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1、一线三等角问题一、问题引入如图，中，过D作交BC延长线与E。求证：其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角） （直角坐标系中一线三等角） （矩形中一线三等角）（1）等腰三角形中一线三等角例1、 如图，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F（1）求证：DBEECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长(备用图)（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；
2、（2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习1就是这类题型；（3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF与底边平行，一种是E为中点；（4、 在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。 变式练习1 （浦东新区22题）如图，已知等边的边长为8，点、分别在边、上，为中点，当与相似时，求的值.变式练习2（宝山22题）如图6，已知中，,点、在边上，满足 =.求证：；（图6）（2）等腰梯形中一线三等角例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形中，直角三角板含45度角的顶点在边上移动，一直
3、角边始终经过点，斜边与交于点.若为等腰三角形，则的长等于 .例3（徐汇区25）如图，在梯形中，点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结（1）求证：；（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；（3）若，求的长 例4、（杨浦区基础考）四边形中，点为射线上动点（不与点、重合），点在直线上，且记，（1）当点在线段上时，写出并证明与的数量关系；（2）随着点的运动，（1）中得到的关于与的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的的取值范围；（3）若cos=，试用的代数式表示（3）坐标系中一线三等角例5（金山区24）如图，住平面直角系中，
4、直线：分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点，是轴上的一点，过作轴交于，连接，当动点在线段上运动（不与点点重合）且时(1)求证：；(2)求线段的长（用的代数式表示）；(3)若直线的方程是，求的值 变式练习3、在平面直角坐标系XOY中，的位置如图所示，已知,点A的坐标为（1） 求点B的坐标；（2） 若抛物线经过A、O、B三点，求函数解析式。（4）矩形中一线三等角例6、（长宁区24题）如图，在矩形中，点是射线上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交射线于点（1）判断与一定相似吗？请证明你的结论；（2）设，求与的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点，是周长等于周长的2倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由
