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1、等比数列的前n项和,等比数列的前n项和,学情分析,等比数列的前n项和,地位作用,学习目标,重点难点,教材分析,地位作用,这节内容是在学习完等差数列的通项公式，前n项和公式，以及等比数列的定义、通项公式等知识的基础上进行的。它是数列的重要内容，不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。,知识与技能,过程与方法,情感与态度,1、理解等比数列的前n项和公式的推导方法。2、掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题,通过公式的推导过程，理解“错位相减法
2、”,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会从特殊到一般的思维方法，体会方程思想、分类讨论思想及转化思想,通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、敢于创新，从中获得成功的体验，并能够在和谐的生生、师生的共同活动中感受学习乐趣。,学习目标,学习重点和难点,重点:,等比数列的前n项和公式的推导、和公式的运用,难点：,等比数列的前n项和公式的推导方法的发现，及应用。,学情分析,从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差数列及前n项和等知识，一方面容易把本节内容与等差知识进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算量很大，思维的深刻性很高，而且对q
3、=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后继学习实用过程中往往会出错。学生虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏深刻性，不够严谨，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。,学法分析,学生在教师创设的问题情境中，通过感悟体验，从情境中提炼数学问题，提高观察、概括、归纳和动手尝试的能力，结合教师的点拨提问，经过研探论证形成对等比数列的前n项和公式的认识，在反馈矫正环节，通过训练题，发现自身不足，互动互检，在教师的及时点拨下提高对等比数列的前n项和公式的应用能力，通过课堂小结回顾当堂所学，自我评价是否实现学习目标并及时完善。整个过程，体现了学生的主体地位，变学生被动接
4、受式学习为主动参与式学习，使学生提高了数学素养，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。,教法分析,根据这节课的特点，以建构主义理论为指导，根据学生的认知水平，本节课我采用了启发式和探究式相结合的教学方法，充分体现老师的主导作用，充分发挥学生的主体地位，创造和谐的学习环境，使学生能够愉快地自觉学习，通过教师创设的问题情景，让学生观察、分析、独立思考，必要时通过合作探索，使学生发现解决问题的方法，完成公式推导，解决问题。一句话：以学生为本，让课堂焕发生机。,教学流程,第一环节:创设情境（3分 钟）第二环节:探索发现（22分 钟）第三环节:辨析质疑（5 分 钟）第四环节:巩固提高（10
5、分 钟）第五环节:课堂小结（3 分 钟）,第六环节:作业布置（2 分钟）,教学过程,第一环节创设情境,引入：国际象棋发明者的故事大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白相间共64格。关于国际象棋有这样一个传说.古印度国王要奖赏国际象棋的发明者西萨,问他有什么要求,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求吧!”国王说:“这太简单了,来人,快点去办。”然而,过了好多天,手下急匆匆地跑来：“不好
6、啦,不好啦!”你猜怎么了?原来经计算发现,就是印度几十年生产的所有麦子加起来都还不够,那么到底怎样计算的呢？,设计意图：根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示的作用下，学生会很自然把自己融入角色，学生的兴趣和思维得到激发。,【教师提问】同学们，你们知道发明者要的是多少小麦吗？【师生活动】引导学生写出西萨要的麦粒总数 将问题归结为数列求和问题.,设计意图：把应用问题数学化，将问题转化为等比数列求和,教学过程,第二环节：探索发现（1）,探索公式 启发:在 中每一项有什么特征?相邻项之间的关系是什么?,用什么办法可以消除邻项之间的不同?,后一项是前一项的2倍!,前一项乘以2变后一项,将（1）式两边同乘
7、以2则有 记为（2）式比较（1）(2）两式，你有什么发现？,设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机,，得,中间各数均为0,教学过程 第二环节：探索发现（2）,探索公式,错位相减法,教学过程,第二环节：探索发现（3）,公式证明,公比为q,设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感,教学过程,第二环节：探索发现（4）,公式证明,问题:在推导公式的
8、过程中由 能否 直接得到?这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时=？再次追问：结合等比数列的通项公式,如何把 用,和q表示出来？,设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力,【讨论交流，延伸拓展】在此基础上，我提出：探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？思路一：累加法上式累加得到思路二：提取公比,设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上三种方法都可以化归到,这其实就是关于的一个递推式，递推数列
9、有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.(另外这三种方法结合教学时间可以讲两种，另一种可以留给学生课下讨论，重点还是让学生掌握错位相减法的思想。),思路三：等比定理法,教学过程,第三环节：辨析质疑（1）,解决故事问题,=18 446 744 073 709 551 615（粒）人们估计，如果把这些麦粒依次排列,它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍。若按万粒400克计算，可达7000亿吨。而我国现年产量在1亿吨左右.,解：a1=1，q=2，n=64由：得出,设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维
10、。,教学过程,第三环节：辨析质疑（2）,练习,2、判断对错（1）（）（2）（）（3）若 且，则（）,设计意图：在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“小、易、快”填空和判断是非练习，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成.，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识,教学过程,第四环节：巩固提高,例1已知 是等比数列，请完成下表：,例2求等比数列 的第5项到第10项的和方法1：观察、发现：,方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为公比为 项数为,变式1：求 的 前n项和变式2：求 的前n项和
11、(留作思考）,设计意图：例1采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，主要是熟练公式运用，着重强调公式的选择.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力,例2由教科书中的例题改编而成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性.,第五环节：课堂小结师生小结：由学生从知识、思想方法、解决问题的办法等方面进行小结，老师适时补充，以推动学 生建立完整的知识框架结构.,教学过程,目的：培养学生的口头表达能力，归纳概括能力,第六环节：作业布置,教学过程,作业布置弹性化,书面作业课本 P58 练习1、2（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一
12、，请问:尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？（选做）,设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间,板书设计,2.5等比数列的前n项和公式的发现过程 公式的推导证明过程 例2：练习*分析*解：*,主要板书公式的发现过程和公式的最后形式，其它部分由学生完成,教学过程设计说明：,本节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明。充分体现以学生发展为本，培养学生的观察、概括和探究能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，还特别突出学生学习方法的指导，探究能力的训练，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。,Thank you！,感谢您的指导！,
