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1、第九章 振动物体在平衡位置附近往返运动叫做振动或机械振动。在自然界和人类的生产活动中广泛地存在着周期性运动。地球的公转和自转，电动机转子的转动机械钟表的摆轮等等。都是周期性运动，其中钟摆的摆动则称为振动。振动是常见的周期性运动，不仅在力学中广泛存在着振动现象，而且在物理学的其他领域（如电磁学，光学，原子学等）中也广泛存在着与上述现象类似的振动现象。一般来说，任何一个物理量（物体的位置，电流强度，电场或磁场的强度等）在某一个定值附近的反复变化都可以称为振动。波是振动的传播，机械振动的传播及机械波；掌握振动的规律对于研究波振动是必不可少的基础。本章主要讨论李学中的振动（机械振动），但其基本规律是电
2、磁学、光学、原子物理、电工学、无线电学、自动控制等科学技术部门的理论基础。我们已看到，刚体力学是质点，质点系力学的继续是，将质点系力学规律用于不变质点系，本章又是质点力学和刚体力学的继续，利用质点和刚体运动规律研究振动这种特殊的而又具有普遍意义的运动形式。9.1 简谐振动的动力学特征间谐振动是最基本的振动，现在结合具体例子谈简谐运动的动力学特征。即在怎么样的力（或力矩）的作用下物体间谐振动。根据力（或力矩）和运动的关系，求出间谐振动的动力学方程。图9-1.1oAooo质点在某位置所受的力等于0，则此位置称平衡位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称线性回复力，以平衡位置为原点
3、，以表示质点相对于原点的位移，线性回复力： （9-1.1）是正常数上式反映了线性回复力的特征，力是质点位移的线性函数，且与位移反向，即促使质点反回平衡位置，质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫做间谐振动。我们来着一个最简单的振动例子，一物体M系示以弹簧的自由端，弹簧的另一端固定，物体放在光滑的水平台上，这样系流称为弹簧振动子。当物体M处于0点时，物体不受力，这点称为平衡位置，看图（9-1.1）上。将物体自平衡位置O向右拉开小许至B点，然后释放之物体就在振动起来。振动作为一种周期性运动。将滑块视为作质点，弹簧自由伸展时质点的位置是平衡位置。以此为坐标原点建立坐标系，表示质点的位置坐标。又等
4、于相对于质点的位移，也是弹簧的伸长（压缩）量，很小时力与之间成线性关系。 （9-1.2）是弹簧颈度系数与（9-1.1）式比较，可知弹簧弹性力是线性回复力，弹簧振动子作简谐振动。以m表示滑块质量，根据牛顿第二定律。用m除上式两端并令上式可以写作。 （9-1.3）或 （9-1.4）式中的决定弹簧的颈度系数和滑块的质量。由此给出间谐振动的一种较普遍定义。如果质点运动的动力学方程式可以归结为 （9-1.5）图9-1.2WTo得形式，其中决定于振动系统本身的性质，则质点简谐振动（9-1.5）式，称简谐振动的动力学方程。另一种例子是单摆：用不可伸长的轻线悬挂一小球，如图（9-1.2）所示，将小球视为质点，
5、它受重力与悬线拉力的合力作用，质点在锤垂面，沿圆弧摆动，且摆动中相对于悬线锤垂位置的角位移很小，现在分析质点沿运动方向所受的力一切向力，以m表示质点质量切向力的大小为 ；且总指向时这个平衡位置，角位移很小时，； （9-1.6）切向力与角位移反号；可知弹性力那样是线性回复力，所以单摆做间谐振动，根据牛顿第二定律，可写出单摆的动力学方程。图（9-1.3）上沿悬线长为，则图9-1.3o （9-1.7） ，；比较，； 图9-1.4oyzB；与运动力学方程（9-1.5）形式果然一致，单摆作简谐振动。如图（9-1.4）所示，金属丝上端固定，下端连接水平均质，圆盘的中心，建立坐标系，轴与金属丝轴线重合，当金
