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1、齿轮啮合原理 平面曲线,小组成员：,谭惠文,张军,王成非,罗彩煌,平面曲线,齿轮啮合原理,目 录,4,平面曲线,齿轮啮合原理,齿轮啮合原理,平面曲线,1 平面曲线的基本要素,1.1 平面曲线的三种表示形式,1.2 平面曲线的切线,1.3 平面曲线的法线,1.4 平面曲线的曲率,齿轮啮合原理,平面曲线,1.1 平面曲线的三种表示形式,1）函数方程：,（显函数曲线）,2）二元方程：,（隐函数曲线）,3）参数方程：,（参数曲线）,齿轮啮合原理,平面曲线,1.2 平面曲线的切线,曲线的切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线，更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的运
2、动方向是相同的。,曲线C,切点P,切线,已知：平面曲线的方程式 和P点的坐标,则：平面曲线的切线为：,齿轮啮合原理,平面曲线,1.3 平面曲线的法线,曲线的法线是垂直于曲线上一点的切线的直线，曲面上某一点的法线指的是经过这一点并且与该点切平面垂直的那条直线（即向量）。,曲线C,切点P,切线,法线,已知：平面曲线的方程式 和P点的坐标,则：平面曲线的法线为：,齿轮啮合原理,平面曲线,1.4 平面曲线的曲率 用矢量函数，表示的曲线，式中s是曲线的弧长。曲线上分别与s和（s+）对应的两个相邻的点M和N。而 是点M和N处的两条切线之间的夹角。当点N趋近于点M时，比值 的极限称为曲线在点M处的曲率。,齿
3、轮啮合原理,平面曲线,2 几种特殊的平面曲线,2.1 笛卡尔叶形线,2.2 心脏线,2.3 圆内摆线,2.4 阿基米德螺旋线,齿轮啮合原理,平面曲线,2.1 笛卡尔叶形线,方程式：,渐近线：,圈套的面积：,曲线与渐近线之间的面积：,齿轮啮合原理,平面曲线,2.2 心脏线,方程式：,极值点：,它是使OM=OP a的点M的轨迹（a为圆的直径，P为圆周上的一点）。它是圆外旋轮线的特例（动圆与定圆的直径相等）,二重切线的切点：,曲线长：L=8a,齿轮啮合原理,平面曲线,2.3 圆内摆线,方程式：,曲线是一圆周沿另一圆周的内部滚动而无滑动时，圆周上一点M所描成的轨迹。,全曲线长：L=6a,曲线所围成的面
4、积：,齿轮啮合原理,平面曲线,2.4 阿基米德螺旋线,方程式：,曲线为一动点以常速沿一射线运动，而这一射线又以定角速度绕极点转动时，该动点所描成的轨迹.曲线由两支曲线组成，它们关于x轴对称。,弧长：,曲率半径：,扇形M1OM2的面积：,齿轮啮合原理,平面曲线,3、平面曲线相关应用,平面曲线本身是没有具体实物存在的，它只不过是我们为了理解事物，解决问题而抽象出来而又能代表问题，通过对曲线性质的理解和应用，从而解决问题。下面介绍几种常见的应用。,齿轮啮合原理,平面曲线,3.1齿轮传动中的应用,齿轮是各种机械设备中应用最为广泛的一种机械传动元件。齿轮传动水平的高低是衡量一个国家机械工业水平高低的重要
5、标志。,齿轮啮合原理,平面曲线,目前齿轮创新研究和发展的重点、难点集中在轮齿横截面齿廓曲线形状上，齿轮齿廓形状是影响齿轮承载能力和使用寿命的主要因素之一。,齿轮啮合原理,平面曲线,渐开线齿廓自从二百多年前出现后，就一直在工程实践中居于绝对的统治地位，目前渐开线仍是各种齿轮中最主要的齿廓曲线形式。利用数学微分几何原理对渐开线曲线进行曲率分析，求得渐开线各点处曲率中心的分布，可以简化齿轮传动啮合运动机构分析。另外对渐开线曲线进行曲率分析，是对渐开线齿轮进行齿廓啮合分析、齿形创新设计及齿廓修形加工新工艺开发的基础和前提，对齿轮传动的创新研究和发展具有重要意义。,齿轮啮合原理,平面曲线,图中所示，对于
