数学建模论文江河竞渡的优化模型.doc

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1、江河竞渡的优化模型一、符号说明：水流的速度 单位：m/s：游泳者的速度 单位 m/sV：第一名游泳的速度 单位：m/st：第一名游泳所用的时间 单位：s：游泳方向与 水流方向的夹角y：竞赛区两岸的垂直距离 单位：mS：竞赛区的水平距离 单位：mL：水的位移 单位：mt：游泳者所用的时间 单位：s ：竞赛区第i段的垂直距离 单位：m：竞赛区的第i段的水平距离 单位：m 1000汉阳南岸咀v(水)1160v武昌汉阳门 图1二、模型的建立与求解 模型假设： 不考虑风力对水速的影响。不考虑水温对人的体力影响。不考虑江面风浪等水情对人的影响。将起点和终点均看作一点，记为A，B。江面宽度保持不变，即两岸是

2、保持平行的。 模型 ：（水流恒速模型） 问题1：通过对本题的分析，利用流体力学原理及图论的分析方法，建立模型。当竞渡区域每点的流速均为1.89m/s时，在148的时间内，水流的位移为： L=1602.72 m断定游泳者的速度在逆水方向上有一分量，即游泳者速度的方向应与水流的反方向成一定夹角，设此夹角为，如图。于是可得 解得 由题可知，长江水流速度的大小和方向是不变的，令游泳者的速度为V，方向与水流反方向成角，于是可得：消去，我们可以得到夹角与速度的关系为：。当V=1.5m/s时，代入可得。此时，=1160/（Vsin）=910.491s。即游泳者的V=1.5m/s时成绩为910.491s，在此

3、种情况下，游泳者所走的路线为从武昌汉阳门至汉阳南岸咀的一条直线。问题2：（1）在问题1的假设下，当游泳者始终以和岸边垂直的方向游时，可以列出以下方程式 因为=1.89m/s，得出=2.1924m/s。即：当游泳者速度2.01924m/s时，他们能到达终点。 当游泳者速度2.01924m/s时，他们将无法到达终点。有分析可知：人的游泳速度在1.5m/s，不可能达到2.1924m/s，所以，日如果从一开始路线选择错误，将无法到达终点。（2）模型中看出影响游泳者到达终点的因素主要是：水流速度、游泳者的速度V和该速度方向与水流方向的夹角，以及竞赛区域的水平距离S和垂直距离y。在2002年，全程长度较1

4、934年要短的多，因此，若想到达终点，就必须要求游泳者速度比较快。如图，合速度OS应保持在OA直线上，BASMNO图2即当水流速度为1.89m/s时，根据力的平行四边形定则，ON=MS当MSOA时，MS取得最小值。根据已知，OB=1160m，OM=1.89m/s。在1934年时，当OA=5000m时，。在2002年时，。显而易见，在1934年时，只要游泳者的速度大于0.43848m/s，就能到达对岸，而一般人的游泳速度要比这个速度大的多，因此在此前提下，路线略有变动，也不致被冲到下游，最终能够到达终点。而在2002年的这次比赛中，要求比赛者的速度必须大于1.4315m/s，且要求方向准确，因此

5、友一定的难度，只有部分人员选择了正确的方向，而大部分人被冲到了下游，所以到达终点的人数较少。因此，2002年能游到终点的人数的百分率比1934年要小的多。（3）由上面分析可知，能够到达终点的选手必须满足如下条件： a.游泳选手的身体素质要好，游泳速度在1.4315m/s以上。b.游泳选手的方向感要强，以调整方向选择正确的路线。模型：(水速分段变化的模型)问题3的求解根据水的流速，将游泳路线分为三个阶段考虑，在每一阶段上速度为一定值，与第一问的情况大致相同，所走路线如图（3）所示。设在三段中，所用的时间分别为，且，于是可得以下关系：目标函数为：。结合模型通过编程求的最优解：即游泳者在个路段中的游