6、属丝未发生扭转形变二圆盘处于平衡位置时，盘上半径重合于轴令圆盘绕z轴转过不太大角度后释放金属丝由于扭转弹性对圆盘施加使共回到平衡位置的力矩。圆盘回到平衡位置时扭转力矩为0，但惯性驶使它超过平衡位置。而转至轴量侧时，力矩促使它返回平衡位置。如果不计空气阻力，将反复扭动不止，由金属丝和圆盘组成的系统称作扭摆。用表示半径的角坐标或对于平衡位置的角位移，以表示扭转力矩 （9-1.8）C是正的常数，有金属丝的扭转弹性决定，力矩与角位移称线性关系，并与角位移反号，该力矩叫线性回复力矩，刚体在线性回复力矩作用下的运动也是简谐振动。包括上述扭摆运动在内。设圆盘对z轴的转动惯量为，设，； （9-1.9）若定轴转
7、动刚体的动力学方程克表示为（9-1.9）式的形式，且其中是有系统本身性质所决定的，则此系统作简谐振动。例1. 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动。解： , ;根据牛顿第二定律，； ，； ，；与弹簧振子的动力学方程相同，故质点作简谐振动。9.2 简谐振动的运动学根据运动学知识，如果已知简谐振动的质点或刚体的位置随时间的变化规律，即它们的运动学方程，就能充分地描述它们的运动状况，这一节根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程。并讨论间谐振动的运动特征。一、简谐振动的运动学方程根据常微分方程的理论，微分方程 ；的解可写作： （9-2.1）A和是待定常数。需要根据始
8、终条件来决定（9-2.1）式，就是简谐振动的运动学方程。由于 ， ；代入上式再代入（9-2.1）式得 （9-2.2）可见，简谐振动的运动规律也可以用正弦函数表示正弦和余弦函数都是周期函数，因此简谐振动是围绕平衡位置的周期运动，现对（9-2.1）式各数的物理意义作进一步的讨论。 周期、频率和圆频率物体作简谐振动周而复始完全振动一次所需的时间叫做简谐振动的周期。根据此定义，用T表示周期，应有 余弦函数的周期为，故 （9-2.3）对于弹簧振子，代入上式得弹簧振子周期为 （9-2.4）对于单摆得单摆周期为 （9-2.5）可见，单摆周期仅决定于线长和重力加速度，与悬挂质点的质量无关，对于扭摆，得扭摆周期
9、为 （9-2.6）和周期密切相关的另一物理量是频率，即单位时间内系统所作完全振动的次数，用 （9-2.7）单位“赫兹”Hz。 （9-2.8）可见量仅与频率相差一常数因子，已知与已知时等效的，故叫圆频率应用周期和频率的概念，又可将简谐振动的运动学方程表示作。 （9-2.9） （9-2.10）从（9-2.4）、（9-2.5）和（9-2.6）式可以看出，圆频率，频率和周期决定与质量，颈度系数，摆长，扭转系数以及转动惯量。这些量都是表示振动系统特征的物理量，这些物理量可分作两类，一类反映振动系统本身的惯性，一类反映线性回复力的特征，这两方面正是形成间谐振动系统的先决条件。没有系统的惯性，则质点或刚体到
10、达平衡位置时便不能继续运动。不存在线性回复力，便不能使它们返回平衡位置，所以间谐振动的圆频率，频率和周期都是由振动系统本身最本质的因素决定的。因此，我们把频率和圆频率称作固有（本征） 频率和固有（本征）圆频率。振幅按间谐振动的运动学方程，物体的最大位移不能超过A，物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值叫振幅。从下文可知 振幅如何由初始条件决定。现写出间谐振动的运动学方程并将位移对时间求一阶导数，从而求出简谐振动的速度。 （9-2.11）将初始条件代入得 （9-2.12）取二式平方之和，即可求出振幅， （9-2.13）例如：当时物体位移为，速度为表明物体恰处于最大位移，即振幅，又若时物体
