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1、 广州马拉松线路设计 一、 摘要：这道题我们用的是线性规划模型，先选出广州最有代表性的地方作为点，选出连接每两个点的可能路径作为比赛的可能赛道。接着对连接a、b两点的不同路径，按赛道选择要求利用层次分析法得出最好的一条作为这两点之间的唯一路径。再比较所有选出的路径的好坏并给出每条道路每公里的一个权重。用0-1变量求解，即用Xij表示从i点到j点的道路，如果选择这一条道路则Xij=1，不选的话Xij=0;通过约束条件保证每个点最多只能到达一个地方，同时又只有一个地方能到达这里。求解每段路的路程与权重乘积的和的最大值，得出最优解。最后看给出得结果是否合理，改进不合理的地方。关键字：线性规划 层次分
2、析法 权重 0-1变量二、 问题重述与马拉松选路要求： 问题重述： 在马拉松比赛的路线选择上，必须符合国际田联金标赛事的基本要求，同时展示城市的人文历史和地理风貌，而且尽可能降低因封路而给城市交通带来的影响, 理想的线路以平坦为主。 2013 广汽丰田广州马拉松赛线路包括:全程马拉松（42.195公里），半程马拉松（21.0975公里）和迷你马拉松（约5公里）。关于广州国际马拉松赛的线路，海珠区提出环岛路概念，争取在五年内建成海珠环岛路工程。沿着环岛路跑一圈，起点和终点都在会展中心，沿线经过海珠沿江各个景点，正好符合一个国际马拉松比赛总长42.2公里的赛程。 根据广州市道路实际情况，请完成下列
3、问题： 1、设计一个全程马拉松（42.195公里），半程马拉松（21.0975公里）和迷 你马拉松（约5公里），包括起点和终点。道路必须符合竞赛要求，展示城市的风貌。赛道宽度便于选手参赛，也便于组织和医疗急救工作。 2、评价海珠环岛路建成后，是否可以作为理想的广州马拉松路线。 3、能否根据你的模型，给广州市体育局提出合理建议。国际马拉松赛道要求：马拉松赛道42.195公里的长度，除此之外，马拉松的赛道标准还有一些硬性的规定。比如，起点和终点的理论直线距离不得超过全程距离的二分之一，即21公里；起止点高差不超过千分之一，即不能超过42米，故现在很多赛道为折返跑，这样就不存在高差问题；国际A类赛事
4、一般要求路途高差不超过12米（最低与最高处的差）；赛道必须是硬质地面，可以是柏油、沥青，甚至木板（为了保护参赛选手的膝关节尽可能减少水泥和石材地面），但不能是沙路或草地，大型马拉松赛事在路面上不得有减速带或减速道钉。考虑到选手们在平直的路线上奔跑很容易产生厌倦感，便会设计在赛道沿途多经一些弯路和变化。考虑到公路项目赛事主要是借助城市道路、公共广场等平时不属于赛事的专用的赛道，不能破坏原有的设施和城市环境。因此，赛道上的所有设施都是临时搭建，为了赛事的顺利进行以及赛后的快速恢复，对公路项目赛事的临时搭建要求越来越高：首先要考虑城市环保，其二要考虑经费节约，其三要考虑工作便捷，另外还要考虑赛事的景
5、观效果。 公路项目赛事是开放式赛事，赛道长，可控性差，安全保障难度大，对道路交通、公共秩序和城市设施都有很大的影响。因此，公路项目赛前需要较长时间的计划和协调。三、基本假设 1、 广州的都是路是平的，认为路上没有较大的上下坡；2、 选择的点是不占位置的，且认为a点到b点，b点到c点两段路程能够很好的衔接在一起，不影响比赛；3、 为更多的看到广州风光，假设不能在所选的两点之间往返的跑动；4、 道路能够平均的比较好坏。四、符号：n表示选择了n个点；a、b代表所选的任意两不同点；Aij表示从i点到j点所选最优路径的路程；Bij表示从i点到j点所选路径的单位权重；Xij表示0-1变量，为0时不选ij这
6、条路，为1时表示选这条路。五、问题分析：（1）、题目要求尽可能的展示城市风貌，我们就选取广州一些有代表性的地方作为点，要尽可能多的通过这些点，并且所选两点之间的路径必须符合比赛要求。（2）、题目要评价海珠区环岛路线的好坏，我们就在假设路线已经存在的情况下，用我们题1的模型去分析看是否满足赛道要求和是否是比较好的。六、原理与建模：线性规划模型问题1：（1）、主体方法：选择n个点，给这些点从1-n编号，通过层次分析法得出I,j两点之间的最优路程是Aij，给出每公里的权重是Bij，设0-1变量为Xij。线性规划可以表示如下：Max z=42 约束总路程数不超过比赛要求=1 i=1,2,n 从每个点只
7、到达其中一个点=1 j=1,2,n 每个点只能从一个点到达Xij+Xji=1 I,j=1,2,n 不能往返的跑Xij都为非负整数用lingo求解可得到最优解，得到最优路线。（2）用层次分析法确定每两点之间的最好路径：1、建立递阶层次结构在我们的比赛路线规划问题中，我们希望在各个景点之间选择一条最优路径，然后根据我们建立的算法来组合这些最优路径最终得到一条完整的最优赛道。以景点为基准点来考虑当然是因为举办马拉松比赛要注重宣传广州的文化建设、环境建设等的突出成就，而广州的各个著名景点无疑是最能代表广州的元素之一。而因为如果两点间确定多条路径并且确定各条路径的可行性、权重等的数据量较大，我们就假设两
8、景点间只有一条最优路径，并且以这个假设为起点去完成我们的模型设计。如果各方面的数据支持到位，我们的改进算法在理论上是可以在两点间多条道路中找出最优路径并且最终完成赛道规划的。为了计算两景点间的最优路径的可行性权重，我们确定了一些会影响其权重的因素。 1）路径的长度（路径物理长度、跨越景点个数）；2）路径的复杂度（路径包含的路口个数、桥梁数目、立交桥数目）；3) 路径的美化度（路径宽度、绿化装修程度、繁忙程度）； 将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。代表不同层次，同一层次从左到右用1、2、3、4。代
