩阵及层次单排序结果,（19）S7P13：W=1，=1，CI=RI=0（20）S8P19：W=1，=1，CI=RI=0,=2，CI=RI=0,=2，CI=RI=0,（21

26、）方针措施的层次总排序结果(见下页）,CI=0.054，RI=0.952，CR=0.0570.10,（三）结果分析,（1）从战略目标来看，要实现两西地区扶贫开发的总目标，首先要积极改善生态环境，尽快恢复生态平衡，使之走上良性循环的轨道，其权重为0.558；但必须采取开发与治理并重的总方针，边开发边治理，以开发促治理，大力发展农业生产，计算结果表明这一目标的权重为0.320，其重要程度处在第二位。当然，第二、第三产业的发展也应得到相应的重视，其权重为0.122。,（2）从发展战略上来讲，首先要在定西地区继续实施以扶贫为目标的移民工程，其权重为0.262；河西商品粮基地的建设与发展也占有举足轻重的

27、地位，其权重为0.220；两区积极发展林业和畜牧业也应放到重要的位置上来，权重值为0.168。随着两区社会经济的不断发展，建设名优农副产品基地和积极发展乡镇企业这两条战略的重要性将逐渐显示出来，其权重值分别为0.128和0.127。定西地区的粮食生产基地也有待积极建设，保证自给，缓解粮食供求的紧张局面，其权重值为0.094。,（3）从制约因素来看，资金短缺这一点对两西地区扶贫开发影响最大，其权重为0.472；水资源不足与有效灌溉面积不足也是两个至关重要的问题，二者的权重分别为0.172和0.147；技术力量不足，交通运输条件差也对总目标的实现有较为严重的制约，其权重分别为0.081和0.051

28、；饲料严重不足，自然条件恶劣、人口自然增长率高三者的权重分别为0.036、0.023和0.016。,（4）从方针措施来看，当前急待解决的几个问题：采取联合开发的形式，弥补资金、技术力量的不足，权重为0.193；省财政继续设立农业专项开发资金，权重为0.119；继续实施高扬程引黄灌溉工程，解决中部严重缺水的问题，权重为0.072；在以河西为重点的两西地区，积极发展节水农业，各行业应努力提高水资源利用率，权重为0.069；退耕还林、还牧、保持生态平衡，控制水土流失，积极发展林牧业，其权重值为0.065；国家投入专项扶贫资金，以及向国际金融机构申请贷款，对于筹集资金也很重要，二者的权重均为0.058

29、；,积极开垦荒地、加强资源的有偿使用，提高使用效益，逐步积累基金，建设基本农田，继续修建河西蓄水工程，改建或新建公路这五条措施也是需要抓紧抓好、尽快落实的几点措施，它们的权重依次为0.055，0.0554，0.052，0.036和0.034；,从长远角度考察，为了克服两西扶贫开发中的阻碍还需要采取的一些措施有：兴办集体企业，壮大集体经济实力；对劳动力积极培训；开采地下水资源；提高铁路运输能力；抓紧抓好计划生育工作；建立健全科技服务网络；努力提高单产等等。,二、晋陕内蒙古三角地区 综合开发治理战略决策分析,晋陕蒙三角地区包括山西省的河曲、保德、偏关、兴县，陕西省的神木、府谷、榆林县，内蒙古自治区

30、德伊金霍洛旗、东胜市、准格尔旗、清水河县、达拉特旗，共12个县（市，旗）。本区自然环境恶劣，水资源缺乏，水土流失及风沙危害严重，农、林、牧业都不发达。但是，本区煤炭资源十分丰富，拥有我国和世界上罕见的特大煤田，探明储量共计2576亿吨。为了给本区综合开发治理决策提供依据。运用AHP决策分析法，按总目标、战略目标、发展战略、制约因素和方针措施等五个层次，分析了它们之间的相互联系与相互制约关系，计算出了各层的相对权重，从而得出了这些因素对实现总目标影响的重要程度，为制定切实可行的方针措施和克服不利因素提供了必要的依据。,（一）层次结构模型,总目标：对晋陕蒙三角地区进行综合开发与治理。战略目标：O1

31、 煤炭开发；O2 发展农林牧生产；O3 改善生态环境，力争达到良性循环。发展战略：C1发展统配煤矿；C2发展地方、乡镇煤矿；C3发展电力工业；C4发展重工业、化工工业；,C5发展地方工业乡镇企业；C6发展粮食生产；C7建设肉蛋奶基地；C8建设果品蔬菜基地；C9水土保持；C10沙漠化治理。制约因素 S1运输能力低下；S2资金严重不足；S3人力、技术力量（包括技术工人，工程技术人员，科研人员，教员等）缺乏；S4水资源不足；,S5地方乡镇经济不发达；S6粮食及农副畜产品供应紧张；S7水土流失严重，风沙危害大；S8厂矿建设要占用大部分良田。方针措施：P1 引入国外资金，引进技术；P2 国家投资；P3

