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1、连续时间信号与系统的S域分析,连续时间信号的复频域分析 连续时间系统的复频域分析 连续时间系统函数与系统特性 连续时间系统的模拟,连续时间信号的复频域分析,从傅里叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 单边拉普拉斯变换的性质 单边拉普拉斯变换的反变换 双边拉普拉斯变换*,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,f(t)=eat u(t)a 0的傅里叶变换？,将 f(t)乘以衰减因子e-t,不存在!,若,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,推广到一般情况,令s=+j,定义：,对 f(t)e-t求傅里叶反变换可推出,拉普拉斯正变换,拉普拉斯
2、反变换,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,拉普拉斯变换符号表示及物理含义,符号表示：,物理意义：,信号f(t)可分解成复指数est的线性组合,F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。,s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。,在实际问题中，用物理手段和实验方法所能记录与产生的一切信号都是有起始时刻的（有始信号）为适应实际工程中使用的信号都有开始时刻，定义了单边拉普拉斯变换，但在理论问题学习、研究中，可能遇到的信号就不单是因果信号，可能会有反因果信号，双边信号，时限信号等.,二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件,单边拉普拉斯变换,注：如若信号在t=0处不包含冲激函数及其导数项，在求该信号的单
3、边拉普拉斯变换时，积分下限写为“”或“”是一样的。,二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件,关于积分下限的说明：,积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。,单边拉普拉斯变换,二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件,单边拉普拉斯变换存在的充分条件,对任意信号f(t)，若满足上式，则 f(t)应满足,(0),0称收敛条件,0称绝对收敛坐标,S平面,右半平面,左半平面,例7-1 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。,分析：求收敛域即找出满足,的取值范围。,(1)即对没有要求，全平面收敛。对于任何有界的非周期信号，其能量有限，都 为无条件收敛。,（4）即，收敛坐标位于坐标
4、原点，收敛轴即虚轴，收敛域为S平面的右半部。,j,0,（5）即收敛域为。,例7-1 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。,分析：求收敛域即找出满足,的取值范围。,收敛域为全s平面,不存在,四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,1）当收敛域包含j 轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。,2）当收敛域不包含j 轴时，拉普拉斯变换存在而傅里叶变换均不存在。,3）当收敛域的收敛边界位于j 轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。,三、常用信号的拉普拉斯变换,1.单边指数函数e tu(t)，为实数,同理：,三、常用信号的拉普拉斯变换,2.正弦型信号,三、常用信号的拉普拉斯变换,3.阶跃函数u(t),三、常用信
5、号的拉普拉斯变换,4.,三、常用信号的拉普拉斯变换,5.t的正幂函数tn，n为正整数,根据以上推理,可得,常用信号的单边拉氏变换,常用信号的单边拉氏变换,常用信号的单边拉氏变换,常用信号的单边拉氏变换,四、单边拉普拉斯变换的性质,1.线性特性,若,则,注：若两个信号经过线性运算得到的信号是一个时限信号，则其收敛域为整个s平面。,五、单边拉普拉斯变换的性质,2.展缩特性,若,则,a0是为保证f(at)仍为因果信号。,五、单边拉普拉斯变换的性质,3.时移特性,若,则,0,0,t,t 0,f(t),f(t-t0),例7-2求图示三角脉冲信号的Laplace变换,解：,将上式写成基本信号（斜坡）线性组
6、合形式,解：,由上例可知，若f(t)是双边信号，则右移信号波形不同，故单边Laplace变换也不同,f(t)=t,延时特性的一个重要应用是求有始周期信号的拉普拉斯变换。设周期为的周期函数，则可将分解表示为若，则根据延时特性可写出的象函数为,【例7-4】求图示单边周期方波的拉氏变换。解：该周期信号可写作 其中为单个矩形脉冲，其拉普拉斯变换为,利用时移特性则得矩形脉冲序列的拉普拉斯变换为,五、单边拉普拉斯变换的性质,4.卷积特性,五、单边拉普拉斯变换的性质,5.乘积特性,五、单边拉普拉斯变换的性质,6.指数加权性质（域平移特性）,若,则,7.线性加权性质（复频域微分特性）,例7-7,五、单边拉普拉
7、斯变换的性质,8.微分特性,重复应用微分性质，求得：,若 f(t)=0,t0,则有f r(0-)=0，r=0,1,2,.,例7-9,五、单边拉普拉斯变换的性质,9.积分特性,若f-1(0-)，则有,例7-10,五、单边拉普拉斯变换的性质,8.初值定理和终值定理,若f(t)在t=0不包含冲激及其各阶导数 则,若sF(s)的收敛域包含jw轴 则,例7-12 已知,求f(t)的初值和终值。,解：,F(s)不是真分式，f(t)在t=0包含冲激，不能直接应用初值定理,sF(s)的收敛域包含jw轴，直接应用初值定理可得,对F1(s)应用初值定理可得,将F(s)改写为,F1(s),例4 试求如图所示周期信号
8、的单边Laplace变换。,分析：周期为T的单边周期信号f(t)可以表示为第一个周期信号f1(t)及其时移f1(t-kT)的线性组合，即,若计算出f1(t)的Laplace变换F1(s)，利用Laplace变换的时移特性和线性特性，即可求得单边周期信号的Laplace变换为,Re(s)0,f1(t),例4 试求如图所示周期信号的单边Laplace变换。,解：,因为,所以,Re(s)0,f1(t),例5 试求如图所示信号的单边Laplace变换。,解：,方法1,例5 试求如图所示信号的单边Laplace变换。,解：,方法2,方法3,例2 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。,解：时域信号 傅里叶变换拉普拉斯变换,不存在,例3 由 F(s)求 F(j),解：,1)收敛域-4包含j轴,2)收敛域的收敛边界位于j轴,
