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1、第五章 可穩定性及可偵測性,科目名稱:線性系統授課班級:飛機系統研究所研一授課老師:歐陽讓,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-2,前言,可控制性研究輸入與狀態間的耦合性可觀察性研究狀態與輸出間的關聯性若系統如果不是可控制的，或者不是可觀察的，或者既非可控又非可觀，那麼，系統會有什麼性質？,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-3,可控制性與可觀察性,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-4,可控制性與可觀察性,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-5,可控制性與可觀察性,2023/3/7
2、,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-6,可控制性與可觀察性,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-9,可控制性與可觀察性,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-10,可穩定性與可觀察性,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-11,不可穩定性與不可觀察性,線性系統的結構分解(Kalman 分解),（1）當系統不能控或不能觀測 時，並不是所有狀態都不能控或不能觀測（可通過座標變換對狀態空間進行分解。）（2）把狀態空間按能控性或能觀性進行結構分解。,一、結構分解舉例,由定理知：x1,x2能控，x3,x4不能控由
3、定理知：x2,x3能觀測，x1,x4不能觀,系統有：（1）能控能觀,（2）能控不能觀,（3）不能控能觀,（4）不能控不能觀,四種情況,結構圖：,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-15,x1能控不能觀,x2能觀能控,x3不能控能觀,x4不能控不能觀,上述是通過變換把一個系統分解成4個子系統,二、系統按能控性分解(一)定理 設系統(A,B,C)不能控，則rankM=rankB,ABAn-1B=rn，必存在一非奇異矩陣T=Rc，使得,則系統得狀態空間被分解成能控和不能控的兩部分,課本p.152 圖5.1,(二)變換矩陣T的求法：（1）從M=B,ABAn-1B中選擇r個線
4、性無關的列向量（2）以（1）求得的列向量，作為T的前r個列向量，其餘列向量可以在保持T為非奇異的情況下，任意選擇。,(三)說明：（1）系統按能控性分解後，其能控性不變。（2）系統按能控性分解後，其傳遞函數陣不變。,三、系統按能觀測性分解,(一)定理 設系統(A,B,C)不能觀，則,原狀態方程被分解成能觀和不能觀測的兩部分,課本p.160 圖5.2,(二)變換矩陣R0的求法：,例 設線性定常系統如下，判別其能觀性，若不是完全能觀的，將該系統按能觀性進行分解。,解：系統的能觀性判別矩陣,所以該系統是狀態不完全能觀的。,為構造非奇異變換陣R0-1，取,得,其中R3,是在保證R0-1非奇異的條件下任意
5、選取的。於是系統狀態空間運算式變換為,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-25,課本第五章,本章僅探討線性非時變系統：可控矩陣：可觀矩陣：,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-26,5.1 可穩定性,定理4：考慮系統,設rank(U)=r n,則必存在一等效轉換 將系統 轉換成,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-27,定理4(續),r 維子系統：是可控制的且其轉移函數矩陣正好等於原系統 之轉移函數矩陣亦即：,第5章/第1節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-28,定理4：證明 p
6、art I,因為rank(U)=r n，令 q1,q2,qr 為U的任意 r 個線性獨立行(linearly independent column)，定義一非奇異矩陣(nonsingular matrix)T 如下：其中qr+1,qn 為(n r)個任意向量，但須使 T 為非奇異矩陣。經由等效轉換可將系統 轉換成。證明過程略,第5章/第1節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-29,定理4：證明 part II,利用,第5章/第1節,與原系統 之轉移函數矩陣相同,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-30,可控制與不可控制的子系統,子系統S
7、1：子系統S2：因,由初始狀態 即可完全決定狀態 的行為,故輸入 u 完全不影響S2,因此稱子系統S2 為不可控制的.(維度=n r)狀態 亦無法影響S2.否則輸入 u 豈不可藉由間接改變 的行為.子系統S1 為可控制的.即 是可控制的.(維度=r),第5章/第1節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-31,特徵值,系統 與系統 是等效的，亦即存在一可逆矩陣T使得A 與 具有相同之特徵值，即 為一個上三角矩陣，所以系統 與系統 之特徵值可分解成兩個部分：可控制之特徵值(controllable eigenvalue)或 可控制模式(controllable mode
8、)：不可控制之特徵值(uncontrollable eigenvalue)或 不可控制模式(uncontrollable mode)：,第5章/第1節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-32,極點-零點對消,分母 為 n 階多項式。分母 為 r 階多項式(r n)。存在 n r 個 極點與零點對消。不可控制特徵值 必定會發生極點-零點對消，因此不會出現在轉移函數矩陣的極點上。,第5章/第1節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-33,可穩定的系統,無論加入何種輸入，均無法改變不可控子系統的特性當一個系統之不可控子系統是漸近穩定的，則稱該
9、系統是可穩定的(stabilizable)。,第5章/第1節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-34,定義6 定理7,定義6：若一系統之不可控子系統為漸近穩定，則稱該系統或序對(A,B)為可穩定的。定理7：1.(A,B)是可穩定的若且唯若矩陣 A 落在複數平面左半平面（包括虛軸）的特徵值均為可控制之特徵值。2.任何漸近穩定之系統必為可穩定的。3.任何可控制之系統必為可穩定的。,第5章/第1節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-35,例題 Ex1,考慮三維動態方程式,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-36,