32、地方集资；P4 现有水资源开发节流，合理使用；P5 引黄河水；P6 开发地下水；P7种草种树，发展畜牧；P8加强农田基建，提高单产；,P9 对可能污染环境的厂矿，提前采取措施；P10 各省内自行解决人才、技术问题；P11 从全国引进人才，引进技术；P12 本地区自行解决人才、技术问题；P13 各省内解决农副畜产品供应问题；P14 地方解决粮食供应；P15 省内解决粮食供应；P16 从全国调人粮食；P17 改善公路运输条件，新建公路；P18 修建铁路；P19 对重点工矿，加强水保工作及沙化治理。,图8.2.3 晋陕蒙三角地区综合开发治理战略决策模型层次结构图,层次分析法,Analytical H

33、ierarchy Process（AHP）,T.L.Saaty,层次分析法建模,一 问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。,例3 择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4

34、科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。,面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法（Analytical Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据

35、寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。,层次分析法的基本思路：,与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。,选择钢笔,质量、颜色、价格、外形、实用,钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4,质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔,二 层次分析法的基本步骤,用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：(1)建立层次结构模型；(2)构造判断矩阵；(3)层次单排序；(4)层次总排序；(5)一致性检验。其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。,1.建立层次结构模型,首先要将所包含的因素分组，

36、每一组作为一个层次，按照最高层、若干有关的中间层和最低层的形式排列起来。对于决策问题，通常可以将其划分成层次结构模型。,最高层：表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标。中间层：它表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等。最低层：表示解决问题的措施或政策(即方案)。,AHP决策分析法层次结构示意图,一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1 的层次结构模型,准则层,方案层,目标层,例2 层次结构模型,准则层A,方案层B,目标层Z,若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构

37、，否则称为不完全层次结构。,图8.2.3 晋陕蒙三角地区综合开发治理战略决策模型层次结构图,设某层有个因素，,2 构造成对比较矩阵（判断矩阵）,要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）,用 表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则,则称为成对比较矩阵。,上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。,尺度,第 个因素与第 个因素的影响相同,第 个因素比第 个因素的影响稍强,第 个因素比第 个因素的影响强,第 个因素比第 个因素的影响明显强,第 个因素比第 个因素的影响绝对地强,含义,比较尺度：（19尺

38、度的含义）,2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。倒数：若j因素和i因素比较，得到的判断值为。,由上述定义知，成对比较矩阵,则称为正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：,满足一下性质,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。,由上表，可得成对比较矩阵,旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。,问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果

39、呢？,3 层次单排序及一致性检验,层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记为1，打碎分成n各小块，各块的重量,分别记为：,则可得成对比较矩阵：,由右面矩阵可以看出：,即，,但在例2的成对比较矩阵中，,在正互反矩阵 中，若,则称 为一致阵。,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根 的归一化特征向量，且,表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，则,这样确定权向量的方法称为特征根法。,定义一致性指标,

40、其中 为 的对角线元素之和，也为 的特征根之和。,则可得一致性指标,定义平均随机一致性指标,随机构造500个成对比较矩阵,平均随机一致性指标 RI 的数值：,4 层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。从最高层到最低层逐层进行。设：,对总目标Z的排序为,的层次单排序为,即 层第 个因素对总目标的权值为：,层的层次总排序为：,A,B,层次总排序的一致性检验,设 层 对上层(层)中因素 的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：,当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策

41、。,1.建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。,层次分析法的基本步骤归纳如下,3.计算单排序权向量并做一致性检验,2.构造成对比较矩阵,从第二层开始用19尺度构造成对比较矩阵。,对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、平均随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。,计算最下层对最上层总排序的权向量。,4.计算总排序权向量并做一致性检验,进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。,利用总排序一致

42、性比率,作业：上机实验用Excel分析完成层次分析法的一个应用。,旅游问题层次结构模型,Excel函数,PRODUCT(B11:F11)：参数的乘积；POWER(G11，1/5)：某数的乘幂；SUM(H$11:H$15)：数值的求和；MMULT(B11:F11，I$11:I$15)：两数组矩阵的乘积。,四、对AHP方法的简单评价,优点：思路简单明了，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受；所需要的定量化数据较少，但对问题的本质，问题所涉及的因素及其内在关系分析得比较透彻、清楚。,缺点：存在着较大的随意性。譬如，对于同样一个决策问题，如果在互不干扰、互不影响的条件下，让不

43、同的人同样都采用AHP决策分析方法进行研究，则他们所建立的层次结构模型、所构造的判断矩阵很可能是各不相同的，分析所得出的结论也可能各有差异。,注意：在实际运用中，特别是在多目标、多准则、多要素、多层次的非结构化的战略决策问题的研究中，对于问题所涉及的各种要素及其层次结构模型的建立，往往需要多部门、多领域的专家共同会商、集体决定；在构造判断矩阵时，对于各个因素之间的重要程度的判断，也应该综合各个专家的不同意见，譬如，取各个专家的判断值的平均数、众数或中位数。,五、正互反阵最大特征值和特征向量实用算法,用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较