6、泳方向与水流反方向的夹角分别为：各交界点坐标分别为：A（94.062112，200），B（802.749845，960）游泳者所走路线的函数方程为：游泳者的路线在各段中均为直线，如图（3）所示。竞渡共需时间：。问题4的求解 960200O x1000ABC 图3y1160当水的流速为连续分布时，仍将此模型分为三个阶段。设在三个阶段的速度分别为，在第一阶段和第三阶段时，和y呈线性关系，为了计算时间，取这两段的平均速度为研究对象，于是可得：所以的分布为：与问题3大致相同，由程序同理可得： 共需时间为：整个游泳过程中，设t时刻时游泳所处的位置为：由题意可得：解得：在第一、三阶段中，我们取得是水流的平

7、均速度，在此前提下选手的游泳方向和大小不变，也为一定值。在第一阶段中，代入上式，积分可得第一阶段的路线方程。同理，可求出在可得第三阶段的路线方程。在第二阶段中，因为水速为一定值，所以游泳者的路线在此段中为一直线。综上所述，游泳者所走的路线函数方程为;游泳者所走路线的路径如图（4）所示。三、模型的优缺点Oxy11609602001000图4从问题出发，分析了应该考虑的各种情况，建立了一般的数学模型，较好的解决了实际问题，模型的建立过程中体现了模型由简到繁的过程，用到的数学方法都比较简单易懂，并且每个模型的数值都通过计算机来解得，得到的解与实际情况基本吻合，解的稳定性很好。此模型具有广泛的使用性，

8、它建立的前提条件对V，三者没有任何约束，对每一个具体的情况，都可以在模型中求解出来。同时，模型也存在着一些不足。一是竞渡阶段的划分是有着人为因素，不同的划分得到不同结果；二是在问题（4）中连续分布上计算结果有所欠缺，进而降低了模型的实用性。四、竞渡策略从古至今，策略无论是在人们的日常生活中还是在经济生活中都占有举足轻重的地位。好的策略是成功的开始，好的策略来源于对环境的充分理解，对于一名渡江选手也不例外。一个渡江选手要想获得最好的成绩就是要在最短的时间内恰好到达终点，为此建立了一系列的数学模型详尽的说明了问题并提出了最优方案。情况1：如果竞渡水域中每点的水速和方向均不变时，参赛者只需使本人的速

9、度与水流的合速度从起点指向终点即可。情况2：竞渡水域分为水流速度固定的几个区域，在每个区域中水流速度固定，确定游泳者的游泳方向和大小保持不变，可用微积分以及VB求出最优解。情况3：竞渡水域的水流速度不一定固定在几个区域。可以用微元的方法把水域n等分，这时候要求选手在不同的水域选择不同的速度和方向，但实际难度比较大，所以可以在不同的区域取水流速度的平均值来近似计算。饮酒驾车据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准

10、，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克百毫升，小于80毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克百毫升）。大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：1. 对大李碰到的情况做出解释；2. 在喝了3瓶啤酒或者

11、半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：1） 酒是在很短时间内喝的；2） 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。参考数据1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到数据如下：时间(小时)0.250

12、.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774摘要根据药物动力学中的原理，建立了房室模型来研究动态过程。我们建立了两个房室：吸收室和中央室。对于二室模型我们建立了中央室的酒精含量的微分方程以描述其动态特征。在模型的基础上，我们提出了合理的假设，将问题进一步简化，得到线性方程，解决了题目中所给的问题。关键词：房室；优化；数学模型一、 问题的重述（略）二、模型的假设和说明1、所谓房室是指机体的一部分，酒精在一个房室内呈均匀分布，即酒精在血液中的含量是

13、常数，而在不同房室之间则按照一定的规律进行酒精的转移。2、将机体分为吸收室和中央室，吸收室的容积随饮入酒水的体积而改变，而中央室的容积（即血液体积或酒精分布容积）在过程中保持不变。3、酒精从吸收室向中央室的转移速率，以及向体外的排除速率，与该室的酒精含量（毫克/百毫升）成正比。4、有中央室与体外有酒精交换，即酒精从体外进入吸收室，紧接进入中央室，最后有从中央室排出体外，与转移和排除的数量相比，酒精的吸收可以忽略不计。并且不考虑少量酒精在进入人体后，马上随肺部呼吸或经汗腺排出体外的部分。5、酒在短时间内喝完，则认为酒精瞬时进入吸收室；而在很久时间内喝完，则认为均匀的进入吸收室。6、符号说明：酒精

