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1、1,小学数学专业基础知识培训,2013年5月,2,教师专业知识结构的内容分类,教师专业知识,本体性知识条件性知识实践性知识,学科知识教育理论教学经验,3,“要给学生一杯水，教师就要有一桶水”（桶论）“活水论”教师要有丰厚的知识底蕴,4,从一年级下册到六年级下册，人教版课标教材在每一册的最后一个单元都编排了“数学广角”。跟以往义务教育教材相比，这部分内容是新增加的，这是新课标教材的一大亮点。,5,整套教材“数学广角”的编排,6,基本类型,植树问题行程问题鸡兔同笼问题抽屉原理称球问题,求平均数问题统筹问题立体图形逻辑推理,7,鸡兔同笼问题,8,“鸡兔同笼”是古代著名的数学趣题,解决策略:（1）列表
2、法（2）假设法（3）方程法（4）二元一次方程组（初中八年级）,9,例 鸡兔同笼，共有8个头，26只脚。笼中鸡兔各有多少只？列表法,10,鸡兔同笼问题假设法,例1：今有鸡、兔共居一笼，已知头共35个，脚共94只。问鸡、兔各有多少只？分析与解答：鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。解法一假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是235=70只，与实际相比，减少了9470=24只。减少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少42=2只脚。所以兔有242=12只，鸡有3512=23只。解法二假设全是兔，那么相应的脚的总数应是
3、435=140只，与实际相比，增加了14094=46只。增加的原因是把一只鸡当作一只兔时，要增加42=2只脚。所以鸡有462=23只，兔有3523=12只。答：鸡有23只，兔子有12只。,11,小结,运用假设法的思路解应用题，先要根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等；其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整。概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是：鸡数（每只兔脚数鸡兔总数实际脚数）（每只兔子脚数每只鸡的脚数）兔数鸡兔总数鸡数,12,方程法,例 鸡兔同笼，共有8个头，26只脚。笼中鸡兔各有多少只？解：设有X只兔，那么就有（8-X）只鸡。鸡
4、兔共有26只脚，就是：4X+2(8-X)=26 2X+16=26 X=5 8-5=3(只）,13,列方程组,例 鸡兔同笼，共有8个头，26只脚。笼中鸡兔各有多少只？解：设有X只兔，有Y只鸡。则 X+Y=8 4X+2Y=26 解方程组得X=5,Y=3,14,相关习题,面值是2元、5元的人民币共27张，合计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？分析与解答：这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是227=54元，与实际相比减少了9954=45元，减少的原因是每把一张面值5元的人民币当作一张面值2元的人民币，要减少52=3元，所以，面值是5元的人民币有453=1
5、5张，面值2元的人民币有2715=12张。,15,相关习题,50名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每条大船坐6人，每条小船坐4人。问大船和小船各几只？小明参加猜谜比赛，共20道题，规定猜对一道得5分，猜错一道倒扣3分（不猜按错算）。小明共得60分，他猜对了几道？,16,逻辑推理问题,17,解题策略,解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法、图表法。,18,简单推理,例1 小兰、小梅、小青三人进行跑步比赛，赛后小兰说：“我不是第二名。”小梅说：“我不是第一名。”小青说：“我前面没有人。”分析：我们可以用填表的方法找答案，具体方法如下：,19,简单推理,例2：有一个正方体，每个面分别写上
6、汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？分析与解答：如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字。(排除法）从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。,20,例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃。”丙说：“
7、是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？分析与解答：由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是甲打碎的。如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。,21,推理问题一般可以从以下几方面考虑：1，选准突破口，分析时综合几个
8、条件进行判断；2，根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；3，对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；4，遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。,22,抽屉原理,23,抽屉原理,专题简析：把12个苹果放到11个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中放有两个或两个以上苹果，这个事实的正确性是非常明显的。把它进一步推广，就可以得到数学里重要的抽屉原理。用抽屉原理解决问题，一定要注意哪些是“抽屉”，哪些是“苹果”，并且要应用所学的数学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分复杂，甚至无从下手的题目才能顺利地解答。
9、,24,抽屉原理,例题1 敬老院买来许多苹果、橘子和梨，每位老人任意选两个，那么，至少应有几位老人才能保证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？思路导航：根据抽屉原理，要保证必有两个或两个以上的苹果放在同一抽屉中，苹果总数至少要比抽屉数多1。这里，我们可以把敬老院老人人数看作抽屉原理中的苹果数，关键是看抽屉数了。因为三种水果任选两个的搭配有：苹果苹果；苹果橘子；苹果梨；橘子橘子；橘子梨；梨梨共6种，所以，既然有6个抽屉，必须至少有7个苹果才能保证两个或两个以上的苹果放在同一抽屉里，即至少要7位老人。,25,抽屉原理,例题2 幼儿园大班有41个小朋友，老师至少拿几件玩具随便分给大家，才能保证至少
10、有一个小朋友能得两件玩具？思路导航：41个小朋友相当于41个抽屉，玩具的件数相当于苹果。根据抽屉原理，玩具的件数应比41多1，所以至少要拿42件玩具。,26,抽屉原理,例题3 盒子里混装着5个白色球和4个红色球，要想保证一次能拿出两个同颜色的球，至少要拿出多少个球？思路导航：如果每次拿2个球会有三种情况：（1）一个白球，一个红球；（2）两个白球；（3）两个红球。不能保证一次能拿出两个同颜色的球。如果每次拿3个球会有四种情况：（1）一个白球，两个红球；（2）一个红球，两个白球；（3）三个白球；（4）三个红球。这样每次都能保证拿出两个同颜色的球，所以至少要拿出3个球。,27,例题4 一个布袋里装有
11、红、黄、蓝袜子各5只，问一次至少取出多少只，才能保证每种颜色至少有一只？思路导航：我们从最不利的情况着手，如果先取5只全是红的，那么只有再取5只；如果5只又全是黄的，这时，再取1只一定是蓝的了，这样取521=11只才能保证每种颜色至少有1只。,28,抽屉原理,例题5 三（2）班有50个同学，在学雷锋活动中，每人单独做了些好事，他们共做好事155件。问：是否有人单独做了4件或4件以上的好事？思路导航：根据条件可知：三（2）班有50个同学，假如每个同学做3件好事，那就做了350=150件好事，而他们做的好事是155件，就多做了155150=5件，所以完全可能有一个同学做了4件或4件以上好事。,29
12、,长方体与正方体,30,长方体和正方体,解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1，必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2，依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3，求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。,31,例题1 有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）（1）先求出长方体的体积，856=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了222=8（立方厘米），这个零件的体积是2408=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（858665）2=236
