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1、地铁隧道中心三维坐标推算方法解析宋洋 （中铁十七局集团上海轨道交通工程有限公司 上海 200135）摘要：列车在曲线轨道上行驶时,由于超高的存在,车辆向曲线内侧倾斜。因此,在曲线地段的隧道断面内侧尺寸会增大。采用盾构法施工的圆形隧道,其断面半径也就会增大,并出现断面内侧得到有效的利用,而断面外侧不能充分利用的情形。如果将地铁在曲线地段隧道的施工中线相对于线路设计中线向内侧偏移某一个量,便可节省曲线隧道开挖断面尺寸,降低地铁建造成本。讨论了地铁曲线隧道施工中线相对于线路设计中线偏移量的计算,以及根据偏移量进行地铁曲线隧道施工中线上各点坐标的计算。关键词：曲线隧道施工中线偏移量计算坐标计算1 地铁
2、曲线隧道施工中线偏移量的计算在盾构推进过程中, 我们要测定盾构中心的位置以纠正盾构定位的姿态。值得指出的是: 隧道中心的设计坐标在直线上很容易计算, 而在弯道上的计算不同于地面上曲线的计算方法。在细部曲线放样中, 由于存在超高h 和超距e, 这时就存在设计曲线与施工曲线不一致的情况, 如图1 (a)。因为设计曲线指的是隧道内铺设轨道中心的曲线, 即如图1(b)中实线部分中心的轨迹, 而施工是要确定隧道中心的曲线即盾构推进的曲线, 即如图1(b) 中虚线部分中心的轨迹; 盾构推进曲线圆心与设计曲线圆心重合。在缓和曲线上超距逐渐增大或减小, 而在直线上超距为零。(a) (b)图1隧道中心曲线的曲率
3、半径应按 R = R - e 来计算各点 坐标。列车在曲线上行驶,车辆向曲线内侧倾斜。如图2所示, h为外轨超高, S 为两股钢轨中心线间距离, H为车辆中心在轨顶线以上的高度。因此, 由于外轨超高产生的车辆中心偏移量为e=图2采用盾构法施工的圆形隧道,在曲线地段施工中线相对于线路设计中线向曲线内侧偏移量为 。在直线地段,施工中线和设计中线重合,施工中线偏移量应在缓和曲线范围内平顺变化,在圆曲线部分保持所计算的偏移量。2 地铁曲线隧道偏移施工中线坐标的计算2.1曲线设计中线坐标计算2.1.1直线段上任意一点坐标的计算已知设计轴线方位角为Fo，连续墙内侧起始坐标（Xo，Yo），里程So，第一环洞
4、内留量t或缓直点坐标，里程，缓直点在管片上距小里程的距离为t，直线段全为标准型管片，直线段第K环管片坐标为2.1.2 缓和曲线上任意一点坐标的计算在求缓和曲线上任意一点坐标时，建立以ZH 点为原点，过ZH点的缓和曲线切线为x轴，ZH 点上缓和曲线的半径为y轴的直角坐标系，即切线支距法。采用切线支距法计算标准缓和曲线上任意一点的坐标为: 在切线支距法的直角坐标系中，标准缓和曲线上任意一点的切线方位角为，任意一点处的偏移量为，根据坐标正算得到偏移后的任意点坐标为: 公式简化好，即为：式中: 为缓和曲线长，为以ZH点起算的弧长，e为超距即偏移量，R为圆曲线半径。考虑曲线的偏转方向，进行如下坐标转换:
5、前缓和曲线: 后缓和曲线:此法在推导缓和曲线隧道中心平面坐标的计算公式时，采用切线支距法，从标准缓和曲线的公式出发，并顾及超距e的设计分布情况，先得到隧道中心在切线支距法的直角坐标系中的坐标，然后根据坐标转换来得到隧道中心的施工坐标。从推导的原理和过程来看，上述公式完全可靠，且能够保证精度要求，可以应用于实践。2.1.3圆曲线上任意一点坐标的计算这里我们分为对称缓和曲线和非对称缓和曲线两种情况来考虑。图3 图42.1.3.1 对称缓和曲线一般情况下，在隧道平面线路设计图中都给出了交点的坐标，可以先求出外矢距 (图3):根据S=E+R求得交点到圆心的距离，而交点到圆心的方位角为，由此可以得到圆心
