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1、弹性力学,课程编号：5040101学 时 数：32适用对象：机械、材料等工科非力学专业硕士研究生上课周次：第1-8周，每周4学时，共8周。上课日期：2015年11月16号2016年01月7号时间、地点：每周一、逸夫楼606（8:009:35）每周四、逸夫楼606（8:009:35）任课教师：杨海波 联系方式：；PW:yhb2012 010-6233-3549,第二章 应力状态,弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一
2、点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。,应力状态分析首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力、最大切应力等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请查阅参考资料。本章的另一个任务是讨论弹性体内一点微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。,第二章 应力状态,研究对象三维弹性体微分单元体入手超静定问题静
3、力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。,目录2.1 体力和面力2.2 应力与应力张量2.3 平衡微分方程2.4 应力状态的描述2.5 应力边界条件2.6 主应力与应力主方向2.7 应力球张量和球应力偏张量,2.1 体力和面力,物体外力分为两类体力 _体积力；电磁力；惯性力；也称质量力。F/LLL 面力_面积力；指分布在物体表面上的外力，如液体压力、接触力等。F/LL 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。,2.1.1 体力,体力 _ F/LLL,方向约定,2.1.2 面力,23,内力物体在外界因素作用下，例如外力
4、，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力称为内力。当物体内部形成的内力厂足以和外力相平衡时，变形不再继续，物体达到稳定平衡状态。应力内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意一点M的内力，利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力F的截面暴露出来，计算微面积S 上内力的平均值称平均应力应力矢量应力pn是矢量，随点的位置和截面的法线方向n的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此凡是应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。,2.2 应力与应力张量,内力外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。附加内力应力应力矢量pn随截
5、面的法线方向n的方向改变而变化,2.2 应力1,应力状态及应力矢量pn的分解,2.2 应力2,应力矢量沿坐标分解正应力和切应力应力矢量沿其作用面的法向和切向分解，称为正应力，称为剪应力。同一点各方位上的应力集合称为一点的应力状态。,2.2 应力3,过物体内部点M的三个彼此垂直的微分面（使之与坐标平面平行）则在这三个微分面上的应力矢量可分别表示为,应力张量,应力分量是标量、箭头仅是说明方向,2.2 应力4,应力张量可以描述一点应力状态,2.3 平衡微分方程,平衡物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一点的平衡。考察微分平行六面体单元 dx,dy,dz，在体力、面力作用下处于平
6、衡。负面、正面（约定）,X轴方向负面上；,X轴方向正面上，因为应力是坐标的连续函数，所以有,2.3 平衡方程1,微分平行六面体单元静力平衡条件:,主矢为零：,主矩为零：,2.3 平衡方程2,2.3 平衡方程3,平衡微分方程,2.3 平衡方程4,2.3 平衡方程5,忽略四阶小量，则有：,考察主矩为零条件：,切应力互等定理,2.3 平衡方程6,2.4 应力状态的描述,应力状态一点所有截面应力矢量的集合。显然，弹性体内某确定点各个截面的应力应力状态必然存在一定的关系。应力状态分析讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。,如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 应力张量可以描述其它应力参数 斜面应力公
7、式；2.坐标变换与应力张量关系 转轴公式。,应力状态对于结构强度是十分重要的。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的应力参数。,2.4 应力状态1,应力矢量与应力分量的关系,2.4 应力状态2,设 面ABC 的外法线n的方向余弦为 l,m,n;三个坐标轴的单位向量分别为 i,j,k;,研究图示四面体的平衡。设四面体除受四个面上的应力作用以外，还受到体积力的作用，以,斜截面上的应力,表示单位体积力的分量。,则四面体所受体积力为,2.4 应力状态3,斜面上所受应力矢量为,2.4 应力状态4,张量表达式：,2.4 应力状态5,公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。
8、当然可以确定正应力s n与切应力t n。,这就是著名的哥西公式，又称为斜面应力公式。它说明；过一点三个互相垂直微分面上的九个应力分量完全确定了该点的应力状态。这样，我们就可以把要了解各点应力状态的问题，简化为去求各点的九个应力分量的问题。,应力矢量不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改变而变化。同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力矢量也不同。讨论应力分量在坐标变换时的变化规律。,2.4 应力状态6,坐标变换的应力分量和应力张量 坐标平动时，n方向无变化，应力分量不变化。转轴公式：,2.4 应力状态7,2.4 应力状态8,2.4 应力状态9,2.4 应力状态10,2.4 应力状态11,通过
9、,三者的轮换，可得到其余六个应力分量；,并可证明,转轴公式,转轴公式又称为应力分量转换公式。它表明：当坐标作转轴变换时，应力分量遵循二阶张量的变换规律。因此从数学上证明了一点的应力状态是一个二阶张量，在坐标转换时具有不变性。即物体内一点的客观受力状态不会因人为地选择参考坐标而改变。通俗地讲，坐标改变后各应力分量都改变了，但九个分量作为一个“整体”，所描述的一点的应力状态是不会改变的。由于 因此应力张量是对称张量。,2.4 应力状态12,应力分量满足张量变化规则应力张量为二阶对称张量转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。应力张量可以确定一点的应力状态。坐标轴转轴后，