11、在平衡位置，而不为零，则表明初速度越大，振幅越大。相位和初相位简谐振动的振幅告诉我们振动的范围，频率或周期则告诉我们振动的快慢，所以振幅与周期已大体匀画出振动的图像，不过振幅和周期还不能确切告诉我们振动系统任竟瞬时的运动状态，即任竟瞬时的位移和速度，因此仅知振幅和频率，还不足以充分描写简谐振动。（9-2.11）式表明，只有知道A，才能完全决定系统的运动状态，在（9-2.11）式中我们把时间t的线性函数叫做间谐振动的相位。由于简谐振动的位移，速度是按余弦，正弦规律变化的，所以相位是当振幅一定是进一步决定间谐振动的任何瞬时运动状态的物理量，常常通过比较两个系统的相位来比较两个简谐振动的运动状态。例
12、1. 质点按作简谐振动，设于某些时刻，相位，间在这些瞬时质点的运动状态如何？解：质点在某一瞬时的振动状态可用位移和速度描述，位移，速度分别是 为最大速度的绝对值，叫“速度幅”；若时，质点在最大位移。时，负最大位移而；时，轴反方向；时，轴正方向；二、简谐振动的图线和相轨迹为了进一步了解弹簧振子的运动情况必须知道。物体位置与时间的关系，这可用图所示的装来研究。可见弹簧振子的运动不受任何阻碍时，它的振动曲线是一条正弦（或余弦）曲线，这是它的位移随时间按正（余）弦函数规律变化。弹簧振子的这种振动称为简谐振动。简谐振动的运动学方程是 （9-2.18）式中是位移，A是振幅是相位，是初位相，是角频率，是T有
13、关系的函数，如图（9-2.1）所示。当式中的时间t增加一个周期T时的值应不变。 ， ，；初相位是时的相位。tTTxo图9-2.1若时， ， ；频率，振幅与初相位是描述简谐振动的三个重要物理量。知道了这三个量，就可以决定振动系统在任意时刻的运动状态，因为这时表示震动唯一与时间关系的式（7-2.18）完全确定。三、简谐振动的矢量表示法在图上画一矢量是共长度等于振动的振幅矢量A绕共始端o作角速度为的匀速转动，则矢量A在轴上的投影为 ；图（9-2.2）所示。图9-2.2TAAA其中为初始时刻矢量A与轴的夹角。是任何一时刻的矢量A与轴间的夹角。这叫位相（相位）。振动物体的运动方程是为：位移： 速度： 加
14、速度： 利用三角函数的性质，可以把和的表式写为 可见，的位相比位移的位相多一个因子，我们称为的位相，则位移超前，与位移仅位相。 ；即有间谐振动中，物体的加速度与位移成正比，但方向与位移相反指向平衡位置。若时，初相位，位移，速度， + 式中和是时刻时间谐振动的位移和速度称为初条件。9.3 简谐振动的能量转换弹簧振动子扭摆振动系统中线性回复力额为弹性力（或力矩），它们是保守力（或力矩），所以间谐振动系统的总机械能守恒，现以弹簧振子为例讨论振动系统的动能和势能随时间的变化规律并计算机械能。并于弹簧振子应用质点动能公式代入（9-2.11）即：， （9-3.1）至于势能， 振动的动能和势能按余弦或正弦的
15、平方随时间变化。tEE图9-3.1初相位时，动能和势能随时间变化的曲线，显然动能最大值时，势能最小，动能最小时势能最大，如图（9-3.1）所示。间谐振动的过程正是动能和势能相互转换的过程。将上二式相加得间谐振动的总能为：即弹簧振动子的总能决定于劲度系数和振幅。例1. 弹簧振子水平放置，克服弹簧拉力将自平衡位置移开，弹簧拉力为，随即释放，形成间谐振动。计算：弹簧振子的总能；球质点被释放后，行至振幅一半时，振子的动能和势能。解：弹簧振子的总能：振幅，弹性力大小，在最大位移处，代入总能公式得 ；性至振幅一半时的动能和势能：取平衡位置为势能零点，由旋转矢量图（9-3.2）可知，行至振幅一半时的相位为，