6、坐标（Xo，Yo）：式中: ， 为交点坐标，A为前缓和曲线起点的切线方位角，为偏角(即线路转向角)，R为圆曲线半径，为缓和曲线长。得到圆心坐标后，圆曲线上任意一点坐标的计算公式如下:其中: ，为圆心坐标，B为圆心到曲线中点的方位角，且 ，L为曲线中点到圆曲线上所求点S到QZ点的弧长。此法在推导圆曲线隧道中心平面坐标的计算公式时，先通过交点坐标计算得到圆心坐标，然后根据圆心坐标计算圆曲线上任意一点的施工坐标。从推导的原理和过程来看，在计算圆心坐标时，针对对称缓和曲线的特点，推算交点到圆心的距离和方位角的精度完全可靠，且圆心坐标的精度等同于交点坐标的精度;在计算施工坐标时，考虑超距e在圆曲线上的设
7、计分布情况，以圆心坐标为基准采用坐标正算的方法推算圆曲线上任意一点的施工坐标，能够保证精度要求。2.1.3.2非对称缓和曲线这里就不能根据上面的计算方法了，因为在非对称缓和曲线上交点到圆心的方位角和距离都难以求出。我们选择另外一种计算方法:从图4中可以得出HY点至圆心的方位角为,由此可以得到圆心坐标（Xo，Yo）：式中: ，为HY点坐标，A为前缓和曲线起点的切线方位角，为偏角(即线路转向角)，为HY 点的切线与前缓和曲线起点切线的交角，且，为缓和曲线长，R为圆曲线半径。得到圆心坐标后，圆曲线上任意一点坐标的计算公式如下:其中：Xo，Yo为圆心坐标，C 为圆心到HY 点的方位角，且,为圆曲线上所
8、求点S到HY 点的弧长，且。此法在推导圆曲线隧道中心平面标的计算公式时，先通过HY点坐标计算得到圆心坐标，然后根据圆心坐标计算圆曲线上任意一点的施工坐标。从推导的原理和过程来看，在计算圆心坐标时，根据HY点的切线与前缓和曲线起点切线的交角(即HY点的缓和曲线角度)，推算HY点到圆心的方位角，精度可靠，且圆心坐标的精度等同于HY点坐标的精度;在计算施工坐标时，考虑超距e在圆曲线上的设计分布情况，以圆心坐标为基准采用坐标正算的方法推算圆曲线上任意一点的施工坐标，能够保证精度要求。另外，我们也可以根据隧道平面线路设计图上给出的HY点、YH点的坐标和曲线偏转方向来求得圆心坐标和圆心至HY点的方位角。这
9、里圆心坐标和圆心至HY点的方位角的计算比较简单，不再叙述。这种方法对于对称和非对称缓和曲线都是可以计算的，但在精度上比前面的方法低一点。因为根据HY点和YH点的坐标来计算圆心坐标时，由于起算点坐标的精度影响了圆心坐标和圆心至HY点方位角的精度，由此来计算圆曲线上任意点的坐标，对于半径越大的圆曲线来说，偏差就越大。根据杭州地铁1号线8号盾构红普路站至九堡站区间隧道中心线的计算，与设计单位提供的隧道中心设计坐标的平面偏差都在1.5cm以内，满足施工要求。2.2 竖曲线计算 竖曲线计算有直线上、下坡、凸曲线、凹曲线4种形式。2.2.1直线上、下坡已知点高程H0、坡度i、管片宽度l，则图5 图62.2
10、.2凸曲线如图5所示，已知竖曲线半径R，坡度i1和i2，、点高程分别为H1、H2、H3，E为外矢距，T为切线长，为曲折角，L1为曲线长。1）、圆曲线r很大，很小，所以，i代表变坡点的坡度代数差。2）、很小，故，则3）、竖曲线长度（因为很小）4）、竖曲线各点高程及外矢距E因为很小，故可认为y坐标与半径方向一致，认为它是切线上与曲线上的高程差，从而得 又y2与x2相比较，其值甚微，可略去不计。所以由算得高程差y，即可按坡度线上起、终点高程，计算曲线上各点的高程。又因为： 由此凸曲线可分两段计算：点间各点高程点间各点高程2.2.3凹曲线 如图6所示，由凸曲线分析、类推，可得凹曲线上各点高程为点间各点高程：点间各点高程：3 结束语以上概述了地铁各类线段管片三维坐标计算方法。针对隧道施工中“设计曲线”与“隧道中心曲线”在曲线段中存在超高和超距的问题, 推导了施工中所需要隧道中心曲线的分段计算公式, 并编程实现批量计算, 从而解决了施工中的实际问题。参考文献1潘正风等. 数字测图原理与方法M . 武汉:武汉大学出版社, 20042王兆祥等. 铁道工程测量M . 北京:测绘出版社, 19863刘钊等. 地铁工程设计与施工M . 北京:人民交通出版社, 20044潘正风等. 坐标法进行铁路曲线放样和既有曲线测量J . 武汉测绘科技大学学报, 1999
