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1、20140107,拉普拉斯变换-拉普拉斯变换表,拉普拉斯变换 系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。,2. 数学模型与传递函数,频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。,复数和复变函数 复数的概念 复数 s= +j （有一个实部 和一个虚部， 和 均为实数） 两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。 一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。,2.2 拉普拉斯变换,称为虚数单位,复数的表示法 对于复数 s= +j 复平面：以 为横坐标(实轴)、 为纵坐标(虚轴)所构成的平面
2、称为复平面或s平面。复数 s= +j 可在复平面s中用点( , )表示：一个复数对应于复平面上的一个点。,2.2.1 复数和复变函数, 复数的向量表示法 复数 s= +j 可以用从原点指向点( , )的向量表示。 向量的长度称为复数的模：,2.2.1 复数和复变函数,向量与 轴的夹角 称为复数s的复角：, 复数的三角函数表示法与指数表示法 根据复平面的图示可得： = r cos ， = r sin 复数的三角函数表示法： s = r (cos + j sin ),2.2.1 复数和复变函数,欧拉公式：,复数的指数表示法：, 复变函数、极点与零点的概念 以复数s= +j为自变量构成的函数G(s)
3、称为复变函数： G(s) = u + jv式中：u、v 分别为复变函数的实部和虚部。,2.2.1 复数和复变函数,当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的 零点 ；,通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。,当复变函数表示成,(b) 当s=-pj时，G(s)，则sj=-pj称为G(s)的 极点 。,例： 当s= +j时，求复变函数G(s) =s2+1的实部u和虚部v。,2.2.1 复数和复变函数,复变函数的实部,复变函数的虚部,解： G(s)s2+1( +j)2 + 1 2 + j(2 )
4、- 2 + 1 ( 2 - 2 + 1) + j(2 ),拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。,2.2 拉普拉斯变换,复变量,原函数,象函数,拉氏变换符号,拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变换到复数域内与之等价的复变函数 F(t) 。,设有时间函数 f(t)，当 t 0 时，f(t)0；在 t0时定义函数 f(t) 的拉普拉斯变换为：,拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件： 当t0时，f(t) 分段连续，只有有限个
5、间断点； 当t 时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即,2.2.2 拉普拉斯变换的定义,在复平面上，对于Res a的所有复数s (Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Res a是拉普拉斯变换的定义域， a称为收敛坐标。,式中：M、a为实常数。,典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数 单位阶跃函数定义：,2.2 拉普拉斯变换,(2) 单位脉冲函数 单位脉冲函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,且：,(3) 单位速度函数（单位斜坡函数） 单位速度函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,(4) 指数函数 指数函数表达式：,2.2.3 典型时间函数的拉
6、普拉斯变换,式中：a是常数。,(5) 正弦信号函数 正弦信号函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，正弦函数表达为：,(6) 余弦信号函数 余弦信号函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，余弦函数表达为：,拉普拉斯变换的基本性质 (1) 线性定理 若、是任意两个复常数，且：,2.2 拉普拉斯变换,证明：,(2) 平移定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,证明：,则：,(3) 微分定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,证明：,则：,f(0)是 t =0 时的 f(t) 值,同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：,(3) 微分定理 推
7、广到n阶导数的拉普拉斯变换：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即,则：,(4) 积分定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明：,(4) 积分定理 同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,若：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有,注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。,(5) 终值定理 若：,2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有,写出左式积分,(6) 初值定理 若：,2.2.4
8、拉普拉斯变换的基本性质,则：,证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有,或者,拉普拉斯反变换 (1) 拉普拉斯反变换的定义 将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式：,2.2 拉普拉斯变换,拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法。,如果把 f(t) 的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即,2.2.5 拉普拉斯反变换,假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得，那么,当 F(s) 不能很简单地分解成各个部分之和时，可采用部分分式展开将 F(s) 分解成各个部分之
9、和，然后对每一部分查拉氏变换表，得到其对应的拉氏反变换函数，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反变换 f(t) 函数。,(2) 部分分式展开法 在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：,2.2.5 拉普拉斯反变换,式中A(s)和B(s)是s的多项式， B(s)的阶次较A(s)阶次要高。,对于这种称为有理真分式的象函数 F(s)，分母 B(s) 应首先进行因子分解，才能用部分分式展开法，得到 F(s) 的拉氏反变换函数。,拉普拉斯反变换,由象函数求原函数的方法：,(1)利用公式,(2)对F(S)进行部分分式展开,象函数的一般形式：,利用部分分式F(S)分解为：,例13-6,解：令D(s)=0，则
10、 s1 = 0，s2=2，s3=5,K1、k2也是一对共轭复根,小结：,1.) n =m 时将F(S)化成真分式,1.由F(S)求f(t) 的步骤,2.)求真分式分母的根，确定分解单元,3.)求各部分分式的系数,4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。,2.拉氏变换法分析电路,正变换,反变换,相量形式KCL、KVL,元件 复阻抗、复导纳,运算电路,类似地,元件 运算阻抗、运算导纳,运算形式KCL、KVL,2.电路元件的运算形式,R：,u=Ri,1.运算形式的电路定律,L:,C:,运算阻抗,运算形式欧姆定理,运算阻抗,3.运算电路,运算电路,如 L 、C 有初值时，初值应考虑为附加电源,
11、物理量用象函数表示元件用运算形式表示,拉普拉斯变换法分析电路,步骤：,1.由换路前电路计算uc(0-) , iL(0-),2. 画运算电路图,3. 应用电路分析方法求象函数,4. 反变换求原函数,t = 0时闭合k,求iL，uL。,V,(2)画运算电路,(4)反变换求原函数,求UL(S),?,例13-10 求冲激响应,例13-11 图示电路已处于稳态，t=0时将开关S闭合，已知us1=2e-2t V,us2=5V,R1=R2=5,L1=1H,求t0时的uL(t).,例13-12 图示电路，已知R1=R2=1，L1=L2=0.1H，M=0.5H，us=1V，试求：t=0时开关闭合后的电流i1(t)和i2(t)。,t = 0时打开开关k ,求电流 i .,小结：,运算法分析动态电路的步骤,1.由换路前电路计算uc(0-) , iL(0-) 。,2. 画运算电路图,3. 应用电路分析方法求象函数。,4. 反变换求原函数。,磁链守恒：,拉普拉斯变换简表,拉普拉斯变换简表 (续1),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表 (续2),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表 (续3),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表 (续4),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表 (续5),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,