16、因此； ；运用能量概念讨论力学问题，有时带来很多方便，对间谐振动也是这样。前文曾根据动力学方程求间谐振动的运动学方程，我们也可以利用机械能守恒定律求出间谐振动的运动学方程。在任何时刻，质点动能势能之和为，故有 图9-3.2Eto由此得 ； 积分即得 令，上式可写作 ；9.4 简谐振动的合成在实际问题中，常有两个或多个间谐振动的合成情况。1）同方向同频率间谐振动的合成。设质点参与同方向同频率的两个间谐振动。 式中，以及分别表示两个振动的位移，振幅和初相位，表示它们的共同频率，因两个振动在同方向上进行。故合位移等于分位移的代数和；根据选加原理： 将余弦函数展开再重新并项，得 （9-4.1）式中 （
17、9-4.2）于是（9-4.1）式变成 （9-4.3）图9-4.1A2A1Axoxx2x1可见，同方向同频率的两个间谐振动合成后仍为一间谐振动，其频率与分振动频率相同。从（9-4.2）和（9-4.3）式可知，合振动的振幅与初相位A , 由分振动的振幅和初相位，决定，如图（9-4.1）所示。 （9-4.4） （9-4.5）容易看出合振动一个间谐振动，合振动的振幅分振动的振幅和相位差的有关系。如果相位差时，的整数倍，。所以合振动的振幅最大值。若时，的奇数倍， 当，的奇数倍的合振动振幅最小。当时，合振动振幅为；二、同方向不同频率间谐振动的合成设质点参于两个同方向的间谐振动，频率分别是和，为了突出频率不
18、同引起的效果，设分振动的振幅相同，且初相位均等于零。 ，合振动的位移为 （9-4.6）图9-4.2(a)tototototo(b)to研究这种振动的合成最直接的方法是画出分振动的位移时间图线，如图（9-4.2）所示。在不同频率同方向间谐振动合成的问题中，若二分振动的频率之和运动大于二分振动频率之差时，则合振动表现出非常值得注意的特点，为研究这种情况，利用三角函数和差化积将（9-4.6）式改变为 （9-4.7）由于，即因子的周期要比另一因子。的周期的长得多。于是我们将（9-4.7）式表示的运动看作是振幅按照缓慢变化的。而频率等于的“准间谐振动”对是一种振幅有周期性变化的“间谐振动”为了更清楚地说
19、明这一振动的特征，取叫平均圆频率。又取叫调制圆频率，且。于是（9-4.7）式成为 或用表示变化的振幅，则合振动 （9-4.8）图9-4.3to即合振动为圆频率等于平均圆频率的“间谐振动”其振幅作缓慢的周期变化。分振动与合振动的位移一时间绕线如图（9-4.3）所示。振动方向相同，频率之和运大于频率之差的两个间谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。合振幅每变化一个周期叫一拍。单位时间内拍出现的次数叫拍频。不论达到正最大还是负最大对加强振幅来说都是等效的。因此拍的圆频率应为调制圆频率的2倍。 至于拍频则有。三、互相垂直同频率间谐振动的合成一般来说，二互相垂直同频率间谐振动的合成和初相位不一定相
20、同，现将分振动的运动学方程。表示如下： ，质点即沿轴又沿轴运动，实际上是在平面上运动，以上面方程式消去t，得合振动的轨迹方程： （9-4.9）图9-4.4此为椭圆轨迹方程，椭圆的形状大小的以及其长、短轴方位由振幅与以及初相差所决定。下面讨论某些特殊情况：时，式（9-4.9）成为 ；图（9-4.4)所示。即合振动轨迹为通过原点且在第一、三象限的直线，合振动的位移（）；图9-4.5如果时，（9-4.9）式写成为；即合振动轨迹为通过原点且在第二、四象限内的直线。图（9-4.5）所示。若时，（9-4.9）式写成为 ；这表明合振动的轨迹为以和为轴的椭圆。这里又可分为两种情况，时方向的振动比方向的振动超前
21、，即， 当某一瞬时时，即质点在P点，经过很短时间后大于0。如图（9-4.6）所示。P图9-4.6时，质点沿椭圆时计方向运动。若时，（9-4.9）式写成为 ； ，；当某一瞬时时，质点在P点。图（9-4.6）所示。时，质点沿椭圆逆时计方向运动。图9-4.7时9.6 阻尼振动我们已经讨论间谐振动是一种等幅振动。它是忽略阻力作用的理想情况，事实上，阻力不可避免抵抗阻力做功的结果。振动系统的振动能总要逐渐减少，因此实际发生的一切自由振动振幅总是逐渐减少以至于0的这种振动称为阻尼振动。如果物体的速度不大实验结果表明阻力和成正比向方向相反。沿物体在轴方向振动，则 （9-6.1）称为阻力系数，随物体的形状大小
