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1、新人教版九年级上册第二十四章 圆,24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 24.1.2 垂直于弦的直径 24.1.3 弧、弦、圆心角 24.1.4 圆周角24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系 24.2.3 圆与圆的位置关系24.3 正多边形和圆24.4 弧长和扇形面积,24.1.1 圆,圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。十五的满月、圆圆的月饼都象征着圆满、团圆、和谐。古希腊的数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”。,圆是一种基本的几何图形，圆形物体在生活中随处
2、可见。,重点：圆的定义及相关概念难点：相近概念的区别与联系知识点：1、圆的定义 2、圆的相关概念及表示方法 3、相近概念的区别与联系,圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.,感知圆的世界,一石激起千层浪,城市立体交通,天安门广场国庆花坛,乐在其中,圆的世界,一石激起千层浪,同学们，你会画圆吗？,祥子,想一想，动手画圆！,如果没有圆规，你还会画吗？,在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OP叫做半径,以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”,二、圆的概念,1.要确定一个圆,必须确定圆的 _ _和_ _,圆心,半
3、径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.,O,这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“O”.,2.圆是指“圆周”，是曲线，而不是“圆面”。,3.同一个圆的半径处处相等。,小结,确定一个圆的要素,1、圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于,归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合,从画圆的过程可以看出什么呢？,2、到定点的距离等于定长的点都在,O,A,B,C,E,r,r,r,r,r,D,圆的两种定义,动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆,静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r
4、 的点组成的图形,同步练习,1、填空：（1）根据圆的定义，“圆”指的是“”，而不是“圆面”。（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的，半径决定圆的，二者缺一不可。,圆周,位置,大小,观察车轮，你发现了什么？,议一议、说一说,1、车轮为什么做成圆形的？,试想一下，如果车轮不是圆的（比如椭或正方形的），坐车的人会是什么感觉？,议一议、说一说,2、如果车轮做成三角形或正方形的，坐车的人会是什么感觉？,把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳，这就是车轮
5、都做成圆形的数学道路。圆上的点到圆心的距离是一个定值,车轮为什么做成圆形的？,归纳总结,经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径,C,O,A,连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，,与圆有关的概念,弦,B,圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.,以A、B为端点的弧记作 AB，,读作：“圆弧AB”或“弧AB”。,注意：,大于半圆的弧（用三个点表示，如：），叫做优弧；,小于半圆的弧叫做劣弧.如:,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧叫做半圆.,弧,O,B,C,A,1.如图,弧有:_,2.劣弧有：,优弧有：,你知道优弧与劣弧的区别么？,判断：半圆是弧，但弧不一定是半圆.(),
6、它们一样么？,等圆,能够重合的两个圆是等圆。,容易看出：半径相等的两个圆是等圆；,反过来，同圆或等圆的半径相等。,B,O1,A,等弧,在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。,D,O2,F,E,C,同心圆：圆心相同而半径不等的两个圆或多个圆。,同心圆,想一想,判断下列说法的正误：,(1)弦是直径；(),(2)半圆是弧；(),(3)过圆心的线段是直径；(),(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;(),(8)半径相等的两个圆是等圆.(),(4)过圆心的直线是直径；(),(5)半圆是最长的弧；(),(6)直径是最长的弦；(),9、圆中最长的弦长为12cm,则该圆的半径为。,10、下列说法错误的
7、有（）个经过P点的圆有无数个。以P为圆心的圆有无数个。半径为3cm且经过P点的圆有无数个。以P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。A、1 B、2 C、3 D、4,A,6cm,O,B,C,A,11.如图,半径有:_,OA、OB、OC,若AOB=60，则AOB是_ _三角形.,12.如图,弦有:_,AB、BC,AC,在圆中有长度不等的弦，,等边,直径是圆中最长的弦。,13、如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.,练一练,正确答案,1.过圆上一点可以作圆的最长弦有()条.A.1 B.2 C.3 D.无数条2.一点和O上的最近点距离为4cm,最远距离为10cm,
8、则这个圆的半径是_cm.,2、解：本题没有明确告知点的位置，应分点在圆内与圆外两种情况，当点P在O内时，此时PA=4cm，PB=10cm，AB=14cm，因此半径为7cm；当点P在O外时，如图此时PA=4cm，PB=10cm，直线PB过圆心O，直径AB=PB-PA=10-4=6cm，因此半径为3cm,3.如图,图中有_条直径,_条非直径的弦,圆中以A为一个端点的优弧有_条,劣弧又有_条.4.如图,O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线 上，图中弦的条数为_。,1,2,4,4,24,2,求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的圆上。,思考题,已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O
9、。,求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上。,证明：ABCD是矩形,AO=OC；OB=OD；,又AC=BDOA=OB=OC=OD,A、B、C、D在以O为圆心以OA为半径的圆上。矩形四点共圆.,24.1.2 垂直于弦的直径,过已知点A、B作圆，可以作无数个圆,圆心在线段AB的垂直平分线上,各圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？,新课导入,大胆猜想,A,B,什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形,回 顾,线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形,正方形,圆,圆也是轴对称图形吗？,沿着圆的任意一条直径
10、对折，对称轴两边的图形可以完全重合,圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆有哪些对称轴？,O,O,A,B,C,D,E,是轴对称图形,大胆猜想,已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E,下图是轴对称图形吗？,叠合法,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理,CD是直径，AB是弦，CDAB,直径过圆心垂直于弦,平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,垂径定理,将题设与结论调换过来，还成立吗？,这五条进行排列组合，会出现多少个命题？,直径过圆心 平分弦,垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,垂径定理的推论1,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