10、应力分量发生改变。但是作为整体所描述的应力状态没有变化。,2.4 应力状态13,平面应力状态转轴公式弹性力学以坐标系定义应力分量；材料力学以变形效应定义应力分量。正应力二者定义没有差异而切应力定义方向不同（顺时针为正）,2.4 应力状态14,平面问题转轴公式：,2.4 应力状态15,2.5 边界条件,弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。边界面力已知面力边界Ss,2.5 边界条件1,面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。,2.5 边界条件2,面力边界条件描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是静
11、力学可能的平衡。真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。,2.5 边界条件3,位移边界条件边界位移已知位移边界Su 位移边界条件就是弹性体表面的变形协调弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等,2.5 边界条件4,混合边界条件弹性体边界 SSsSu部分边界位移已知位移边界Su 部分边界面力已知面力边界Ss不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，任意边界的边界条件数必须等于3个。,2.6 主应力与应力主方向,转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律结构强度分析需要简化和有效的参数最大正应力、最大切应力以及方位主应力和主平面应力状态分析重要参数应力不变量进一步探讨应力状态,主应力
12、和主平面,2.6 主应力2,关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即,2.6 主应力3,展开,其中：,主元之和,代数主子式之和,应力张量元素构成的行列式,应力状态特征方程,2.6 主应力4,应力状态特征方程确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。,2.6 主应力5,特征方程有三个实数根s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。对于应力主方向
13、，将s1，s2，s3分别代入,和 l2+m2+n2=1则可求应力主方向。,2.6 主应力6,主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。,特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。,任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。,应力不变量性质,坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。,2.6 主应力7,不变性实数性正交性,主应力正交性证明：,下面证明下述结论：1.若s1s2s3，特征方程无重根；应力主轴必然相互垂直；2.若s1s2s3，特征方程有两重根；s1和s2
14、的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；3.若s1=s2=s3，特征方程有三重根；三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。,2.6 主应力8,设s1，s2，s3 的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则,分别乘以l2，m2，n2,分别乘以-l1,-m1,-n1,六式相加，可得,2.6 主应力9,如果 s1s2s3,3个应力主方向相互垂直,如果 s1=s2s3,可以等于零，也可以不等于零。,s3与s1和s2的方向垂直，而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向。,2.6 主
15、应力10,如果 s1=s2=s3,则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。任何方向都是应力主方向。,因此问题可证。1.若s1s2s3，应力主轴必然相互垂直；2.若s1s2s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直；3.若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。,2.6 主应力11,主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；,2.6 主应力12,应力状态的确定，还需要讨论一点的正应力和切应力之间的变化关系。这里通过讨论任意截面正应力与切应力的关系，建
16、立三向应力圆概念，并且通过应力圆确定一点的最大正应力和切应力。分析中应用任意斜截面上的应力矢量可以通过应力分量的特殊形式主应力表达，也可以分解为正应力和切应力，建立主应力与正应力和切应力的关系。考虑斜截面法线的三个方向余弦，则可以确定一点的正应力、切应力与三个主应力的关系。构造一个以正应力为横轴，切应力为竖轴的应力平面，则一点的正应力和切应力位于应力平面的三个由主应力确定的应力圆之内。,主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；最大切应力的确定。讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势应力圆。最大切应力以及方位的确定。,2.6 主应力13,2.6 主
17、应力14,2.6 主应力15,2.6 主应力16,正应力和切应力分析1应力圆最大切应力方位,2.6 主应力17,2.7 应力球张量和应力偏张量,应力张量的分解应力球量改变单元体体积，应力偏量改变单元体形状。,八面体单元,2.7 应力分解2,以主应力s 1,s 2,s 3 对应的应力主轴作为x1，x2，x3坐标轴建立坐标系，选取与三个应力主轴等倾的八个微分面构成一个单元体，如图所示。,由于单元体的每一个微分面均为等倾面，即其法线与三个坐标轴的夹角相同。设微分面的法线方向余弦为l，m，n，则由于 所以 对于八面体单元各微分面上的应力矢量，我们将其分为正应力s 8 和切应力 t 8 两部分分别讨论。
18、,八面体单元,2.7 应力分解3,1.应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量2.平衡微分方程与切应力互等定理3.面力边界条件4.应力分量的转轴公式5.应力状态特征方程和应力不变量,第二章小结-重点,第二章 作业,1.已知弹性体内部某点的应力分量分别为 试求主应力和最大切应力。2.已知物体内某点的应力分量为 试求该点的主应力和主平面方位角。,3.梯形横截面墙体完全置于水中，如右图所示。已知水的比重为g，试写出墙体横截面边界AA，AB，BB 的面力边界条件。,4.作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如下图所示。根据材料力学结果，该梁横截面的应力分量为,试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。,5.教材弹性与塑性力学简明教程 P27,2-5。6.教材弹性与塑性力学简明教程 P27,2-6。,本章完,