13、（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（22）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（22）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236224=252（平方厘米）。,32,例题2一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中：（1）三个面涂有红色的有几个？（2）二个面涂有红色的有几个？（3）一个面涂有红色的有几个？（4）六个面都没有涂色的有几个？分析 按题中的要求切，切成的小正方体一共有333=27个。（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个；（2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有112=12个；（3）一个面涂有红色的小正方体在大正
14、方体的六个面上，共有16=6个；（4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27（8126）=1个。,33,统筹问题,34,最佳安排,专题简析：我们每天的生活、学习都离不开时间，合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最佳安排。在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。,35,统筹问题,例题1 明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早
15、点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？思路导航：经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示：从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟。,36,统筹问题,（例题2）贴烧饼的时候，第一面需要烤3分钟，第二面需要烤2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？思路导航：先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3分钟后，拿下第一个，并把第二个翻过去，并放上
16、第三个烧饼；过2分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过1分钟把第三个烧饼翻过来；再过1分钟取下第一个烧饼，再过1分钟三个烧饼全贴完了，只用了8分钟。32111=8分钟,37,每次只能烙两张饼,两面都要烙,每面3分钟。,客人、妈妈和我每人一张。,怎样才能尽快吃上饼？,1张,2张,3张,烙1张饼要几分钟呢？,一张一张地烙太费时间了。,可以先烙两张，再烙一张，这样省时间。,6分,烙1张饼要6分钟，烙3张饼要18分钟。,6分,12分？,9分,4张,？分,5张,？分,2,能否渗透“转化”（“化归”）思想 5张2张2张1张 2张3张大于3的整数都能写成几个2或几个2与一个3的和,继续试探,找出规律,38,平均
17、数问题,39,平均数问题,专题简析：在日常生活中，我们会遇到下面的问题：有几个杯子，里面的水有多有少，为了使杯中水一样多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们所讲的“移多补少”，通常称之为平均数问题。解答平均数应用题关键是要求出总数量和总份数，然后再根据“总数量总份数=平均数”这个数量关系式来解答。,40,新增两个概念,中位数：n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。如一组数据1.5，1.5，1.65，1.6，1.7，1.7，1.7
18、5，1.8的中位数是(1.65+1.7)2,即1.675；这组数据的众数是1.5和1.7,41,（例1）某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数原来是多少？分析：原来三个数的和是23=6，后来三个数的和是33=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4。因此，原来的数应该是43=1。,42,（例2）五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.791.5=0.2（分）。9里面包含有几个
19、0.2，五一班就有几名同学。,43,行程问题,44,行程问题,专题简析：我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题、相背问题和追及问题。解答行程问题时，要理清路程、速度和时间之间的关系，紧扣基本数关系“路程=速度时间”来思考，对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动结果。,45,例1：王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米。如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去；遇到王欣后再回头向陆亮跑去。这样不断来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？分析与解答
20、：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的时间。根据题意可知，狗的速度是每分钟行500米，关键是要求出狗所行的时间，根据题意可知：狗与主人是同时行走的，狗不断来回所行的时间就是王欣和陆亮同时出发到两人相遇的时间，即2000（11090）=10分钟。所以狗共行了50010=5000米。,46,例2：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米。如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？分析与解答：这是一道封闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑，方向一致。因此，当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程差是4
21、00米。根据“路程差速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400（290270）=20分钟。,47,例3 一列火车长180米，每秒钟行25米。全车通过一条120米的山洞，需要多长时间？分析 由于火车长180米，我们以车头为准，当车进入山洞行120米，虽然车头出山洞，但180米的车身仍在山洞里。因此，火车必须再行180米，才能全部通过山洞。即火车共要行180120=300米，需要30025=12秒。,48,称球问题（找次品）,49,称球问题,称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。,50,经典例题例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一
22、堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。,51,例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其
23、中较轻的那一堆。第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。,52,植树问题,53,植树问题,专题简析：1线段上的植树问题可以分为以下三种情形：（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=段数1；（2）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：棵数=段数；（3）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少1，即：棵数=段数1。2在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，即：棵数=段数。,54,例1：城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长多少米？分析与解答：题
24、中已知栽树28棵，28棵树之间有281=27段，每隔6米为一段，所以这条大路长627=162米。,55,例2：在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？分析与解答：这道题是封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等。2405=48（棵）,56,例3：一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？分析与解答：根据题意，把长191=18米的木条锯了5次，可以锯成51=6段，所以每根短木条长186=3米。,57,例4：有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10需要多少秒？分析与解答：把每一层楼所需要的时间看作一个间隔，1层至3层有两个时间间隔，所以每个间隔用去的时间是30（31）=15秒，3层到10层经过了103=7个时间间隔，所以，他从3层到10层需要157=105秒。,