11、并且平分弦所对的两条弧,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立,O,A,B,M,N,C,D,注意,为什么强调这里的弦不是直径？,直径过圆心 平分弦所对优弧,平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,垂径定理的推论1,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,直径过圆心 平分弦所对的劣弧,平分弦 平分弦所对优弧 垂直于弦,垂径定理的推论1,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,垂直于弦 平分弦,直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两
12、条弧,垂径定理的推论1,已知：AB是弦，CD平分AB，CD AB，求证：CD是直径，ADBD，ACBC,垂直于弦 平分弦所对优弧,直径过圆心 平分弦 平分弦所对的劣弧,垂直于弦 平分弦所对的劣弧,直径过圆心 平分弦 平分弦所对优弧,（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦 平分弦所对优弧,直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦 平分弦所对的劣弧,直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对优弧,平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧,直径过圆心 垂直于弦 平分弦,（6）平分弦
13、所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦,垂径定理的推论2,圆的两条平行弦所夹的弧相等,M,O,A,B,N,C,D,证明：作直径MN垂直于弦AB,ABCD 直径MN也垂直于弦CD,两条弦在圆心的同侧,两条弦在圆心的两侧,垂径定理的推论2有这两种情况：,C,D,A,B,E,作法：,1 连结AB,小练习,A,B,C,D,E,作法：,1 连结AB,3 连结AC,5 点E同理,A,B,C,作AC的垂直平分线,作BC的垂直平分线,这种方法对吗？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线,C,A,B,O,作法：,1 连结AB,3 作AC、BC的垂直平分线,4 三条垂直平分线交于一点O,你能破镜重圆吗？,A,B
14、,C,m,n,O,作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆,作法：,依据：,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理三角形,d+h=r,r,有哪些等量关系？,在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量,你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m,赵州桥主桥拱的半径是多少？,垂径定理的应用,用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R 经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交
15、于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高,解：,AB=37.4，CD=7.2，,OD=OCCD=R7.2,解得 R27.9（m）,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m,OA2=AD2+OD2,课堂小结,1 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,2 垂径定理,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并
16、且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦,3垂径定理的推论,经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,4 解决有关弦的问题,1 判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧（）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧（）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）,随堂练习,2 在O
17、中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,解：,答：O的半径为5cm,3 在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证：四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形,4 在直径是20cm的O中，的度数是60，那么弦AB的弦心距是_,cm,5 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为_,cm,6 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OECD垂足为F，EF=90m求这段弯路的半径
18、,解:连接OC,7 已知在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,解：连结OA过O作OEAB，垂足为E，则OE3cm，AEBE AB8cm AE4cm 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5cm O的半径为5cm,A,E,B,O,8 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点 求证：ACBD,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE AECEBEDE 所以，ACBD,E,圆的性质,圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。,复习回顾
19、,复习回顾,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。,1、发现圆的旋转不变性。2、了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。3、发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会用它们解决有关问题。,学习目标：,4、培养通过动手实践发现问题的能力 渗透“观察分析归纳概括”的数学思想方法,教学重点理解掌握弧、弦、圆心角的关系教学难点弧、弦、圆心角关系的运用,圆心角：我们把顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫做圆心角.,O,一、概念,1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。,如图，将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？,根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆
20、心O旋转到AOB的位置时，显然AOBAOB，半径OA与OA重合，OB与OB重合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，从而点A与A重合，B与B重合,O,A,B,O,A,B,A,B,A,B,二、探究,因此，弧AB与弧AB 重合，AB与AB重合,在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_，所对的弦_；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角_，所对的弧_,弧、弦与圆心角的关系定理,相等,相等,相等,相等,三、定理,知一推二,思考,定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？,温馨提示：由弦相等推出弧相等时，这里弧一般要求都是优弧或劣弧,1