9、表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。 选出最优路线目标层A路径复杂度B2路径美化度B3路径长度B1 准则层B准则层C繁忙程度C8绿化装修C7路径宽度C6物理长度C1路口个数C3桥梁数目C4立交桥数目C5跨越景点数C2 决策层D选择最优路径选择其他路径 2、构造判断矩阵并赋值 根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。 构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。填写判断矩阵。矩阵元素由我们小组参考网上的道路资料来给出。 重要性标度含义表重要性标度含 义1表示两个元素相比，具有同等
10、重要性3表示两个元素相比，前者比后者稍重要5表示两个元素相比，前者比后者明显重要7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9表示两个元素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述判断的中间值 倒数若元素I与元素j的重要性之比为aij, 则元素j与元素I的重要性之比为aji=1/aij 现以海心沙到琶洲会馆两点作为例子计算其最优路径的权重。判断矩阵表AB1B2B3B1C1C2B2C3C4C5B3C6C7C8B111/31/3C111C31C61B211C21C41C71B31C51C81C1D1D2C2D1D2C3D1D2待添加的隐藏文字内容3C4D1D2D115D113D111/5D114D2
11、1D21D21D21C5D1D2C6D1D2C7D1D2C8D1D2D111/4D114D113D113D21D21D21D21注：设填写后的判断矩阵为A=(aij)nn，判断矩阵具有如下性质：(1) aij0(2) aji=1/ aji(3) aii=1根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写aii=1部分，然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：aij*ajk=aik 当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则称该判断矩阵为一致性矩阵。3、层次单排序（计算权向量）与检验层次计算权向量及检验结果表A
12、单(总)排序权值B1单排序权值B2单排序权值B3单排序权值B10.1429C10.5000C30.3500C60.6500B20.4286C20.5000C40.2400C70.1500B30.4286CR0.0000C50.4100C80.2000CR0.0000CR0.0000CR0.0000C1单排序权值C2单排序权值C3单排序权值C4单排序权值D10.7500D10.1667D10.8750D10.17D20.2500D20.8333D20.1250D20.83CR0.0000CR0.0000CR0.0000CR0.0000C5单排序权值C6单排序权值C7单排序权值C8单排序权值D10
13、.2500D10.8333D10.7587D10.2389D20.7500D20.1667D20.2413D20.7611CR0.0000CR0.0000CR0.0000CR0.0000所有单排序的C.R.0.1，认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。注：一致性检验的步骤如下。第一步，计算一致性指标C.I.（consistency index）第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.（random index）据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。例如，对于5阶的判断矩阵，查表得到R.I.=1.12 平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反矩阵计算结果）矩阵
14、阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41矩阵阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59第三步，计算一致性比例C.R.（consistency ratio）并进行判断当C.R.0.1时，认为判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。 4. 、层次总排序与检验 C层次总排序(CR = 0.0000)表C1C2C3C4C5C6C7C80.07140.07140.32140.10710.32140.10710.34113411 D层次总排序(CR = 0.0000)D1D20.65920.3408
