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1、以“问题”引路，用“思想”掌舵 一节“翻折中的数学”专题复习课的体会 【背景】复习课怎么上？如何上才能达到效率最高，如何上才能使学生在已学知识的基础上找到新的生成点和发展点？为了摆脱复习课流于形式，更为了摆脱目前为上复习课而上复习课的这种弊端，让复习课的效率达到最优化，是我们数学老师一直都在思考与研究的问题。根据这个现状，我设计了一堂“翻折中的数学”专题复习研讨课。本课在矩形折叠中，选取“对角线为折痕”这个背景图出发，在教师一连串问题的引领下，通过原载体的折叠问题，让学生回顾三角形全等判定，等腰三角形判定，角平分线的性质，勾股定理的运用，直线解析式的求法等知识，再转化到求边长、面积、周长、点的
2、坐标，最后回归到热门的动点问题。整节课中渗透方程思想方法、分类讨论思想方法，以“问题”引路，用“思想”掌舵，起点低，落点高，很好地开阔了学生的思维，体现了“轻负高效，智慧课堂”的数学教学。现将整节课的课堂实录呈现如下。一、 教学过程设计1、动手操作，引入课题师：给你一张矩形纸片，任意折叠一次，你可以得到哪些图形？生：用手上的长方形纸片进行操作折叠（用实际操作调动学生的积极性，学生操作后教师PPT展示几种常见的折叠结果）师：通过折叠，同学们得到了很多种结果，老师选取了其中的 图1几种情况。下面我们就着重来研究以对角线为折痕的这种情形（如图1），沿对角线BD把矩形进行折叠，你能得到哪些直接的结论？
3、生1：相等的线段有：AB=CD=ED，BE=BC=AD。生2：相等的角有：A=ABC=C=ADC=E，EBD=CBD，EDB=CDB，AFB=EFD。生3：ABD、DCB、DEB全等（学生不难答出直接的结论，有相等的线段和相等的角，还有全等的三角形，答不完全的由其他同学补充）师：那间接的结论还有哪些？小组里讨论合作完成。（相对直接结论而言，间接结论难度增加，因为涉及三角形全等和等腰三角形的判定，并且学生独立完成时很难找全所有结论，所以让学生小组里讨论完成。给足学生时间讨论后请小组展示并说明理由。）生：ABF=EDF，因为等角的余角相等；ABF全等于EDF，因为A=E=900，AFB=EFD，A
4、B=ED，根据AAS，ABF全等于EDF；因为ABF全等于EDF，所以BF=DF，AF=EF，所以BDF是等腰三角形。（如有回答小组找的不全面，可以由其他小组补充）师：同学们说的都很好，那说明BDF是等腰三角形还有其它方法吗？生：有，由折叠可知EBD=CBD，因为AD/BC，所以ADB=CBD，所以FBD=FDB，则可得BDF是等腰三角形。（注重一题多解，判定一个三角形为等腰三角形，可以通过证明两条边相等也可以通过证明两个内角相等。）师：就这么简单的一次折叠，我们却折出了很多知识和结论。那你觉得折叠的本质是什么？生：图形的轴对称变换。师：答得很厉害！折叠的本质是图形的轴对称变换，利用轴对称变换
5、得到对应的角相等、对应的线段相等、对应的图形全等。（PPT出示折叠问题的小结，方法的总结有助于学生知识的生成）2、 提出问题，变式探究师：现在老师给这个矩形加上条件：在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm.将BCD沿着BD折叠，得到BDE，BE与AD交于F点.你又能求出哪些量？(在刚才原背景的前提下让学生进行求线段的长度，三角形的周长和面积）生1：我可以求线段AF和EF，BF和DF的长度。设AF=EF=x，则可得BF=DF=8-x,在RtABF中AF2+AB2=BF2，则x2+42=（8-x）2，利用勾股定理求解。生2：求出AF和EF，BF和DF的长度后，BDF、ABF、DEF的周长和面
6、积就都可以求出来了。（在此让学生复习了勾股定理，在折叠的问题中与勾股定理结合利用方程的思想方法是常见的。）师：这样我们又可以把折叠的问题和勾股定理联系在一起了，说明知识点之间不是孤立的，而是相互联系的。那如果现在老师给图形加一个如图的平面直角坐标系，那你又可以提出什么问题？（让学生自己提出问题，然后解答，这样可以让学生的思维活跃起来。）生：点E、点F的坐标是多少？师：这个问题提的好，也难到老师了，下面同学们能帮老师解决吗？可以借助小组的力量，看哪个小组快一些？（小组合作交流，教师选最快的一个小组代表发言）生1：由前面可以很快的得出点F的坐标是（3，4），作EG垂直BF于点G，利用等积法可以求出
