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1、1.1 离散时间信号与系统,数字信号处理基础,1.2 数字滤波器,总结,信号的分类,1.连续时间信号和离散时间信号,2.周期信号和非周期信号,3.确定性信号和随机信号,4.能量信号和功率信号,5.一维信号、多维信号,平稳和非平稳（时变）信号,离散信号(序列)的表示,x(n)=1,1,2,-1,1;n=-1,0,1,2,3,典型离散信号（序列）,1.单位脉冲序列,2.单位阶跃序列,3.矩形序列,4.指数序列,anu(n)：右边指数序列,|a|1序列有界,anu(-n)：左边指数序列,|a|1序列有界,5.复指数序列,6正弦型序列,数字域频率,数字频率与模拟频率的关系,模拟角频率,2)相加与相乘
2、x1(n)+x2(n)c x(n),1)位移（延时）x(n)x(n-N),3)卷积,卷积的计算,y=conv(x,h),离散信号（序列）的基本运算,4)抽取(decimation)x(Dn),5)插值(interpolation)x(n/I),D为正整数,序列 是 的抽取序列,每D个样值抽取一个,序列 是 的插值序列,每两个样值之间插入（I-1）个零值,I为正整数,时域抽取，造成在数字频率域上频谱展宽,时域插值，造成在数字频率域上频谱压缩,选择合适的I和D，就能够任意地改变采样频率fs,一般是先做I倍插值，再做D倍抽取,加防混叠滤波器的抽取器系统,将待抽取序列的频谱限制在 范围内,无论是抽取还
3、是插值，其输入到输出的变换都相当于经过一个线性时变系统!,前置预滤波器,A/D变换器,数字信号处理器,D/A变换器,模拟滤波器,模拟,xa(t),PrF,ADC,DSP,DAC,PoF,模拟,ya(t),离散系统,2.时不变,定义：如Tx(n)=y(n)，则Tx(n-m)=y(n-m),LTI(linear time-invariant),系统性质,1.线性,3.因果性（Causality）,定义:系统n时刻的输出只与n时刻及以前的输入有关,因果的LTI：h(n)=0,n0.,4.稳定性,LTI系统稳定的充分必要条件,有界输入产生有界的输出,系统的描述,1.单位脉冲响应h(n),2.差分方程,
4、输入序列,输出序列,y=conv(x,h),y=filter(b,a,x),3.离散系统的频率响应,magnitude response,phase response,real(),imag(),abs(),angle(),H,w=freqz(b,a),离散系统z域分析,z变换定义及收敛域,收敛域(ROC):R-|z|R+,有限长序列的z变换的收敛域至少是有限z平面,1)有限长序列 z 变换的收敛域,2)因果序列z变换及其收敛域,因果序列仅当|z|a|时其ZT存在，其收敛域是半径为|a|的圆外区域。,3)反因果序列z变换及其收敛域,反因果序列仅当|z|a|时其ZT存在，其收敛域为半径为|a|的
5、圆内区域。,4）双边序列的z变换及其收敛域,双边序列当|a|b|时其z变换存在，收敛域为|a|z|b|的环状区域,当|a|b|时没有公共收敛域，即其z变换不存在！,系统函数H(z)(transfer function,system function),对LTI系统:y(n)=x(n)*h(n),由z变换的性质：Y(z)=X(z)H(z),H(z)称为LTI离散系统的系统函数,当H(z)ROC包含单位圆时,差分方程和系统函数,ak=0(k=1N)时，系统称FIR(finite impulse response),ak不全为零时，系统称为IIR(infinite impulse response)
6、,FIR系统的h(n)有限长，一般采用非递归结构实现,IIR系统的h(n)无限长，只能采用递归型结构实现,有时FIR系统也使用递归结构实现，可以提高计算效率,L点的滑动平均器：,系统的稳定性和H(z),LTI系统稳定的充要条件：,H(z)的收敛域包含单位圆,稳定因果系统,非稳定非因果系统,稳定非因果系统,稳定因果系统的极点必须在单位圆内,利用DFT分析信号的频谱,双音多频信号（DTMF）,频域比时域分析更容易,一、四种信号频谱之间的关系 CFT、FS、DTFT、DFT二、利用DFT分析连续非周期信号频谱 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象三、DFT参数选取,利用DFT分析信号的频谱,连续,离散,非周
7、期,周期,时域 频域,1、傅里叶级数(FS)-连续时间、离散频率,周期函数分解成一系列谐波的线性组合,基频,时域连续、周期,非周期信号对应连续频谱,频域非周期、离散,2、傅里叶变换(FT)-连续时间、连续频谱,时域连续、非周期,频域非周期、连续,3、序列傅里叶变换(DTFT)-离散时间、连续频谱,时域离散、非周期,频域周期、连续,4、离散傅里叶级数(DFS)-离散时间、离散频谱,时域的离散、周期,频域的周期、离散,是2 p的N等分,隐含周期性,取一个周期,取一个周期,问题：,如何利用数字方法分析信号的频谱？,X=fft(x),x=ifft(X),利用DFT分析连续非周期信号的频谱,出现三种现象