10、例題 Ex1(續),選取可計算出,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-37,例題 Ex1(續),可控子系統：不可控子系統：因為此不可控子系統之特徵值為1，故整個系統為不穩定。轉移函數：,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-38,5.2 可偵測性,定理13：考慮系統,設rank(V)=r n,則必存在一等效轉換 將系統 轉換成,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-39,定理13(續),r 維子系統：是可觀察的且其轉移函數矩陣正好等於原系統 之轉移函數矩陣亦即：,第5章/第2節,2023/3/7,中華技術學院 飛機
11、系統研究所 歐陽讓教授,5-40,定理13：證明 part I,因為rank(V)=r n，令 q1,q2,qr 為V的任意 r 個線性獨立行(linearly independent column)，定義一非奇異矩陣(nonsingular matrix)如下：其中qr+1,qn 為(n r)個任意向量，但須使 為非奇異矩陣。經由等效轉換可將系統 轉換成。,第5章/第1節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-41,可觀察與不可觀察的子系統,子系統S1：子系統S2：,第5章/第2節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-42,可觀察與不可觀
12、察的子系統,輸出 y 只受子系統 S1 的影響，但與子系統 S2 無關 輸出 y(t)的行為由初始狀態 與輸入 u 即由完全決定，y(t)完全不受 的影響。輸出 y(t)完全無法預測 為何，因此稱 S2 為不可觀察子系統。(維度=n r)子系統S1 為可觀察的.即 是可觀察的.(維度=r),第5章/第2節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-43,特徵值,系統 與系統 是等效的，亦即存在一可逆矩陣T使得A 與 具有相同之特徵值，即 為一個下三角矩陣，所以系統 與系統 之特徵值可分解成兩個部分：可觀察之特徵值(observable eigenvalue)或 可觀察模式
13、(observable mode)：不可觀察之特徵值(unobservable eigenvalue)或 不可觀察模式(unobservable mode)：,第5章/第2節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-44,定義15 定理17,定義15：若一系統之不可觀察子系統為漸近穩定，則稱該系統或序對(C,A)為可偵測的(detectable)。定理7：1.(C,A)是可偵測的若且唯若矩陣 A 落在複數平面左半平面及虛軸上的特徵值均為可觀察之特徵值。2.任何漸近穩定之系統必為可偵測的。3.任何可觀察之系統必為可偵測的。,第5章/第2節,2023/3/7,中華技術學院
14、飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-45,例題 Ex2,考慮三維動態方程式,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-46,例題 Ex2(續),選取可計算出,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-47,例題 Ex2(續),可觀子系統：不可觀子系統：轉移函數：,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-48,5.3 Kalman 分解定理,向量 為可控但不可觀，向量 為可控且可觀，向量 為不可控。轉移函數：,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-49,Kalman 分解,不可控制或不可觀察部分會因極點-零
15、點相消而不會出現在轉移函數上，這些被消掉的模式稱為該系統之隱藏模式(hidden mode)。不可控隱藏模式：不可觀隱藏模式：,第5章/第3節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-50,BIBO 穩定,當系統所有的極點均落在複數平面之左半平面（不包括虛軸）時，稱此系統為 I/O 穩定，或稱有界輸入有界輸出穩定(bounded-input bounded-output stable,BIBO stable)當系統無任何外來輸入時是漸近穩定，則稱此系統為內部漸近穩定，或簡稱內部穩定(internal stable)若系統為內部漸近穩定，則系統必為I/O 穩定,第5章/第
16、3節,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-51,例題 Ex 3,考慮二維動態方程式：其轉移函數為故此系統之零狀態響應為BIBO穩定。因為，有一正的特徵值，故此系統之零狀態響應並非漸進穩定。,2023/3/7,中華技術學院 飛機系統研究所 歐陽讓教授,5-52,5.4 最小實現,5.4 系統的實現(Realization),一、概念：根據給定的轉移函數矩陣G(s)，求其相應的狀態空間運算式(A,B,C,D)使其滿足C(SI-A)-1B+D=G(S)，稱該狀態空間運算式(A,B,C,D)為轉移函數矩陣G(S)的一個實現。,二、實現的目的是為了仿真（做模擬）通過模擬結構圖
17、，用積分器、加法器等（積體電路塊）連接試驗，物理可實現條件為,1、G(S)中的每一個元素Gij(S)的分子分母多項式的係數均為實常數。2、G(S)中每一個元素均為S的真(proper)有理分式函數,三、如何實現：,狀態變數的選擇有無窮多組，實現的方法有無窮多。單變數系統可以根據G(S)直接寫出其能控標準型實現和能觀標準型實現。,四、最小實現,（2）定理：G(S)的一個實現,為最小實現的充要條件是（A,B,C)不但能控而且能觀。,（3）確定最小實現的步驟,1、對G(S)初選一種實現(A,B,C)，通常選取能控或能觀標準型實現，檢查其實現的能控性（或能觀性），若為能控又能觀則(A,B,C)便是最小
18、實現。2、否則對以上標準型實現(A,B,C)進行結構分解找出其完全能控又完全能觀的子系統,這便是G(S)的一個最小實現。,能控性和能觀性與轉移函數矩陣的關係,一、定理3.12：對於單變數系統，如果G(S)存在零極點對消，則由狀態變數選擇而定，要麼能控不能觀，要麼能觀不能控,或既不能控也不能觀，若沒有零極點對消，則狀態能控能觀。,從狀態空間看：,從傳遞函數陣看：,1、沒有零極點對消，能控能觀，,2、有零極點對消，就會存在,由定理可得以下推論：,G(s)所表示的僅僅是該系統既能觀又能控的那一部分子系統，所以G(s)是系統的一種不完整描述 G(s)若有零極點對消，就會出現不能控或不能觀。,二、定理3.13：對於多變數系統，系統能控又能觀的充分條件是其傳遞函數陣G(s)中無零極點對消。（不是必要條件）。,