7、EG的长度，再利用勾股定理求FG的长度，这样点E的坐标就可以求出了。师：说得很好，他们小组是用等积法求的，还有不同的方法吗？生2：我们组是用直线解析式的方法求点E的坐标。知道点B和点F的坐标后，可以求出BE所在直线解析式，然后设点E的坐标为（x，），作EH垂直BC于点H，在RtBEH中EH2+BH2=BE2，则x2+2=82，也可以求得点E的坐标。生3：求出直线BE解析式设点E的坐标为（x，）后，还可以后两点之间的距离公式求x的值。（注重学生一题多解的方法，体会方程思想方法）师：一个小小的点的坐标可以让我们想出这么多的方法，说明同学们脑子转的很快。所以我们平时在练习中可以多去思考题目的解法以及
8、总结思想方法。既然我们会用多种方法求点E的坐标，那下面老师就又要出问题了：你能否在平面直角坐标中找到一点P，使得ABD与BDP全等，求出P点的坐标.（运用分类讨论思想方法学生不难找出点A、E、C这三个符合题意的点，求第四个点P所在的位置学生难找出，应引导他们先作出图形，求法就如同点E的坐标方法即可。）生1：（黑板上作图）生2：求P的坐标和求点E坐标方法一样。3、 课堂小结，提炼方法师：关于折叠，实质上：折叠=一个本质+一个定理+两个思想方法，利用轴对称变换的本质，利用勾股定理结合方程思想方法和分类讨论思想方法。通过这节课的学习，希望我们又得到了很大的提升。4、 拓展探究，能力提升师：下面我们再
9、来挑战下自己，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm。还是把原来的矩形沿着对角线折叠，但是此时有一个动点P，从B点出发，沿着BD移动，P到BE的距离为PG，P到AD的距离为PH，求PG+PH的长度.（动点问题是近几年中考中的热门问题。此题有一定的难度，用角平分线的性质定理说明点P到BE和BC的距离PG、PQ相等，再说明H、P、Q三个点在统一直线上，HQ的长度即为PG+PH的长度。此题让个别学有余力的学生掌握即可。）二、 课后反思（一） 自我肯定的地方1、 低起点、高落点在本节课中先让学生动手随意去折叠矩形，选取“对角线为折痕”这个背景图除法，让学生回顾了三角形全等、等腰三角形的判定，以及
10、过股定理、直线解析式、角平分线性质等知识。注重基础知识的落实，注重知识点之间的联系，让学生明白知识点之间是相互联系而不是孤立的。经历了从原背景图的折叠问题再到求边长、面积、点的坐标，从中又灌输了方程思想方法、分类讨论思想方法，最后到动点的问题。整节课以“问题”引路，用“思想”掌舵，起点低，而落点高。2、 深挖掘、时提炼这节课虽然是一节复习课，但是不拘泥于就题解题，而是将一道看似简单的几何图形题进行深度挖掘，将其与函数相结合，有机地捕获学生知识的生长点。在活动的基础上进行探究归纳总结数学思想方法。只有老师站得高，看得远，学生才能走得好，走得远！3、 巧提问、促生成一节课的成功是否和老师的精心预设
11、，巧妙提问是分不开的。“问题是数学的心脏”。个人觉得这节课的问题指向明确，“从图形中，你能得出哪些结论？”“你能求出哪些量？”“你会提出什么问题？”让学生的思维一直处于打开状态，数学是思维的体操，老师的提问注重学生多元化思维的发展。如：在学生求点E坐标时，学生习惯性用等积法求，就接着追问还有不同的方法吗？这些都注重了学生思维的开阔，让他们已知处于思考的状态。（二）不足与改进1、小组合作有效性的思考一节课是不是一定要有小组合作，合作的目的是什么？在这节课中，就是小组合作这个环节效率不高，有的学生自己就能独立完成，而有的学生通过讨论后还是无法巩固。导致讨论中有些学生没有参与其中，任何组织有效的合作，这是以后需要思考的一个方面。2、问题深入性的思考这节课中虽然都以学生为主导，但是在个环节中可以再深入一些。比如让学生提问的时候，可以让学生提的问题多一些，教师的一定行为还是限制了学生的思考。在折叠的问题中，只涉及了一次折叠，如果深入探究可以加入二次折叠继续让学生探究，这样对老师问题的设问就会有更高的要求。参考文献：1. 章建跃.数学课堂教学设计研究【J】.数学通报，2006（7）2. 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）【M】.北京师范大学出版社5