14、进入吸收室的速率； T饮酒所需花费的时间； 吸收室中的酒精含量（毫克）； 中央室中的酒精含量（毫克）； 中央室的容积（百毫升）； 饮入酒水中所含的总酒精量（毫克）；吸收室到中央室之间的酒精转换率系数；酒精从中央室向体外排出的速率系数； 中央室中的酒精含量（毫克/百毫升）；三、模型的建立酒精无需经过消化系统而被肠胃直接吸收。酒进入肠胃后，进入血管。在随着血液运输到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外。根据药物动力学上的原理，我们建立房室模型以研究上述的动态过程。所谓房室是指机体的一部分，酒精在一个房室内呈均匀分布，即酒精在血液中的含量是常数，而在不同房室之间则按照一定的

15、规律进行酒精的转移。根据本题所研究的对象，我们将其划分为两个房室模型，即将肠胃看作是酒精首先被吸收的场所-吸收室；将心、肺、肾、肝脏等分解代谢器官看作一个房室-中央室。如下图所示：排除吸收室中央室，v给酒精 图1 酒精转移示意图根据前面所述的假设条件和图1，可以得出两个房室，满足的微分方程：与血液中酒精含量、中央室的容积v之间显然有关系式：=/v （3）根据饮酒所需的时间不同，分两种情况进行分析讨论：1） 当酒是在很短时间内喝的，则有初始条件： =0 ，= ， =0 （4）将（4）代入（1）、（2）可得到如下方程： = =其中：饮入酒水中所含的酒精总量，将（3）代入上式可得到中央室中的酒精含量

16、：其中：2） 当酒是较长一段时间（如2个小时）内喝的，设该时间为T，则： ， =0 ，=0 （7）将（7）代入（1）、（2）可得到如下方程：其中：T饮酒所需花费的时间将（3）代入上式可得到中央室中的酒精含量：根据题中所给的参考数据，再结合上述的模型，利用高等数学所学的知识（一阶线性齐次与非齐次微分方程的求解，最小二乘法，微积分等知识），及利用Microsoft Visual Basic 6.0编程进行模拟，并绘制出图形。求解出模型中的未知的转换率系数 ， 的值。体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，一定时间后测量他的血液中酒精含量（毫克/百毫升）的参考数据：时间（小时）0.250.50

17、.7511.522.533.544.55酒精含量 306875828277686858515041时间（小时）678910111213141516酒精含量3835282518151210774 表1 血液中酒精含量与时间对比表其中：图2是根据所给的参考数据，利用Microsoft Excel进行绘制的平滑直线，而图3是根据参考数据，在利用Microsoft Visual Basic 6.0编程模拟进行绘制的图形。由于酒精从吸收室向中央室的转移速率，以及向体外的排除速率，与该室的酒精浓度成正比，从图3中也可以发现，因此转移速率与酒精浓度有关，浓度越大，转移速率也就越大。因此，我们为了简化模型，将

18、图线划分为一区和二区两个区域，设每一个区域中的转移速率均为常数，根据图象以及模型的建立，并考虑分析计算的方便，以t=8时为两区的分界线，如图3所示，这样我们就将对参考数据中的典型数据进行编程求解，得出转移速率系数：当0t8时，=2.4 ，=0.175 ，A=114，当t8时，=2.05 ，=0.197 ，A=120，其中：当酒精浓度达到峰值时，=四、模型的求解针对问题一：对于大李问题，可用在很短时间内喝完的模型来解决，当大李喝完第一瓶啤酒后，经过6小时血液中的酒精浓度为：将t=6及=2.4 ，=0.175 ，A=114 代入方程（6）得=19.946。在饮完第一瓶6个小时后，又喝第二瓶，再经过

19、8小时后，血液中酒精浓度为：将t=8及=2.05 ，=0.197 ，A=120 代入方程（6）得=22.809 。所以大李在喝完第一瓶6小时后，经检验符合国家标准，而6小时后喝完第二瓶酒，在经过8小时检验不符合国家标准。针对问题二：1） 当和三瓶啤酒或半斤低度白酒时，由以上模型得：要使驾车时不违反标准，则：20。由VB编程得：当t11.224时，不违反标准。2）当在很长时间内喝完时，由上述模型得： 由VB编程得:当t13.54 时，不违反标准。针对问题三：1） 若酒是在很短的时间内喝的，则 a. 当时， 解得当 时，取得最大值，即血液中酒精含量最高。b. 当时， 解得当 时，取得最大值，即血液