15、 总排序的C.R.0.1，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的注：总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层（最上层）的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法，逐层合成。很明显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第k-1层m个元素相对于总目标的权重w(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),wm(k-1)T，第k层n个元素对于上一层（第k层）第j个元素的单排序权重是pj(k)=(p1j(k),p2j(k),pnj(k)T，其中不受j支配的元素的权重为零。令P(k)=(p1(k),p2(k),pn(k),表示第k层元素对第k-1层个元素的排序，则第k层元素对于总目标的总排序为：
16、w(k)=(w1(k),w2(k),wn(k)T= p(k) w(k-1)或 I=1,2,n同样，也需要对总排序结果进行一致性检验。假定已经算出针对第k-1层第j个元素为准则的C.I.j(k)、R.I.j(k)和C.R.j(k), j=1,2,m,则第k层的综合检验指标C.I.j(k)=（C.I.1(k) ,C.I.2(k) , C.I.m(k)）w(k-1)R.I.j(k)=（R.I.1(k) ,R.I.2(k) , R.I.m(k)）w(k-1)当C.R.(k)0.1时，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的。我们选择8个点，并用层次分析法找到每两点的最优路线，用百度地图测出每两点之间所选最
17、优路径的路程如下：单位：公里。琶洲广州塔大元帅府海心沙沙面天河体育中心越秀公园市政府琶洲0510.27.618.68.415.215.5广州塔505.64.310.26.613.69.6大元帅府10.25.606.84.79.55.64.2海心沙7.64.36.809.54.712.18.6沙面18.610.24.79.5012.46.55.1天河体育中心8.46.69.54.712.4087.2越秀公园15.213.65.612.16.5803.5市政府15.59.64.28.65.17.23.50（3）、给定两点间最好路径的每公里的权重：上面已经确定了两两之间的最优路径，现在给定每条路线单
18、位权重Bij的规则:1、由于同一点的距离为零，可设自身到自身的权重为0；2、沿江路有利于展示城市的自然景观，也有利于选手的发挥，路线是沿江路设定为5分而路线是城市中的非沿江路设定为4分；如果沿江路与非沿江路的混合路线给4.5分；3、立交桥地段多为交通繁华路段与线路复杂地段，不利于选手发挥与不打扰市民生活的相违背，故路中每有一座桥或一座立交桥设定为减1分；4、由于基本假设中有：为更多的看到广州风光，假设不能在所选的两点之间往返的跑动，所以设定若a、b之间的路线与a、c之间的路线重复，且a、b之间的路线包含a、c之间的路线，则令a、b之间路线的单位权重取为0。按上述给定标准得出的每条路之间的单位权
19、重如下：按上述给定标准得出的每条路之间的单位权重如下：琶洲广州塔大元帅府海心沙沙面天河体育中心越秀公园市政府琶洲05030200广州塔5053.50323.5大元帅府0504.54333海心沙33.54.505411沙面00450444天河体育中心23344043越秀公园02314404市政府03.5314340问题二：（1）、基础要求马拉松赛道42.195公里的长度，而海珠环岛路长度为42.2公里，要作非常细微的路线调整就能保证完全符合赛道长度要求。海珠环岛路作为一条滨江道路，设计施工时就是力求平缓，所以它在平均起伏坡度上是满足赛道要求的。而且环岛一周，起止点重合，也符合起止点高落差的要求。
20、综上，海珠区环岛路完全可以符合赛道的基本要求。所以海珠环岛路是满足第一题的模型假设的（2）、取点: 由于海珠环岛路整个是一个环形的马拉松赛道，他自己形成了一个固定的范围，而且在海珠环岛路的特殊的线路条件，赛道的路线选择是固定的，整个过程是单向的，完全不用考虑折回等情况。所以每两个点最优路线线确定，每一点都只能与它前继点和后继点相连。（3）、应用第一题的模型有假设选择n个点，给这些点从1-n编号，通过层次分析法得出I,j两点之间的最优路程是Aij，给出每公里的权重是Bij，设0-1变量为Xij。线性规划可以表示如下：Max z=42 约束总路程数不超过比赛要求=1 i=1,2,n 从每个点只到达
21、其中一个点=1 j=1,2,n 每个点只能从一个点到达Xij+Xji191.9,据此可以判断建成的海珠环岛路可以作为理想的赛道。问题三：七、计算机求解：Lingo程序：model:sets:sm/1.8/;sn/1.8/:c;link(sm,sn):A,B,X;endsetsdata:A=0 5 10.2 7.6 18.6 8.4 15.2 15.55 0 5.6 4.3 10.2 6.6 13.6 9.6 10.2 5.6 0 6.8 4.7 9.5 5.6 4.27.6 4.3 6.8 0 9.5 4.7 12.1 8.618.6 10.2 4.7 9.5 0 12.4 6.5 5.18.