8、：混叠、泄漏、栅栏,时域加窗(数据截断)造成频谱泄漏现象,混叠失真,频谱泄漏,栅栏效应,混叠现象、泄漏现象、栅栏现象,1)混叠现象的解决办法:,增大采样频率fs，加抗混滤波器,2）泄漏现象（时域加窗对频谱的影响）,加窗,泄漏现象减轻的方法:,截取更长的数据、不要突然截断，即选择渐变的窗函数,矩形窗,巴特列特窗（三角窗）,汉宁窗（升余弦窗）,海明窗（改进的升余弦窗）,布莱克曼窗（二阶升余弦窗）,凯泽窗,是一个可以自由选择的参数，用于调整主瓣宽度和旁瓣的幅度,3）栅栏现象：,就像通过栅栏看景象.,解决栅栏现象的方法：,频率分辨率,T0信号的实际长度,序列后补零,DFT参数选取,1.,2.,3.,抽
9、样频率:,时间长度:,抽样点数:,END,快速傅里叶变换（FFT）,基2、基4、分裂基算法,WFTA、素因子算法,IIR 数字滤波器,FIR 数字滤波器,理想数字滤波器,IIR数字滤波器设计,这些典型的滤波器各有特点：巴特沃思滤波器:具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器:幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；椭圆滤波器:选择性相对前两种是最好的,在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。,常用模拟原型滤波器有巴特沃思(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器等,利用MATLAB实现,N,Wn=b
10、uttord(Wp,Ws,Rp,Rs),N,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs),N,Wn=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs),N,Wn=ellip(Wp,Ws,Rp,Rs),b,a=cheby1(N,Rp,Wn),b,a=butter(N,Wn),b,a=cheby2(N,Rs,Wn),b,a=ellip(N,Rp,Rs,Wn),一、IIR数字滤波器的直接型结构,直接I型,滤波器需要?个延时单元?,（N+M）,直接II型结构,交换级联子系统,只需?级延迟单元,max(N,M),IIR数字滤波器的直接型结构优缺点,优点：简单直观缺点：1.改变某一个ak 将影响所有的极点2.
11、改变某一个bk 将影响所有的零点3.对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象,对于三阶以上的IIR滤波器，几乎都不采用直接型结构，而是采用级联型、并联型等其它形式的结构,二、IIR数字滤波器的级联型结构,将滤波器系统函数H(z)的分子和分母分解为一阶和二阶实系数因子之乘积的形式,画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们级联,二阶基本节,级联型结构信号流图,基于直接II型的级联型结构,sos,G=zp2sos(z,p,c),z,p,c=tf2zp(b,a),roots(b),IIR数字滤波器的级联型结构优点,优点：1.硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用2.每一个基本节系数变化只影响该子系统的
12、零极点3.对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比直接型低,问题：最优化问题,三、IIR数字滤波器的并联型结构,将滤波器系统函数H(z)展开成部分分式之和，并将子系统仍采用二阶基本节表示,画出各二阶基本节的直接型结构，再将它们并联。,r,p,k=residuez(num,den),num,den=residuez(r,p,k),IIR并联型结构,IIR数字滤波器的并联型结构优缺点,优点：1.运算速度快 2.各基本节的误差互不影响 3.可以单独调整极点的位置缺点:不能向级联型那样直接调整零点,IIR滤波器系数量化中的有限精度问题,例.已知IIR滤波器，其系统函数为,假设该滤波器系数以4比特硬件实
13、现：,0.9,0.2,0.4,0.5分别被量化为：0.875,0.125,0.375,0.5,则，直接型实现时，极点位置变为：0.18,0.695串联型实现时，极点变为：0.375,0.5,级联11，并联10，直接20,零点、极点分布,简单陷波器设计,要求：去掉0.2pi的正弦信号,IIR滤波器实现,y=filter(b,a,x),for(i=0;iM;i+)yn1=yn1+xi*bi;for(j=1;jN;j+)yn2=yn2+yj*aj;yn=yn1-yn2;,数组xi移位x0对应当前时刻输入数据x1对应上一时刻输入数据.,数组yj移位y1对应上一时刻的输出.,直接型,temp=input
14、;for(k=0;kIIR_section;k+)wk0=temp ak1*wk1-ak2*wk2;temp=bk0*wk0+bk1*wk1+bk2*wk2wk2=wk1;wk1=wk0;output=temp;,串联型(子系统用直接II型实现),IIR数字滤波器的优缺点,优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。在相同的过渡带性能下，阶数远比FIR的低！,缺点：相位的非线性，将引起频率的色散；若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本也高。,在对相位要求不敏感的场合，可以选用IIR。而在图像信号处理，数据传输等以波形携带信息的