20、中酒精含量最高。2） 若酒是在较长一段时间内喝的，则 针对问题四：假设每隔T小时喝的酒，则在第一个周期T中：第一个周期结束时，血液中存在酒精内残余量。所以在第2个周期中：方程（3）在（1）的条件下所的解可表示为：同样，在第2个周期结束时，血液中同样留有上个周期残余的酒精。所以在3个周期中：方程（3）在（2）的条件下所得到的解可表示为：通过数字归纳得：在第n个周期中方程（3）在上面条件下的解可表示为 （0tT）当n时当0，且T较大时，若 c(T)20 则应有20则每次饮酒量与饮酒时间间隔期应有关系：如果满足此关系，即可天天饮酒且符合国家标准，也可以开车。DVD在线租赁一、问题的重述随着信息时代的

21、到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁

22、次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1） 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2） 表2中列出了网站手上20种DVD

23、的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单（表2表格格式示例如下表2，具体数据请从3） 继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？表1 对1000个会员调查的部分结果DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD编号D001D002D003D004DVD现有数量812210会员在线订单C00010020C00021090

24、C00030600C00040000注：D001D020表示20种DVD, C0001C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。二、问题的分析先对问题一进行分析：我们可视其为一个离散型随机变量模型，更确切的是二点分布问题，我们先将问题具体到一种DVD上，利用数学期望求其平均需求量，由此可求出其余各种DVD的平均需求量。我们可以假设对DVD1进行分析计算：使它的平均需求量至少为愿意观看DVD1的总人数的50%，通过计算，我们可求得其结果。针对问题二，我们可以借助运筹学中的线性规划知识来解决此类问题

25、：其中还蕴含着特殊的规划模型（0-1规划）。线性规划就是利用线性方程组的相关理论来解决规划问题的一种数学方法；由于数据的计算量大而复杂属于“海量”计算问题，我们利用“MATLAB”“LINGO”等程序来求解线性规划模型。我们可将问题三看作一个0-1规划问题，它也属于特殊型线性规划问题。作为管理人员，应该对这些DVD进行合理分配（如表XI），才能使一个月内95%的会员得到他们想看的DVD，而且使得满意度最大。三、符号变量及说明N：DVD的总需求量；：表示为第i种DVD的需求量,i=1,2,3,4,5；表示为随机变量：表示40%的会员（每月租赁一次）租赁DVD1的概率；：表示60%的会员（每月租赁

26、一次）租赁DVD1的概率；：表示三个月中第一个月租赁DVD1的随机变量：表示三个月中第二个月租赁DVD1的随机变量：表示三个月中第三个月租赁DVD1的随机变量E(X)：表示租到DVD1的数学期望；：表示第i个会员对租赁到第j种DVD的满意度；：表示三个月中第一个月第一次租到的人数；：表示三个月中第一个月第二次租到的人数；：表示三个月中第二个月第一次租到的人数；：表示三个月中第二个月第二次租到的人数；：表示三个月中第三个月第一次租到的人数；：表示三个月中第三个月第二次租到的人数；f：表示会员在线订单数；：表示满意度系数；四、问题的假设（1）假设每月DVD的需求是均匀的；（2）网站一收到订单，就立

27、即邮寄给会员，尽可能减少邮寄时间；（3）会员持有DVD的期限不能超过一个月，会员按照一定规则到期必须归还，不影响DVD下次的租出（其它任何意外不考虑）；（4）设DVD1租赁的数量为，会员租一次得到该盘的概率为；五、模型的建立与求解1、根据问题一所提供的信息，先将总体具体到一种DVD上，计算该种DVD的数量。（1）我们先考虑：能保证希望看到DVD1的会员中至少有50%的会员在一个月能够看到DVD1的至少需求量；由已知可得，60%的会员每月租2次，40%的会员每月租1次，现有10万人，则有20000*60%=12000人每月租2次，有8000人每月租1次；又有1000人中有200人能租到DVD1，