22、4 6.6 9.5 4.7 12.4 0 8 7.215.2 13.6 5.6 12.1 6.5 8 0 3.515.5 9.6 4.2 8.6 5.1 7.2 3.5 0;B=0 5 0 3 0 2 0 05 0 5 3.5 0 3 2 3.50 5 0 4.5 4 3 3 33 3.5 4.4 0 5 4 1 10 0 4 5 0 4 4 42 3 3 4 4 0 4 30 2 3 1 4 4 0 40 3.5 3 1 4 4 4 0;enddataobjmax=sum(link(i,j):A(i,j)*B(i,j)*X(i,j);sum(link(i,j):A(i,j)*X(i,j)=4
23、2.195; !改变路程数来确定全程，半程和5公里的最优解;for(sn(j): sum(sm(i):X(i,j)=1);for(sn(i): sum(sm(j):X(i,j)=1);for(sn(i): for(sm(j): X(i,j)+X(j,i)=1););for(sn(i): for(sm(j): gin(X(i,j););end X(i,j)+X(j,i)沙面-越秀公园-天河体育中心考虑半程马拉松算出来的结果是：X21=X32=X54=1，其余0-1变量为0；路线是：琶洲-广州塔-大元帅府 ; 海心沙-沙面考虑到路线的连续性与起点的统一性，我们把半程马拉松路线确定为：琶洲-广州塔-
24、大元帅府-海心沙。考虑5公里赛算出的结果是：X21=1，其余0-1变量为0；路线是：琶洲广州塔。结果是：全程：琶洲广州塔大元帅府海心沙沙面越秀公园天河体育中心半程：琶洲广州塔大元帅府海心沙5公里：琶洲广州塔全程马拉松的路程和为41.4公里，半程马拉松的路程和为17.4公里，5公里马拉松正好合适。全程马拉松的路程与42.192差不多，考虑到误差我们认为刚好满足条件，而且琶洲到天河体育中心的直线距离也小于21公里；半程马拉松要求21.0975公里，还差3.6975公里，可以在到达海心沙后向北沿江跑一段再折回海心沙完成路程。 马拉松实际路线图最终的结果是：全程：琶洲广州塔大元帅府海心沙沙面越秀公园天
25、河体育中心半程：琶洲广州塔大元帅府海心沙（沿江路线）海心沙5公里：琶洲广州塔第二题：海珠区环岛路将于2015年全部建成通车，从有关部门公布的数据获悉，环岛路刚好一个“马拉松”赛程长度42.2公里，已经建好的包括滨江路、阅江路和南洲路的部分；在建路段包括马涌沙渡路段，华南快速干线三围油库段，石岗路大干围段；立项路段为三围油库科韵路段、洲头咀马涌段；未建路段为科韵路琶洲大桥段、广州大桥艺苑北路段、沙渡路石岗路段以及大干围南洲路段。从以上资料可以看出，环岛路与多条市内道路都有关联，交通便利缓解市内道路行车压力的作用自然不言而喻。而我们重点讨论这条环岛路用来作为马拉松比赛赛道是不是可行。下面参照国际马
26、拉松赛道要求展开讨论。一、模型分析：由前面的模型分析知道环海珠岛的路径是最优路径；二、道路美化据了解，广州为迎亚运主要的主干道和风光名胜点都要装扮一新。当然海珠环岛路已建成的道路也不例外。据海珠区建设和市政局局长皮文军介绍，目前滨江路有3个整饰方案，包括欧式风格、现代风格和坡屋面风格；欧式风格是为临江一面的旧居民楼窗户加上窗框点缀，辅以线条轮廓简单精致；而现代式则主要保留目前的建筑风格，翻新墙面为主，；坡屋面风格则基本沿用以前“穿衣戴帽”的思路，以红色顶盖为主，配合南方多雨天气增加老房子的隔热防水功能，且美观。可见因为亚会回的关系，海珠环岛路已经做了一部分的整饰，让道路更加美观。在后期的施工中
