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1、滚动摩阻及其实例分析制33刘 赟 2003010565冯 灿 2003010559石 磊 2003010558辛明鹏 20030105542004年12月关键词：滚动，摩擦，滚动摩阻，约束反力，摩擦自锁摘要：滚动摩阻是力学中一个非常重要，也非常复杂的问题。本文通过建立不同的模型，解释了滚动摩阻的产生原理，并且讨论了滚动摩擦中的摩擦自锁问题。最后，本文通过网球和车轮滚动两个实例，展示了滚动摩阻在生活中的应用。理论力学中一个非常重要的模型就是轮子滚动的问题，在很多机械构件的分析上，还有生产实践中都会经常遇到。在做理论分析时，很多时候都认为在滚动过程中，轮子和地面都是不会有形变的，也就是利用了刚体这
2、个理想模型。在这种假设条件下，轮子和地面是点基础。如果轮子是纯滚动，那么轮子除了受到地面的支持力外，还可能受到一个静摩擦力（受力与否与轮子的运动状态有关），作用点在轮子和地面的接触点，方向与轮子运动方向相反。根据对静摩擦力的分析，静摩擦力所做的功。由于纯滚动，轮子和地面接触点的速度为零，则，故静摩擦力所做的功。可知静摩擦力不做功，那当轮子开始纯滚动，且不受外力的情况下，轮子将保持初始速度一直滚下去。但在实际生活中，轮子或者是球在滚动一段时间后是会停下来的，与理论预计不符，说明理论模型中有不合理的地方。物体滑动时，实际情况会受到滑动摩擦力。但是对于纯滚动的物体，只会受到静摩擦力，故不是一般的摩擦
3、力阻碍物体的滚动，还有其它的作用使滚动物体停下来。事实也是这样的。在一开始建的模型中，轮子和地面都是不会产生形变的，但是在实际情况中，轮子和地面都会产生形变，而且在轮子滚动时，这个形变并不时均匀的，轮子受到的支持分布力也不均匀，将分布力简化可以得到一个力和一个力偶，且这个力偶是阻碍着轮子的滚动。实际情况中也就是这个力偶的作用，使滚动停止。我们称这个力偶为滚动摩阻。下面我们将就滚动摩阻的概念、原理以及滚动中的一些问题作一些简单的讨论。滚动摩阻的原理我们以滚动中的圆柱体为模型来阐述滚动摩阻的原理。若滚动中圆柱体和其对应的支持面间的相互接触作用无须考虑其面分布情况，则相互挤压的接触总作用便可认为是集
4、中作用于接触面的某一点上，接触总作用可以用一个宏观的力接触合力来等效，它总可以分解为沿接触面上力作用点处切向的弹力和法向的摩擦力。只要有形变存在，圆柱体前进时前方的挤压必然增强，形变加剧。所以接触合力的作用点就由其质心轴的正下方向前偏移了一段水平距离，因此圆柱体所受弹力并非竖直向上，所受静摩擦力也并非沿水平方向向后。为分析和的具体情况，可先从下述两种理想情况入手。第一种理想情况是，圆柱体绝对坚硬而仅支持面产生了形变。先看的方向。圆柱体滚动时点已向前偏移，所以沿处法向指向但并非竖直向上。的方向我们可这样考虑：设圆柱体和支持面间绝对无摩擦，圆柱体在前进中的某时刻恰好只滚不滑。显而易见，由于的作用此
5、时圆柱体的平移速度立即减小而转动角速度仍保持不变，所以圆柱体由只滚不滑的运动状态立即变为又滑又滚的运动状态，圆柱体表面上与支持面接触的那一部分曲面(以下简称为触地面)相对于对应的支持面将沿自己转动的正方向滑动。由此可见，若两接触面间有摩擦的话，那么在时刻，触地面必将有一个沿自己转动正方向相对滑动的趋势，则此时圆柱体的处必将受到与这个相对滑动趋势方向相反的静摩擦力的作用，如图1-1所示。第二种理想情况是，支持面绝对坚硬而仅圆柱体产生了形变。根据有关结论和上一理想情况的分析方法不难确定，此情况下圆柱体所受弹力竖直向上，摩擦力水平向后，如图1-2所示。（此时可以等效为作用在重力作用线上的以及一力偶