44、粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法。,定理,对于正矩阵 A（A的所有元素为正）,（1）A 的最大特征根为正单根；,（2）对应正特征向量 w（w的所有分量为正）；,是对应 的归一化特征向量。,1 幂法 步骤如下,a)任取 n 维归一化初始向量,b)计算,c)归一化,，即令,d)对于预先给定的精度，当下式成立时,即为所求的特征向量；否则返回b；,e)计算最大特征值,这是求特征根对应特征向量的迭代方法，其收敛性由定理的(3）保证。,2 和积法 步骤如下,a)将A的每一列向量归一化得,b)对,c)归一化,按行求和得,d)计算,e)计算,，最大特征值的近似值。,列向量归一化,求和

45、,归一化,精确计算，得,3 方根法,a),按行求积并开n次方，即,b)归一化,d)计算,e)计算,，最大特征值的近似值。,AHP决策分析法层次结构示意图,AHP决策分析方法应用实例,甘肃省两西地区扶贫开发战略决策定量分析 晋陕蒙三角地区综合开发治理战略决策分析,一、甘肃省两西地区扶贫开发战略决策定量分析,甘肃省两西地区，包括以定西为代表的中部半干旱区及以河西走廊干旱区。其中，中部地区，属黄土高原西部半干旱区，资源贫乏，生态环境脆弱，植被稀少，水土流失严重，自然灾害频繁，人口严重超载，经济、文化落后，是一个集中连片的区域性贫困地区。河西走廊地区，地处西北干旱区，降水稀少，水资源紧缺，荒漠面积广阔

46、，沙漠化严重，人口稀少；然而，丰富的光热资源、发源于祁连山冰川的灌溉水源以及成片的宜农荒地孕育了历史悠久绿洲农业，独特的自然风光（如，七一冰川等）和丝绸古道上的历史文化遗产（如，敦煌莫高窟等）是国内外著名的旅游景点，我国著名的镍都金昌市与钢铁工业基地之一嘉峪关市也位于本区。,（1）总目标：A 使甘肃省两西地区稳定解决温饱，彻底脱贫致富，改变落后面貌。（2）战略目标，包括：O1 改善生态环境，力争达到良性循环；O2 发展大农业生产；O3 积极发展第二、三产业。,（一）层次结构模型,（3）发展战略，包括：C1 移民；C2 建设河西商品粮基地；,C3 建设中部自给粮基地；C4 种树种草，大力发展林牧

47、业；C5 扩大经济作物种植面积，发展名优农副生产基地；C6 充分利用当地资源，发展多样化产业。,（4）制约因素，有：S1 资金不足；S2 水资源不足；S3 有效灌溉面积不足；S4 技术力量缺乏（包括农业技术人员、工程技术人员、科研人员、教员等）；,S5 交通运输条件差；S6 自然条件恶劣，自然灾害频繁，水土流失严重；,S7 饲料严重不足；S8 人口自然增长率高。（5）方针措施，包括：P1 国家投入专项基金；P2 省财政设立农业专项开发资金；P3 当地对资源实行有偿使用，以便积累资金；P4 向国际金融机构申请贷款；P5 采取联合开发的方式，弥补资金、技术力量的不足；P6 实施高扬程引黄提灌工程；

48、P7 积极修建河西蓄水工程；P8 开采地下水资源；P9 发展节水农业，提高水资源利用率；,P10 开垦荒地；P11 建设基本农田；,P12 努力提高粮食单产；P13 退耕还林、还牧；P14 开展科技培训、提高劳动者科技素质；P15 建立健全科技服务网络；P16 兴办集体企业，壮大集体经济实力；P17 改善公路运输条件，兴建公路；P18 修建铁路，提高铁路运输能力；P19 抓紧抓好计划生育工作。根据上述各因素及其之间的相互关系，可以建立如图8.2.1所示的决策层次结构模型。,计算结果：,（1）AO判断矩阵及单/总层次排序结果,=3.018，CI=0.009，RI=0.58，CR=0.0150.1

49、0,（2）O1-C判断矩阵及层次单排序结果,=5.179，CI=0.045，RI=1.12，CR=0.0400.10,（3）O2-C判断矩阵及层单排序结果,=6.524，CI=0.105，RI=1.24，CR=0.0850.10,（4）O3-C判断矩阵及层次单排序结果,=2，CI=RI=0,（5）发展战略的层次总排序结果,CI=0.059，RI=1.022，CR=0.0580.10,（6）C1S判断矩阵及层次单排序结果,=4.259，CI=0.086，RI=0.9，CR=0.0960.10,（7）C2S判断矩阵及层次单排序结果,=4.145，CI=0.048，RI=0.9，CR=0.0470.

50、10,（8）C3S判断矩阵及层次单排序结果,=6.290，CI=0.058，RI=1.24，CR=0.0470.10,（9）C4S判断矩阵及层次单排序结果,=5.338，CI=0.084，RI=1.12，CR=0.0750.10,（10）C5S判断矩阵及层次单排序结果,=5.314，CI=0.078，RI=1.12，CR=0.070.10,（11）C6S判断矩阵及层次单排序结果,=3.01，CI=0.005，RI=0.58，CR=0.0090.10,（12）制约因素的层次总排序结果,CI=0.063，RI=0.956，CR=0.0660.10,（13）S1P判断矩阵及层次单排序结果,=6.39