22、及煤质的性质而定。设振动质点（如单摆的摆锤）的质量为m，在弹性力或准弹性力和阻力的作用下运动。加速度为。由牛顿第二定律，得 （9-6.2），（） （9-6.3）和都是恒量。称为阻尼因数，表示阻尼时的固有圆频率，将（9-6.3）是代入（9-6.2）式得 （9-6.4）因为弹性力和阻力都是变力，所以用牛顿第二定律写出的阻尼。振动的动力学方程是一个微分方程。它的解将告诉我们质点的位移是时间的什么函数。如果阻尼比较小（）。例如在空气中振动的单振动。用数学方法可以求得（9-6.4）式的解为 或 （9-6.5）图9-6.1tOT（9-6.5）式表示作阻尼振动的质点，其坐标随时间变化是规律的（9-6.5）式
23、就是阻尼振动的表达式。上式清楚地看出振幅随时间的流进而减少的情况，如图（9-6.1）所示。（9-6.5）式中的称为阻尼振动的振幅时间增加，A减小。显然，阻尼振动不是间谐振动，振动减小的快慢，常用相隔一周期的两个振幅之比的对数来表示，称为对数减缩。来表示。2.过阻尼状态如果阻尼很小，从至根据微分方程的理论可知，方程的解为 （9-6.6）和是初始条件决定时的常数。这种运动状态称为过阻尼状态。图9-6.2t3.如果时，式的解为 ，和亦由初始条件决定，如图（9-6.2）所示。9.7 受迫振动现在讨论欠阻尼振动系统上加周期性的处理发生振动。振动系统在连续的周期性外力的作用下进行的振动叫做受迫振动。例如：
24、机器运转时引起底座的振动，收音机喇叭纸盆的振动等。一、受迫振动的运动学方程设质点受到三种力、弹力、，阻尼力，周期性外力亦称为驱动力。设区动力按余弦（或正弦）规律变化且初相位为0即根据牛顿第二定律，得受迫振动的动力学方程式为 为方便起见为令 ， ， （9-7.1）这是受迫振动动力学方程的常见形式，其中和称为参量。二、受迫振动的运动特征根据微分方程的理论方程（9-7.1）的解为 （9-7.2）A和是由初始条件决定的积分常数。对个解表示受迫振动可以分解为两个部分。第一（项）部分表示振动系统最初含有的阻尼振动。第二项表示驱动力频率相同且振幅为周期振动，受迫振动的位移，一时间图线如图（9-7.1）所示。
25、图9-7.1ot开始时受迫振动的振幅较小。经过一定时间后阻尼振动即可忽略不计。质点进行由上式第二项所决定的与驱动力同频率的振动称受迫振动。称受迫振动的稳定振动状态，克表示如下： 稳定振动状态表面上像简谐振动。其实不然并非固有频率，而是驱动力的频率。振幅和初位相也并非决定于初始条件，而是依赖于振动系统本射的性质。阻尼的大小和驱动力的特征，即与参量有关。将（9-7.3）代入方程（9-7.1）得恒等式：等式双方和的系数应分别相等，即 可解出 （9-7.4） （9-7.5）三、位移共振我们根据（9-7.4）式讨论受迫振动振幅随驱动力频率变化的情况。图9-7.2o如图（9-7.2）所示，对于振动系统，在
26、阻尼一定的情况下，最初振幅随驱动力频率的增加而增加，得达到最大值后，又随驱动力频率的增加而减少。最后，驱动力达到很高频率而质点却几乎不动。对一定振动系统可在不同阻尼下讨论振福随驱动力变化的情况，图（9-7.2）中较平缓的曲线表示阻尼较大的振动。陡直的曲线表示阻尼较小的振动。当驱动力频率取某值时，振幅获得极大值。振动系统受迫振动时其振幅达极值的现象叫位移共振。根据（9-7.4）式并用微分法关于极大值的判据可求出共振时驱动力的原频率为 （9-7.6）不同曲线也不同如果时，根据（9-7.4）式，很小时，时， ，所以振幅很小。若时，（9-7.4）式， ，所以A驱动力F成正比。如果时， ；即如果时振幅最大值，这就是共振。共振的必须条件是；