6、即滚动摩阻）图1-1图1-2然而，实际情况总是圆柱体和支持面两者都产生了形变，所以和的情况介于上述两理想情况之间。具体说来，设圆柱体及支持面由前述第一种理想情况开始，保持其它条件不变，仅圆柱体的坚硬程度逐渐减小而支持面的坚硬程度逐渐增大，直到前述第二种理想情况为止，则触地面偏前部分的形变逐渐加剧其形状逐渐趋于平缓，各处的曲率中心渐离了质心轴，处法向由指向逐渐偏离并往竖直向上的方向偏转靠近。在前述第一种理想情况中，沿处法向指向质心轴，沿处切向向前偏上，见图1-1。随后在圆柱体的形变逐渐增大而支持面的形变逐渐减小的一个有限范围内，逐渐增大而其方向偏离了指向的方向并逐渐向上偏转，逐渐减小而方向向下偏
7、转且始终与垂直。图1-3为这个有限范围内和的示意图。当圆柱体和支持面形变相对达到某一程度时，增加到最大而减小为零，此时恰好等于接触合力，如图1-4。图1-4图1-3此后随着圆柱体形变的继续增大而支持面形变的继续减小，则逐渐减小但方向继续向上并往竖直方向偏转靠近，则由零增大但方向改变为向后偏下并逐渐往水平向后的方向偏转靠近。图1-5为这一有限范围内和的示意图。当形变达到前述第二种理想情况时，减小到等于重力其方向达到竖直向上，增大到其方向水平向后，见图1-2。图1-5在以上讨论分析的基础上，若把进行力系等效处理，可将其平移至作用线上，并附加一力偶M，即为滚动摩阻。滚动摩阻的另一个模型我们再来分析受
8、主动力偶作用的圆盘所受的约束反力，从另一个角度来解释滚动摩阻现象。1 对静止圆盘的分析圆盘受重力时，平面对圆盘的约束反力呈对称分布(见图2-1)，当又有主动力偶作用时(不太大)，由于相对于过质心轴的转动惯量最小，所以圆盘有绕质心的转动趋势，因而在各法向反力的作用点处，必然产生切向静滑动摩擦力(见图2-2)，且分布的切向静滑动摩擦力对点的力矩等于。将图2-2的约束反力系向点简化，法向分布力向点简化的结果为一垂直向上的力，切向分布力向点简化的结果为水平向右的切向力和一个力偶(见图2-3)。图2-3图2-2图2-1此外，当不太大时，由于切向的静滑动摩擦力的约束，圆盘在有绕点转动趋势的同时，还必然产生
9、绕点的转动趋势，因此圆盘上(除点外)的弧线上各点均有运动趋势，因此在上各点就必然产生与运动趋势相反的约束全反力(见图2-4)。以点作为分析对象，上其它各点类推，点所受约束全反力如图2-4所示，且， 向水平方向和竖直方向分解得水平向左的分力和竖直向上的分力，然后将圆盘所受的约束反力系向A点简化：水平向左的力，此力与图2-3中的相抵消，竖直向上的力以及逆时针的滚动摩阻力偶（见图2-5）。图2-4图2-5 综上，受主动力偶作用的静止圆盘所受的总约束反力为法向反力(等于由引起的分布力的合力加上)和滚动摩阻力偶(等于图2-3，图2-5中的滚动摩阻力偶的叠加)，并与主动力偶相平衡，无水平方向的摩擦力(见图
10、2-6)。图2-6 图2-72 对滚动圆盘的分析当主动力偶矩逐渐增大(一最大滚动摩阻力偶)时，圆盘即开始滚动，此时除点外，上各点均有速度，因此图2-4中的约束全反力沿圆盘切向的分量已达到最大静摩擦力，已不能抵消继续增大的如图2-3中A点的静摩擦力(因增大，A点向左滑动的趋势增大)，因此当,，开始运动的圆盘受力分析如图2-7所示。此时又出现了水平向右的静摩擦力，其大小由下列平面运动微分方程确定：上述方程对纯滚动圆盘：，未知；对又滚又滑的圆盘： ，。综上所述，受主动力偶作用的圆盘，当，圆盘上除受因重力引起的垂直向上的反力外，只出现滚动摩阻力偶()与平衡，而无切向摩擦力时(见图2-6)，圆盘处于静止
