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1、圆的常用辅助线及作法,尝试练习一,尝试练习二,数学歌诀,作法及应用,弦心距,直径圆周角,切线径,两圆相切公切线,中点圆心线,两圆相交公共弦,尝试练习,圆的常用辅助线及作法,常用思想,圆是初中几何学习中重要内容，学好圆的有关知识，掌握正确的解题方法，对于提高学生的综合能力非常重要，而在解决圆的有关问题时，恰当添设辅助线则是解题的关键。,一、添设圆的辅助线的常用思想 添设圆的辅助线是几何学习的重要方法。在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助线起到“搭桥铺路”的作用。,弦与弦心距，亲密紧相连。中点与圆心，连线要领先。两个相交圆，不离公共弦。两个相切圆，常作公
2、切线。圆与圆之间，注意连心线。遇直径想直角，遇切点作半径。,圆的常用辅助线作法的“数学歌诀”,二、常用辅助线作法的应用,在解决与弦、弧有关的问题时，常作弦心距、半径等辅助线，利用垂径定理、推论及勾股定理解决问题。,2.1、弦心距-有弦，可作弦心距。,例1、如图，已知，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD。,由垂径 定理得：AE=EB，CE=DE,证明：过O作OE AB，垂足为E。,E,即：AC=BD,AE-CE=BE-DE,在解决有关直径的问题时，常作直径上的圆周角，构成直径所对的圆周角是直角，寻找隐含的条件，从而得到所求结论。,2.2、直径圆周角-有直
3、径，可作直径上的圆周角.,例2、已知：MN 切O于A点，PC是直径，PB MN于B点，求证：,分析：,证明：连结AC、AP,PC是O的直径 CAP=90,PB MN PBA=90,CAP=PBA,MN 是0的切线 BAP=ACP,在解决有关切线问题时，常作过切点的半 径，利用切线的性质定理；或者连结过切点的弦，利用弦切角定理，使问题得以解决。,2.3、切线径-有切点，可作过切点的半径。,例3、如图，AB、AC与O相切有与B、C点，A=50，点P优弧BC的一个动点，求BPC的度数。,BOC=360-A-ABO-ACO=360-50-90-90=130,解：连结 OB、OC，,AB、AC是O的切线
4、,ABOB，ACOC，,在四边形ABOC中，A=50,BPC=65,ABO=ACO=90,在解决两圆相交的问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形。再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系。,2.4、两圆相交公共弦-两圆相交，可作公共弦。,例4、如图，已知：O 和O 相交于A、B两点，过A点的直线CD分别交O 和O 于C、D；过B点的直线EF分别交O 和O 于E、F。求证：CEDF。,CEDF,1,2,2,2,1,1,2,1,证明：连结AB,四边形ACEB是O 的内接四边形,DAB=E,四边形ABFD是O 的内接四边形,DAB+F=180,E+F=180,在
5、解决两圆相切的问题时，常作两圆的公切线。若两圆外切，常作内公切线；若两圆内切，常作外公切线。通过公切线构造弦切角，利用弦切角便把两圆的圆周角联系起来。,2.5、两圆相切公切线-两圆相切，可作公切线.,例5、如图，已知两圆外切于T点。过T的直线AB、CD分别交O 和O 于A、C 和B、D。求证：ACBD。,M,N,证明：过T点作两圆的内公切线MN,1,2,1,2,在O 中，A=CTN,在O 中，B=DTM,又 CTN=DTM,A=B,ACBD,在解决有关中点和圆心的问题时，可先连结中点与圆心。利用垂径定理，或者是三角形、梯形的中位线定理，可求出所需要的结论。,2.6、中点圆心线-有中点和圆心，可
6、连结中点与圆心。,例6、如图，已知AB、CD是O的两条弦，M、N分别是AB、CD的中点，并且 AMN=CNM。求证：AB=CD。,即：AB=CD,证明：连结OM、ON,M、N分别是AB、CD的中点,OMAB，ONCD,AMO=CNO=90,又 AMN=CNM,OMN=ONM,OM=ON,三、尝试练习一,1、如图，点O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于A、B和C、D点。求证：（1）、AB=CD（2）、PB=PD。,PO平分BPA，OM=ONAB=CD。,（1）、证明：过O作OMAB，ONCD，垂足为M、N。,M,N,三、尝试练习一,1、如图，点O是EPF的平分线上的一点，
7、以O为圆心的圆与角的两边分别交于A、B和C、D点。求证：（1）、AB=CD（2）、PB=PD。,（2）、AB=CD，OMAB，ONCDAM=MB=CN=ND又OM=ON，RtPMORtPNOPM=PNPM+MB=PN+ND即：PB=PD,2、如图，以RtABC的直角边AC为直径作O交斜边AB于P，过B、P任意作一个圆，过A作所作圆的切线AD，切点为D。求证：,即：AD=AC,AC是O的直径，APC=90ACB=90，APCACB,又AD是大的切线,证明：连结CP，,3、如图，在O中，半径OAOB垂足为O，P是OB上任意一点，AP交O于Q，过Q点的切线交OB的延长线于C。求证：CP=CQ。,QC
8、是O的切线，OQC=90OA=OQ，OAQ=OQA又OAOB，APO=90-OAPCQP=90-OQA APO=CQPCQP=CPQ，CP=CQ。,证明：连结OQ,四、尝试练习二,1、如图，两圆相交于A、B两点。过一个圆上的点P作射线PA和PB，分别交于另外一个圆于点C和点D，再作切线PT。求证：PTCD。,PT是小的切线，TPA=ABPABDC是大的内接四边形，ABP=CTPA=C即：PTCD。,证明：连结AB,2、如图，已知：O1和O2外切于点A，BC是O1和O2 的公切线，B、C为切点。求证：ABAC。,由切线长定理得：BP=PA，PA=PCPA=BP=PC=,证明：过点A作两圆的公切线交BC于点P，,ABAC,3、已知、AB是O的直径，AC是O的切线，切点为A，BC交O于点D，E是AC的中点。求证：ED是O的切线。,OE是ABC的的中位线OEBCAOE=B，EOD=ODBOB=OD，B=ODBAOE=EOD又AC是O的切线，OAE=90 OD=OA AOE=EOD OE=OEEAO EDOEDO=EAO=90即：ED是O的切线。,证明：连结OD，OE,谢谢！,