28、则10万人中有2万人能租到DVD1，所以每次每位会员能租到DVD1的概率为，40%的会员借1次的概率分布和60%的会员借2次的概率分布分别如表I，表II，10表I10表II因此，解得；，同理可得；所以总的光盘数为：（2）据题意得，设要保证在三个月内至少95%的会员能看到DVD1的至少需求量为，我们假设会员租借DVD1必须在月末归还，不影响下个月的租赁。针对此问题，我们可将三个月分开独立计算，即每一个月最多可租赁2次月初租出，到月末必须归还。因此，第一个月第一次可由人租到，第二次可由人租到。同理，第二、三月分两次分别由、人租到。由题意可得，第一个月一次租到DVD1的概率分布（表III），第一个月

29、两次租到DVD1的概率分布，（表IV）第二个月一次租到DVD1的概率分布（表V），第二个月两次租到DVD1的概率分布（表VI），第三个月一次租到DVD1的概率分布（表VII），第三个月两次租到DVD1的概率分布（表VIII）分别如下：10表III10表VI10表V10表VI10表VII10表VIII则总的期望：即解得，同理可得,。所以总的光盘数为：2、由表2可知网站现有20种DVD，且会员所需租赁的种类不同，每种DVD的需求也不同；其满足0-1规划问题，设表示第i个会员对租赁到第j种DVD的满意度，由于表中的数字越小表示会员的偏爱程度越高，所求f的最小值也即是求最大的满意度；即：，由此可得到问

30、题二的目标函数：由于每位会员一次只能获得3张，且现在每种DVD都有一定的数量，约束条件为：并且由LINGO软件编程得：会员号DVD名称会员号DVD名称C001D003D017D020C0016D007D009D017C002D001D006D012C0017D004D007D017C003D006D017D020C0018D007D018D020C004D007D011D012C0019D006D015D017C005D006D007D017C0020D006D007D020C006D006D012D016C0021D006D013D015C007D007D011D020C0022D003D0

31、07D011C008D001D013D014C0023D011D012D013C009D003D007D015C0024D007D011D013C0010D010D012D017C0025D015D017D019C0011D003D010D020C0026D003D006D016C0012D007D011D019C0027D006D007D010C0013D006D017D020C0028D005D007D009C0014D006D016D017C0029D012D013D020C0015D007D017D020C0030D003D017D0203、它同样也是一个线性规划模型问题，我们先求出每

32、种DVD的购买量，再得到每种DVD光盘的95%的数量得：DVD编号D001D002D003D004D005D006D007D008D009D010需求量的95%50364433364049463949DVD编号D011D012D013D014D015D016D017D018D019D020需求量的95%46394143503941434230由此可得到问题三的目标函数：由于每位会员一次只能获得3张，且现在每种都有一定的数量，其约束条件为：并且由软件可以求得具体结果。六、模型的评价在人类发展史上，电子计算机的产生和发展已有相当长的历史。但是，以计算机为载体的互联网，不知从何时开始，悄悄地进入我们

33、的生活。现代的社会发展，对于互联网已经达到前所未有的高度依赖程度。自从网络开始慢慢普及，信息在上网一族之间开始广泛地传播，致使供给和需求的信息得到充分交流。人们只要在网上输入自己想要的商品，搜索一下，大篇的供应商资料就会呈现眼前，而供应商也可以借着网络的资料，查询哪些消费者对于自己的商品有最大的消费能力，统计数据，以便宜更好地针对性地宣传。足不出户，人们就可以在网上达成交易，大大促进了市场的供求两旺的局面。人们对于信息的需求越来越多的今天，网络成了最好的传播媒体。首先，网络的迅速发展，给不法商人带来了可钻的空子。不少的色情、暴力、赌博等不良网站应运而生。这些不法商人为了牟取暴利，不顾网站的信息

34、对于青少年的思想健康有多大的危害性，不断在网站上传播色情暴力信息。其次，网络带来了人与人之间的许多纷争。因为对于网络，政府出台的政策不够完善，所以有许多关于知识产权的问题在源源不断地产生。体能测试时间安排摘 要本文对某学校的学生体能测试时间安排问题进行分析，应用解决多因素问题要抓住主要矛盾的思想方法，找出安排体能测试方案的关键是台阶实验，得到了在满足完成整个测试所需时间段数最少（四个时间段）的条件下，使学生平均等待时间最小的计算方法，并计算出最小平均等待的时间为：6.22分钟，并且设计出实现此目标的测试方案（第3页流程图）和时间安排表（第4页表三）。按照本文给出的测试方案，当台阶测试仪器的数量