11、状态。当时，圆盘上除受竖直向上的力外，还出现最大滚动摩阻力偶，并出现切向摩擦力 (见图2-7)。物体滚动时滑动摩擦力上面我们介绍了滚动摩阻的原理，但是物体滚动时，同样也存在着滑动摩擦力，而且滑动摩擦力情况较平动而言比较复杂，所以下面也分析一下。这些分析将在后面的实例分析中用到。在平动问题中，摩擦力总是阻碍接触面之间的相对滑动，这样可以判断摩擦力的方向。在转动问题中，接触面间的摩擦力也是由“阻碍相对滑动”的原则来确定的。但是由于既有移动又有转动，因此，判断相对滑动就比较麻烦一些。图3-1纯滚动，即当滑动摩擦力为零。若轮子与平面接触点间有相对运动趋势，则有静摩接力，且方向与相反。由前面分析，可以知
12、道静摩擦力不做功。则在纯滚动时，摩擦力不做功，没有机械能向内能的转换。既滚又滑时会有滑动摩擦力的存在。下面分两种情况讨论：（1）当，即平动速度大于滚动速度，则轮子是向前滑动的。轮子所受的滑动摩擦力将与方向相反，故由动量定理，使减小。对质心的力矩方向与相同，力矩做正功。使轮子平动减速，做负功；又使轮子滚动加速，做正功。基于以上分析，可以得出时间内滑动摩擦力做的总共为。总功为负功。（2）当，即平动速度小于滚动速度，则轮子滚动更快。轮子所受的滑动摩擦力将与方向相同，故由动量定理，使增大。对质心的力矩方向与相反，力矩做负功。使轮子平动加速，做正功；又使轮子滚动减速，做负功。可以得出时间内滑动摩擦力做的
13、总共为。总功仍为负功。由分析可以看出，产生的效果一方面使轮子动能减小，动能转换为热能，另一方面，也使滚动动能和平动动能之间相互转换。无论何种情况，总是在调整滚动速度和平动速度，使它们向转变。关于滑动摩擦力方向和功的分析会在后面对实例的分析中得以运用。物体滚动时的摩擦自锁现象同滑动摩擦一样，滚动摩擦也存在摩擦自锁现象。下面以圆柱体为模型，来分析讨论一下滚动摩擦自锁的条件。图4-1圆柱体在斜面上做纯滚动时，受到静摩擦力和滚动摩阻力矩的共同作用。如图所示。与质心速度相反，使得圆柱体质心的速度减小。但是对质心的力矩确与转动的角速度方向相同，它应该增大圆柱体转动的角速度。产生的力矩。由前面原理知，分布再
14、圆柱体与斜面接触初的约束反力不通过质心，而是向运动前方偏移。于是对质心产生的力矩与转动角速度的方向相反，会减小圆柱体转动的角速度。这个力矩就是滚动摩阻力矩。其大小由表示。为滚动摩阻系数。则，圆柱体在斜面上做纯滚动的动力学方程若在一定条件下，圆柱体在斜面上，既不向下滑动，也不向下滚动，此时，。这就是滚动摩擦中的摩擦自锁现象，下面来讨论摩擦自锁的条件。自锁时，为静摩擦力，又。为静摩擦系数。发生摩擦自锁时结合前式可得由于，即滚动摩阻系数远远小于滑动摩擦系数，故圆柱体会先发生滚动，这也是我们平常推轮子而滚动的原因。这样，上面两式可化为一式，即这就是滚动摩擦自锁发生的条件。与滑动摩擦自锁类似的是，滚动摩
15、擦自锁与否与滚动体质量以及约束力大小无关，而只与、有关。滚动摩擦的最大摩擦角。由于往往比较小，所以滚动摩擦角也很小。与滑动摩擦相比，发生滚动摩擦自锁现象的最大摩擦角小于发生滑动摩擦自锁时的最大摩擦角。特别是在滚动体及斜面刚性较强时，其摩擦角就更小，自锁现象也就不明显。但在现实生活中，我们根据滚动摩擦的自锁条件，通过减小斜面倾角或圆拄体的刚性，在滚动体下侧加垫物体等措施，增大滚动摩阻系数，增大滚动摩擦自锁的最大摩擦角，实现滚动摩擦自锁，达到使滚动体在斜面上静止的目的。滚动摩擦自锁在现实生活中也有较多的应用。在斜面上停车，还有杂技中狮子滚绣球中都有用到。特别是在车轮前方垫物块防止车滑下在现实生活中
