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1、教学设计方案课程最短路径问题课程标准随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。教学内容分析人教版：最短路径问题在现实生活中经常遇到，在初中阶段，主要以“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，同时借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。本课主要内容是利用轴对称、平移等
2、变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，是轴对称知识的应用，学习它将为后面勾股定理内容中计算最短路径的学习打下坚实的基础，同时也为中考常见题型中的最值问题如线段和最小问题的解决提供了基础和方法。本课以数学史上著名的“将军饮马问题”和“造桥选址问题”为载体开展对最短路径问题的课题学习研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称和平移等变换知识将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。教学目标知识与技能目标：能利用轴对称和平移等变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；过程与方法目标：通过独立思考，
3、合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感悟化归思想；情感与态度目标：通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，让学生领悟数学源于生活用于生活，鼓励学生大胆思考，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。学习目标学生能将实际问题中的“地点”“河流”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，将两点在一线同侧问题转化为两点在一线异侧问题，化“折”为“直”感悟化归思想。学情分析学生在此内容之前轴对称、
4、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题，是轴对称知识的应用，学习它将为后面勾股定理内容中计算最短路径的学习打下坚实的基础，同时也为中考常见题型中的最值问题如线段和最小问题的解决提供了基础和方法。重点、难点教学重点：将实际问题转化为数学问题，能通过自主探究，利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；教学难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；如何通过逻辑推理证明所求路径最短。教与学的媒体选择PPT、实物投影课程实施类型偏教师课堂讲授类偏自主、合作、探究学习类备注教学活动步骤序号名称课堂教学环节/学习活动环节长度1Pa
5、rtl:复习引入课堂教学环节42Part2：探索新知“将军饮马问题”学习活动环节83Part3：应用新知，解决问题学习活动环节184Part4：课堂小结学习活动环节55Part5：你敢挑战更高难度吗？试试吧！学习活动环节5教学活动详情教学活动LPartl:复习引入活动目标复习“两点之间，线段最短”，为后面的探究学习作好铺垫。解决问题利用所学知识来探究数学史中著名的“将军饮马问题”。技术资源PPT展示.常规资源教师提问学生回答活动概述学生回答：连接AB,与直线I交于点P,则点P为所求最短的泵站，教师活动：1、将图3板书到黑板上，为结尾归纳总结点明数学本质作铺垫；2、图3的板书引导学生在后面一系列
6、的问题中回归到本题进行解答。教与学的策略【本环节是用多媒体中的PPT投影】反馈评价引导学生在后面一系列的问题中回归到本题进行解答教学活动2：Part2：探索新知“将军饮马问题”活动目标让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。学生水平较高，对于此类问题较为轻松解决，学生解决问题后教师引导学生如何进行下一步的证明“最短路径”。解决问题将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题.技术资源PPT、白板常规资源教师提问学生回答活动概述教师：这是一个实际问题，我们首先将它转化成数学问题。师生活动：将A,B两地抽象为两个点，将河/抽象为一条直线，请学生
7、画出数学图形（如图5）,问题转化为“在直线/上找一点C,使得CACB最小.”请学生利用所学知识解决这个问题（如图6）.（可利用几何画板辅助说明点C存在的必然性），并请学生上台板演，教师点评。教与学的对于此类问题较为轻松解决，学生解决问题后教师引导学生如何进策略行下一步的证明“最短路径二反馈评价1、让学生进一步体会作法的正确性，提高学生的逻辑思维能力。2、在证明过程中，再次运用和体会轴对称的“桥梁”作用，感悟化归思想。教学活动3：Part3：应用新知，解决问题活动目标将军饮马问题的简单应用，考查学生对两点在一条直线异侧时线段和最小问题的掌握情况。解决问题将军饮马问题的变式一，让学生进一步巩固利用
8、轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题。本问题小结为：一点在两条相交直线内部的情况。技术资源PPT,白板常规资源教师提问学生回答活动概述师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：过点P分别作关于直线OA、OB对称的点P，和P”，连接P，P”所成线段交0A、OB于点M、N,连接MN、PM、PN,则PM+MN+PN为所求的最短路线。教与学的策略将军饮马问题的变式，让学生进一步巩固利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题。反馈评价学生自主分析，独立完成作图。请学生代表分析思路。其基本思路为：ZXENF的周长为EN、E
9、F与FN之和，而EN是固定长度的线段，问题就转化为EF与FN之和最小，即转化为两点在一条直线同侧求线段和最小的问题。教学活动4：Part4,你敢挑战更高难度吗？试试吧！活动目标让学生运用新知进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和方法，进一步提升思维层次（本题为2014年中考24题（3）问的原型）。解决问题小结本题的数学模型：两点在一条直线同侧（定长PQ在直线上以固定角度平行移动）。技术资源PPT,白板常规资源教师提问学生回答活动概述师生活动：学生独立思考，自主完成后可与小组成员交流，请小组代表展示交流成果，教师评价。其基本思路为：将定长线段PQ平移至BBl过点B，作关于直线/的对称点B“，连接A”B交直线/于点P，则PQ确定，连接AP,QB,则AP+PQ+QB为所求的最短路线。教与学的策略新知进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和方法，进一步提升思维层次。反馈评价让学生运用新知进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和方法，进一步提升数学思维能力。评价量规其它参考书人教版八年级数学上册备注