15、系统中，要求系统具有严格的线性相位,(1)很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位失真。这一特点在宽频带信号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中非常重要；(2)极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题；(3)任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一定 的延时，转为因果序列，所以因果性总是满足；(4)可以使用FFT算法实现过滤信号，从而提高效率。,FIR数字滤波器的特点,缺点：因为没有极点，要获得好的过渡带特性，需要较高的阶数,FIR数字滤波器设计,窗函数设计法频率抽样设计法最优化设计法,b=fir1(N,Wn,filtertype,window),b=fir2(N,f,m,win
16、dow),b=remez(N,f,m)firpm(),N取奇数,阻带衰减只与窗函数形状有关；过渡带宽度既和窗函数形状有关又和N有关，随着N的增大，过渡带变窄,一、FIR数字滤波器的直接型结构,M+1个乘法器，M个延迟器,M阶FIR数字滤波器,二、FIR数字滤波器的级联型结构,将H(z)分解为若干个实系数一阶二阶因子相乘,优点：便于控制零点，可分别控制每个子系统的零点,缺点：所需系数较多，所需乘法较多,三、线性相位FIR数字滤波器结构,奇数个系数,利用线性相位FIR hn的对称特性：hn=hM-n,相同系数的共用乘法器，省略近一半的乘法器,偶数个系数,相同系数的共用乘法器，省略一半的乘法器,四、
17、FIR数字滤波器的快速卷积结构,有两种分段卷积的办法:重叠相加法和重叠保留法,分段卷积法：将x(n)分成点数和h(n)相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用某种方式把它们合在一起，得到总的输出，每段的卷积均采用FFT方法。,FIR滤波器实现,y=filter(b,1,x),y=conv(x,b),type coef_arr is array(0 to 12)of signed(8 downto 0);constant coefs:coef_arr:=(000001100,-0C-12-0.0474-1 111110111,-F7-9-0.0336-2 111101101,-ED-19-0.0
18、762-3 111110101,-F5-11-0.0436-4 000011010,-1A-26-0.1034-5 001001010,-4A-74-0.2887-6 001100000-60-96-0.3736 7 001001010,-4A-74-0.2887-8 000011010,-1A-26-0.1034-9 111110101,-F5-11-0.0436-10 111101101,-ED-19-0.0762-11 111110111,-F7-9-0.0336-12 000001100,-0C-12-0.0474-13);,系数的量化,if rst=0 then for i in 0
19、 to 12 loop shift(i):=(others=0);end loop;result 0);elsif(clkevent and clk=1)then tmp:=sample;acc:=tmp*coefs(0);for i in 11 to 0 loop old:=shift(i);pro:=old*coefs(i+1);acc:=acc+pro;shift(i+1):=shift(i);end loop;shift(0):=sample;result=acc(15 downto 8);end if,改进措施：,线性相位结构并行流水非递归-递归,END,是2 p的N等分,隐含周期性
20、,取一个周期,取一个周期,xa(t),ya(t),x(n),y(n),xa(t),ya(t),IIR数字滤波器：,IIR滤波器最大的优点是可取得非常好的通带与阻带衰减，还可得到准确的通带与阻带的边缘频率，而且滤波时需要的计算量较少。缺点是不具有线性相位，且存在稳定性问题。,FIR数字滤波器：,FIR滤波器的最大优点是可获得严格的线性相位且不存在稳定性问题。缺点是为获得好的通带与阻带衰减，滤波器的阶次往往较大，因此滤波时计算量较大，不易实时实现。,N,Wn=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs),b,a=cheby1(N,Rp,Wn),N,Fo,Ao,W=remezord(F,A,dev,Fs),b=remez(N,Fo,Ao,w),有时估算的阶次N偏小，使设计结果达不到指标要求，所以必须检验设计结果。,y=conv(x,h),y=filter(b,a,x),IIR一般采用级联或并联结构；,FIR一般采用线性相位或快速卷积结构。,