16、更是常用。下面我们将以网球受力和车轮滚动两个模型为例，应用滚动摩阻的基本理论，分析一下滚动摩阻在我们日常生活中的应用。滚动摩阻实例分析考虑滚动摩阻的网球受力分析打网球时，拍击打球的过程也涉及到滚动摩擦力。图5-1如图5-1，2，3所示为拍击球的全过程示意。来球的速度为，旋转角速度为，人挥拍的速度为。取球拍为参考系，根据复合运动合成关系，在此参考系中来球的速度为，设回球速度为，则。图5-2图5-3分析一般的来球和挥拍动作，一种是在球落地后高速弹起时击球，一种是在球从高处落下时击球。另外，网球和人挥动球拍的速度关系也有很多种，为了分析简洁，我们建立如下的坐标系，轴在球拍平面上，轴垂直于球拍平面。将
17、球和拍的相对运动分为两大类。如下图，根据经验，可设来球角速度方向均为图所示情况，但网球相对于拍的速度方向有两种。将分为水平和垂直两个分量。如下图5-4，5-5所示。图5-6图5-5图5-4建立模型。网球为一空心球。若不考虑滚动摩阻，则拍对球垂直方向的碰撞冲量改变的方向和速度；二者之间水平方向的滑动摩擦力改变，从而将球击出。考虑滚动摩擦。事实上，虽然网球拍的线被上得很紧，但在与球碰撞时会产生形变，由此建立拍面的线的模型。网球与拍面接触情况如图5-6。网球拍线发生形变，这样，拍对球的作用力如图所示。为由形变产生的分布力轴分力，其到球质心距离为，包括线对球的滑动摩擦力及分布力在轴向的分力。则对于网球
18、，提供了一个相当于滚动摩阻作用的力矩。引入滚动摩阻主要是为了讨论网球的角速度问题。列描述此运动状态的几个方程。设网球和球拍质量分别为和，网球为空心球，其转动惯量由动量矩定理设常量，使其中为球绝对速度，为拍绝对速度。由动量定理作定性分析，使用纯滚动条件下方程，实际运动并不一定在纯滚动状态。，对此式求导，得联立以上三式，很显然可以得到与相比，应该是一个很小的量，所以系数很小。在研究和对球质心力矩的影响时，我们小组中最初有两种意见，一种认为很小，所以力矩的作用与相比会很小，另一种意见则相反，因为很大。由简化条件得出的上式说明，力矩应该比大，既滚动摩阻的影响不能忽略。由以上准备，我们简要分析引入滚动摩
19、阻后的拍击网球问题。1、图5-7如图5-7，由刚体运动速度公式，此时球与拍线接触点的速度方向指向轴正向，则由形变产生的和滑动摩擦力方向均指向轴负方向。合力矩使减小。很小，但由于值很大，滑动摩擦力并不小，它使很快减小，某时刻球的速度和角速度会满足纯滚动条件，接下来，滑动摩擦将变向，转而增大，并且与共同提供正力矩，使角速度反向并增大。这符合实际的情况，击球后，回球角速度一般都与初角速度反向。写论文时，我们还特意作了简单的实验验证。2、图5-8如图5-8，此情况下，摩擦力一开始就提供使小球加速的正向加速度，和提供使角速度变向的正力矩。关于和的大小问题不便讨论，但易知，拍线发生较大的形变时间很短，碰撞
20、作用后，随网球方向速度的减小至反向，和的大小将明显减小，此后给网球提供加速度和产生角加速度的力矩的便主要是滑动摩擦力了，回到了一般忽略滚动摩阻的分析。3、初方向为负图5-9此时的受力情况如图5-9所示。由速度和角速度方向关系可知，接触点速度指向X轴负方向，所以滑动摩擦力和均为正向。和共同为网球提供力矩。以上的分析模型以及情况分类十分简化，主要是为了引入滚动摩擦的概念。实际上，网球方向上速度变化影响了拍和球的作用时间，需要根据碰撞理论进行分析。人挥拍不同阶段有不同动作，也会影响网球的受力。滚动摩阻实例分析车轮的滚动摩阻分析单轮模型首先我们建立如右图所示的模型，一般情况下，轮子在地面上滚动，地面的