27、，可以延续这种整饰工程，征集各方面的意见和方案，对于道路两旁的建筑样式和色彩、道路的绿化带车道人行道甚至江边岸堤进行多样化多层次的设计和美化，充分发掘环岛路的美学价值，让行人在路上也不会感到枯燥无味。这当然也能够吸引马拉松运动员的兴趣，让他们在美观的道路上愉悦地进行比赛。三、交通路网海珠环岛路与岛内沟通的道路众多，能够便捷地到达岛内的医疗机构等服务点，出现紧急情况有关部门也能及时迅速地作出反应，为马拉松比赛的顺利进行和运动员的安全和健康提供了优质的保障。另外，岛内对岛外的连接道路基本以桥梁为主，环岛路若作为比赛道路而需要暂时封闭一些路段，对岛内和岛外之间的交通影响不大。道路便捷也有利于周边居民
28、观看比赛为运动员加油，使比赛气氛更好。四、人文景观海珠环岛路是一条新建的道路，路途中经过的广州传统文化景点并不多，在展示广州悠久文化历史和丰富的人文景观方面比较欠缺，这点是不可否认的。但是广州近十几年来发展最迅速、现代化程度最高的地域大都集中在珠江沿岸。广州塔、琶洲国际会展中心、海心沙广场等著名景点都分布在环岛路周边，所以环岛路可以突出地展现广州作为全国一线城市之一的发展成果。对于传统人文景观不足的缺点，也可以在道路两旁的建筑中融入传统的岭南特色，补充广东文化要素。另外值得一提的是环岛路会经过万亩果园、瀛洲生态公园等生态景点，市政府也正在大力开发建设这些地区，使这些景点成为世界级的旅游圣地，当
29、然也为环岛路作为赛道增添了不少自然风光。综合上述的讨论，海珠环岛路作为广州的马拉松赛道的不二选择真可谓是实至名归，无论是从各方面来说环岛路对于室内其他道路都具有不可比拟的优势。希望市政在海珠环岛路设计施工过程中能够侧重考虑环岛路作为马拉松赛道的各项目标，使海珠环岛路成为一条世界著名的马拉松比赛赛道。第三题：给广州市体育局的合理建议。（1）不能远离广州的城市区域较远，虽然远离城市有利于减低对交通影响，但却失去了带动市民健身锻炼的作用，结合模型来说，远离城市的对交通的影响方面的权重会有所下降，道路条件有所加分，但是失去了展示城市风貌的权重加成，远离城市同时也远离了沿江路段，使得赛道多为非沿江路段，
30、而广州的沿江路又集合了体现城市风貌的诸多地点，而且沿江路宽阔、环境优美，使得远离城市的权重的得分很难比得上在市内选赛道。同时，如果能够在城市中有一个马拉松运动的环境，产生的影响力可想而知，还可以把全民健身的活动从低层次引入走向高层次的发展，也引入的一个城市的文化和精神。同时会形成群众性体育锻炼的基础。 （2）尽量避开繁华路段，从体育运动的要求来讲，马拉松运动员穿过过于繁华的商业街道或马路，是不利于运动员的发挥的，因为人烟过于密集，会导致空气质量变差，影响运动员发挥，而且不利于医疗点的设置。结合模型来说，繁华路段是一个减分因素，穿过的繁华路段越多，减的分越多，道路的权重也会随之下降，导致最后的得分减少。（3）、避开立交桥或天桥、大桥等，根据马拉松的国际标准，要求减少上下坡的个数，而且路线的高度差不能太大，而城市的天桥、立交等大多都是落差很大的，穿过落差太大的区域，不利于运动员的发挥，而且城市的桥梁一般较窄，没有缓冲路段和延伸路段，难以安置医疗点，所以应尽量避开桥梁。结合模型来说，桥梁是一个减分因素，路段上的桥梁数目越多，减的分越多，道路的权重也会随之下降，导致最后的得分减少，道路的最优性下降。九、模型改进：十、参考资料：1 姜启源，谢金星，邢文训，张立平.大学数学实验.第二版.北京：清华大学出版社，2010 2 林建良.广州：华南理工大学出版社，2006
