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1、1一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程,一、第七章要点,1,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,2,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法 令，则 原方程变为,3,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令，则原方程变为,4,2可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法 令，则原方程转变为,5,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法 令，则原方程转变为,6,3二阶线性微分方程的解的结构,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所
2、对应的齐次线性方程有,1)若 是方程的线性无关解，则方程有通解,7,的一个特解,2)若 是方程的特解，则方程有通解,3)若 是方程 的特解，,则 为方程,8,4二阶常系数线性微分方程,1)二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根，则方程的通解为,9,若方程有两个相同的实根，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根，则方程的通,解为,10,2)二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中 是一个与 同次的多项式，而,11,设方程,则方程有特解,其中 是 次的多项式，而,按 是否为特征方程的根而分别取1或0,12,二、例 题 选 讲,解 此方程为一
3、个可分离变量的微分方程分离变量，,因,得,例1 求解方程,13,两边积分，得,即得原方程的通解,14,解 原方程变形后为齐次方程,例2 求解方程，,作变换，则有,15,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,16,即满足初始条件的解为,由初始条件，得，即原方程的解为,17,解 原方程变形为,即,例3 求微分方程 的通解,此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,18,19,分离变量，得,两边积分，得,例4 求解微分方程,解法1 此方程为齐次方程，作代换，则有,20,故方程的通解为,即,由于,21,解法2 方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令，则
4、有,22,例5 求解下列方程,即,方程的解为,1.；2.,解 1.此方程不含变量，故令变换，则方程为,23,即,所以，方程的通解为,24,方程变形为,即有,2.此方程中不含变量，作变换，则,25,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由，得方程的解为 由,26,例6 求下列方程的通解,解 1.特征方程为,解得，由此得到方程的通解,1.；2.；,3.,27,则,2.特征方程为，因而齐次方程的通解为,由于 为单根，故可设方程的特解为,28,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程的通解为,29,代入到原方程，得,3.特征方程为，解得，所以齐次方,程的通解为,注意到 不是特征方程的根，
5、故方程的特解可,设为,30,1一阶微分方程2可降阶的二阶微分方程3二阶线性微分方程的解的结构4二阶常系数线性微分方程,一、第七章要点,31,1一阶微分方程,1)可分离变量的微分方程,解法,类型,2)一阶线性微分方程,类型,解法,32,3)齐次方程,此为变量可分离的微分方程,类型,解法 令，则 原方程变为,33,4)伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令，则原方程变为,34,2可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1)类型,2)类型,方法 令，则原方程转变为,35,新方程是一个一阶微分方程,3)类型,方法 令，则原方程转变为,36,3二阶线性微分方程的解的结构
6、,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,1)若 是方程的线性无关解，则方程有通解,37,的一个特解,2)若 是方程的特解，则方程有通解,3)若 是方程 的特解，,则 为方程,38,4二阶常系数线性微分方程,1)二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根，则方程的通解为,39,若方程有两个相同的实根，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根，则方程的通,解为,40,2)二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,则方程有特解,其中 是一个与 同次的多项式，而,41,设方程,则方程有特解,其中 是 次的多项式，而,按 是否为特征方程的根而分别取1
7、或0,42,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可分离变量的微分方程分离变量，,因,得,例1 求解方程,43,两边积分，得,即得原方程的通解,44,解 原方程变形后为齐次方程,例2 求解方程，,作变换，则有,45,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,46,即满足初始条件的解为,由初始条件，得，即原方程的解为,47,解 原方程变形为,即,例3 求微分方程 的通解,此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,48,49,分离变量，得,两边积分，得,例4 求解微分方程,解法1 此方程为齐次方程，作代换，则有,50,故方程的通解为,即,由于,51,解法2 方程变形为,故方程的通解为,
8、代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令，则有,52,例5 求解下列方程,即,方程的解为,1.；2.,解 1.此方程不含变量，故令变换，则方程为,53,即,所以，方程的通解为,54,方程变形为,即有,2.此方程中不含变量，作变换，则,55,解得,即,分离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由，得方程的解为 由,56,例6 求下列方程的通解,解 1.特征方程为,解得，由此得到方程的通解,1.；2.；,3.,57,则,2.特征方程为，因而齐次方程的通解为,由于 为单根，故可设方程的特解为,58,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程的通解为,59,代入到原方程，得,3.特征方程为，解得，所以齐次方,程的通解为,注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可,设为,60,