6、特定的渐开线，其基圆半径为固定值，渐开线上各点处的压力角 及曲率半径 可由对应位置的极径 根据理论公式计算求得。例如对于齿数为30、模数为2.0mm、分度圆压力角为20的渐开线标准齿轮，其基圆半径为28.19mm，求得压力角及曲率半径值沿渐开线齿廓的分布。,齿轮啮合原理,平面曲线,3.2 凸轮轮廓的应用,凸轮机构应用广泛。其最大优点是只要适当设计出凸轮的轮廓曲线，就可以使推杆实现各种预期的复杂运动规律，而且响应快速，机构简单紧凑。,齿轮啮合原理,平面曲线,设计方法有图解法、解析法。由于图解法难以满足对凸轮机构精度的要求，现多采用解析法。用解析法设计凸轮轮廓曲线时需对该机构进行运动分析，列矢量方
7、程表达式，建立方程，进行数值求解，得到推杆的运动学、动力学等规律。,齿轮啮合原理,平面曲线,如图所示，为一通用凸轮曲线的各项运动规律曲线，通过对推杆位移规律曲线S的分析处理，可以得到速度V、加速度a、跃度J等的参数变化规律从，从而获取凸轮的运动情况。,齿轮啮合原理,平面曲线,3.3 机械零件检测应用,机械零件自动检测是制造业中生产系统的一个重要环节，它从一定程度上决定了实现企业柔性制造自动化的进程，是制造业信息化的关键环节。一般认为，构成机械零件的基本元素是点、直线、圆、椭圆和曲线。当前运用计算机视觉技术对机械零件的检测和识别，绝大部分只是对零件的点、直线、圆和椭圆的研究，而其他形式的曲线的检
8、测和识别研究却比较少。,齿轮啮合原理,平面曲线,3.4 在道路设计中的应用,公路平面设计主线通常采用导线法，即先用导线标定线路走廊带，然后采用直线、圆曲线和缓和曲线组合，将整个线路串连起来。匝道平面设计则先定出起点坐标和方位，然后根据地形特点选择线形和设置线形参数分段向前推进。,齿轮啮合原理,平面曲线,道路设计通常在同一线路坐标系中进行，道路平面曲线元在线路坐标系中的快速定位、中桩测设坐标和道路中桩、附属结构物施工放样坐标的准确计算是广大道路工程线路设计人员、勘测人员以及道路施工放样人员十分关心的问题，计算工具和测量仪器的改进使这些问题正朝着积极的方向发展。,齿轮啮合原理,平面曲线,3.5 齿
9、轮啮合中常见的平面曲线,在啮合理论中常用到的平面曲线，除了直线和圆外还有以下几种常用曲线：广义渐开线 广义摆线 广义外摆线 广义内摆线,齿轮啮合原理,平面曲线,广义渐开线,在平面上，一条动直线(发生线)沿一个固定的圆(基圆)作纯滚动时，与动直线固连的一点的轨迹称为渐开线(该点在发生线上)，或延伸渐开线(该点与基圆圆心位于发生线的同侧)，或缩短渐开线(该点与基圆圆心位于发生线的异侧)。在图中曲线C1、C2、C3分别是渐开线、延伸渐开线和缩短渐开线。广义渐开线是这三种曲线的总称。,齿轮啮合原理,平面曲线,广义摆线,在平面上，一个动圆(发生圆)沿一条固定的直线(基线)作纯滚动时，与动圆固连的一点的轨
10、迹称为摆线(该点在发生圆上)，或长幅摆线(该点在发生圆外)，或短幅摆线(该点在发生圆内)。图中曲线C1、C2和C3分别是摆线、长幅摆线和短幅摆线。广义摆线是这三种曲线的总称。,齿轮啮合原理,平面曲线,广义外摆线,在平面上，一个动圆(发生圆)沿一个固定的圆(基圆)的外侧，作外切或内切纯滚动时，与动圆固连的一点的轨迹称为外摆线(该点在发生圆上)，或长幅外摆线(该点与基圆圆心位于发生圆的同侧)，或短幅外摆线(该点与基圆圆心位于发生圆的异侧)。图中曲线C1、C2和C3分别是外摆线、长幅外摆线和短幅外摆线。广义外摆线是这三种曲线的总称。,齿轮啮合原理,平面曲线,广义内摆线,在平面上，一个动圆(发生元)沿一个固定的圆(基圆)的内侧作纯滚动时，与动圆固连的一点的轨迹称为内摆线(该点在发生圆上)或长幅内摆线(该点与基团圆心位于发生因的同侧)，或短幅内摆线(该点与基圆圆心位于发生圆的异侧)。图中，曲线C1、C2和C3分别是内摆线、长幅内摆线和短幅内摆线。广义内摆线是这三种曲线的总称。,齿轮啮合原理,平面曲线,总之，平面曲线与我们的生活处处相关，平面曲线的应用无处不在，不一而足。人类对平面曲线问题的深入探讨与应用必能促进人类的更好发展。,Thank You!,