35、增加一倍时，每轮可安排40人进行测试，这时跳远测试仪器和肺活量测试仪也应增加一倍，但身高体重测量仪器却可以减少一台，握力测量仪器数量不变。关键词 ：时间段，平均等待时间，测试流程一、问题重述某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测

36、试5个学生，需要3分30秒（210秒）。每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。学校安排每天的测试时间为8：0012：10与13：3016：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清

37、晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。二、符号说明：第时间段的开始时间（其中 =1、2、3、4）；：第时间段的结束时间（其中 =1、2、3、4）；：第k个班级的开始时间；：最终的平均等待时间；：第i次测试班级的平均等待时间（i=1，2，56）；：第k个班级的人数（k=1，2，56）；：第i次测试剩余的人数（i=1，2，56）；：第i次测试时班级的人数，；：各班的人数总和。三、问题分析

38、我们先假设参加体能测试的学生学号相连，且全体2036名学生只做台阶试验一项，全部做完台阶实验所用的时间可由下式计算得到：（2036/10）*210+5/3600=11.88小时=11小时53分而每天做测试的时间是7小时25分（2个时间段），3个时间段为11小时35分（4小时10分+3小时15分+4小时10分=11小时35分）小于11小时53分，因此完成测试至少需要4个时间段。根据问题提供的数据可知，五项测试中花费时间最多的一项是台阶测试，做台阶测试，每次最多只能做10人，我们应使台阶测试不间断地进行，尽量不要使其留有空余位置，以便节省测试时间和减少学生的等待时间，其他测试应在台阶测试的同时进行

39、，这样我们要对测试过程进行优化编排。选取学号相连的20名学生（不妨假设取1-20号）做测试，其中10人（1-5号和11-15号）做台阶测试，另外10人（6-10号和16-20号）进行前四项测试。根据题中所给的数据得到1-5号和11-15号学生做完台阶测试需要210秒，则其余10人前四项的测试必须在210秒内完成，所以还需要对这10个人（6-10号和16-20号）的前四项测试安排进一步优化，使其在210秒内完成。又因为立定跳远和肺活量各只有一台，且测试时间都为20秒/人；握力测试器有两台，每台测试时间为15秒/人；身高体重测试仪器三台，每台测试时间需要10秒/人。可以看出，立定跳远和肺活量的测试

40、时间远大于其他两项，所以将这10名学生按学号分成2组：6到10做肺活量测试，其中等待6号做肺活量测试的学生在此时间内可以去做握力测试，当6号做完肺活量测试后转做握力测试，7号紧接着做肺活量测试，其他三名学生按学号顺序依次进行；16到20号做立定跳远测试，其中等待16号做立定跳远测试的学生在此时间内可以去做身高体重测试，当16号做完立定跳远测试后转做身高体重测试，17号紧接着做立定跳远测试，其他三名学生按学号顺序依次进行，详情安排见表一，其中表中数字为学生的学号。 表一项目学号时间体重与身高测试（10秒/人）立定跳远测试（20秒/人）肺活量测试（20秒/人）握力测试（15秒/人）台阶测试（210

41、秒/5人）甲乙0(秒)录入录入录入录入录入录入录入录入录入5(秒)171819166791-511-1515(秒)2020(秒)1781025(秒)730(秒)1635(秒)645(秒)18865(秒)19985(秒)2010105(秒)结束结束由表中数据可知，6-10号完成肺活量和握力两项测试与16-20号完成身高体重和立定跳远两项测试都各需要105秒，然后6-10号与16-20号交换测试项目，6-10号做立定跳远和身高体重测试，16-20号做肺活量和握力测试。从而推出6-10号和16-20号完成前四项测试需210秒，该时间小于完成一次台阶测试所需要的时间（215秒），显然6-10号和16-20号在215秒内可以完成前四项测试，然后6-10号到甲台阶试验测量仪器进行测试，16-20号到乙台阶试验测量仪器进行测试，然后1-5号和11-15号进行前四项测试。具体流程如下图：进入测试场20人分两大组每组10人台阶测试前四项的测试分两小组每组5人 做完后 交换 握力测试肺活量测试身高体重测试跳远测试做完后交换 五项测试结束 五项测试结束