21、形变相对较小，而轮子的形变是产生股动摩阻的主要原因，滚动摩阻只考虑的作用。图中，是静摩擦力，是作用在轴上的主动力。（为了讨论方便，下列模型均不讨论空气阻力）图6-1轮子只有一个自由度，取的水平位移x为广义坐标，由动量矩定理，以接触点(瞬心)为转动中心，有其中是轮对瞬心的转动惯量。根据动量定理，有补充运动学方程图6-2这种轮子，假如加在马车的架构上，就是马车轮子的力学模型。然后我们建立另外一种受力情况下轮子的模型。人或者发动机，在轴上产生一个主动力矩作用，其他条件如图所示。同样取为广义坐标，于是，对质心其中是轮对质心的转动惯量补充运动学方程这种力学模型是在对独轮自行车车轮受力分析下得到的。对它进
22、行讨论，可以得到以下的结论：1、轮子作匀速运动时，所以静摩擦力。轮子在地面上运动由主动力矩提供牵引力。而且=0，所以，即牵引力等于滚动摩擦力。换句话说，牵引力克服滚动摩阻，使轮子能匀速运动。2、轮子作加速运动时，静摩擦力且提供轮子的加速度。设为轮子动能，则其中是发动机的输出功率。同时，这也再一次说明了静摩擦力不做功。3、轮子作加速运动时，其余讨论类似于2双轮模型将上面两种轮子加在一起，中间夹以连接装置，就成了单驱动轮的车辆模型。如下图下面以后轮驱动为例。发动机对轴作用一个大小为的力矩。车体通过连接结构给后轮轴产生力、，对前轮产生力、。依然以轴的位移为广义坐标，轮的质量为。图6-3对前轮列力学方
23、程：对于后轮列力学方程：汽车正常行驶时，轮子是无滑滚动，则可以补充运动学方程对于车体联立10、12、15可以得到系统动能为给动能对时间求导：若轮子又滑又滚，为轮子与地面之间的滑动摩擦力，并假设两个轮子的角速度均为。则不能补充那两个运动学方程，最终结果为既是轮子与地面之间的相对位移地面形变在交通事故多发生地段，经常可以看到减速慢行的提醒标语。但是某些司机看到标语后并不减速，如何有效并且安全的强制司机减速，这是一个重要的问题。减速，即是减小动能（），由式可知，汽车正常行驶时，静摩擦力对动能无作用。在发动机提供的不变的条件下，可以通过增加地面形变，加大滚动摩阻来实现减速。例如，可以在路面上铺一层橡胶
24、。为了使讨论简单，这里不计算地面形变的水平力的影响（这样简化的原因是这个力影响比较小）。汽车进入橡胶路面之后，如果车轮不打滑，在刚进入路面时： 从而可得到如果车轮打滑，则需要补充摩擦力方程再求解，这里便不以讨论。参考文献【1】李俊峰 张雄 任革学 高云峰，理论力学，清华大学出版社 Aug.2001【2】R. Cross, Effects of friction between the ball and strings in tennis, Sports Engineering(2000)3,85-97【3】李光柱，滚动摩擦自锁分析，泰安师专学报Vol.22 No.3 May.2000【4】王小平，滚动中摩擦力的方向和功，运城高等专科学校学报Vol.18 No.6 Dec.2000【5】陈跃敏 郭文立，滚动摩擦力方向的判断，濮阳教育学院学报Vol.12 No.2 May.1999【6】 胡小鹏，滚动摩擦新论，九江师专学报（自然科学版）Vol.11 No.5 Jun.1992【7】A.Domnech, T. Domnech, and J. Cebrin，Introduction of the study of rolling friction,Am.J.Phys.55(3).March 1987