21、.判断下列说法是否正确：（1）相等的圆心角所对的弧相等。（）（2）相等的弧所对的弦相等。（）（3）相等的弦所对的弧相等。（）,小试身手,在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等故错误；,相等的弧不一定是等弧，所对的弦不一定相等；故错误；,在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故错误；,如图，AB、CD是O的两条弦（1）如果AB=CD，那么_，_（2）如果，那么_，_（3）如果AOB=COD，那么_，_（4）如果AB=CD，OEAB于E，OFCD于F，OE与OF相等吗？为什么？,AB=CD,AB=CD,四、巩固,答：OEOF证明：OEAB OF CD ABCD AECF OAOC
22、 RTAOERT COF OEOF,在圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中，有一组量相等，其余各组也相等。,知一推三,证明：,AB=AC,又ACB=60，,AB=BC=CA.,AOBBOCAOC.,A,B,C,O,五、例题,例1 如图，在O中，,ACB=60,求证AOB=BOC=AOC,例2、如图，等边三角形ABC内接于O,连结OA,OB,OC,AOB、COB、AOC分别为多少度？,判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。,若O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？,若等边三角形ABC的边长a,求O的半径为多少？,120,等边三角形,菱形(BD=DC=CO=OB),例3、有一座圆弧形的拱
23、桥，桥下水面宽度7.2m，拱顶高出水平面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由,如图，AB是O 的直径，COD=35，求AOE 的度数,解：,六、练习,七、思考,1.如图，已知AB、CD为O的两条弦，AD=BC,求证AB=CD。,2.如图，已知OA、OB是O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC,提示：证 MOC NOC,证明：连接OC点C是弧AB的中点 AC=BCAOC=BOC（等弧对等角）OA=OB=O的半径 点M、N分别是OA、OB的中点OM=ON=1/2O的半径又
24、OC=OCOMCONC（SAS）MC=NC,3.如图，BC为O的直径，OA是O的半径，弦BEOA,求证：AC=AE,证明：连接OE，BEOA，B=COA，E=AOE，OE=OB，B=E，COA=AOE，AC=AE,4.已知：如图，AOB=90，D、C将 AB三等分，弦AB与半径OD、OC交于点F、E求证：AE=DC=BF,证明：连接AC,BD C和D 是弧AB的三等分点 AC=CD=DB AC=CD=BD(在同圆中相等的弧所对的弦也相等）AOB=90 AOC=30 BOC=60 BAC=30（在同圆中一条弧所对圆周角等于这条弧所对圆心角的一半）OA=OC OCA=（180-AOC）2=75 A
25、EC=AOE+OAE=30+OAE=OAC=75 AC=AE（等腰三角形的两个腰长相等）同理：BD=BF 又AC=CD=BDAE=BF=CD,1、三个元素：圆心角、弦、弧、,归纳：,2、三个相等关系：,(1)圆心角相等,(2)弧相等,(3)弦相等,知一得二,1、如图，已知点O是EPF 的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于A、B和C、D。求证：AB=CD,.,随堂练习,2、已知:如图,A,B,C,D是O上的点，1=2。求证：AC=BD。,证明：1=2，1+BOC=2+BOC，AOC=BOD，AC=BD，AC=BD,3如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=
26、30，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？,3如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？,24.1.4 圆周角,回 忆,1.什么叫圆心角?,顶点在圆心的角,
27、两边与圆相交的角叫圆心角,2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？,在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。,数学中的足球问题,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC,ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,欲知结果如何且听后面分解,探 究,O,A,问题：将圆心角顶点向上移，直至与O相交于点C?观察得到的ACB有什么特征？,C,顶点在圆上,两边都与圆相交,这样的角叫圆周角。,B,问题探讨：,判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。,P,P,P,P,不是,是,不是,不是,顶点不在
28、圆上。,顶点在圆上，两边和圆相交。,两边不和圆相交。,有一边和圆不相交。,如图,观察圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关系?,说说你的想法,并与同伴交流.,1.第一种情况：,圆周角BAC与圆心角BOC的大小关系.,OA=OC,A=C,又 BOC=AC,BOC=2A,圆周角定理的证明,D,证明：由第1种情况得,2.第二种情况：,证明：作射线AO交O于D。,由第1种情况得,D,3.第三种情况：,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等,A,B,C,D,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.,则 D=A
29、,ABCD,A,B,C1,O,C2,C3,归纳总结,A,B,C,O,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC,ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,规律：都相等，都等于圆心角AOC的一半,结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。,1、如图，在O中，ABC=50，则AOC等于（）A、50；B、80；C、90；D、100,D,2、如图，ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则BPC等于（）A、30；B、60；C、90；D、45,B,练习:,练习:,600,B,P,（1）,（2）,1200,350,4、如图，ABC的顶点A、B、C都在O上，
30、C30，AB2，则O的半径是。,解：连接OA、OB,C=30，AOB=60,又OA=OB，AOB是等边三角形,OA=OB=AB=2，即半径为2。,2,练习:,1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.,3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。,2.半圆或直径所对的圆周角等于90 90的圆周角所对的弦是直径,小结:,掷飞镖,你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？,新课导入,你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？,传送带,卷尺,滚铁环,你能猜出其中蕴含的与圆有关的数学知识吗？,24.2.1 点和圆的
31、位置关系,教学目标,【知识与能力】,理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定 理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆 会画三角形的外接圆，熟识相关概念,经历探索点与圆的位置关系的过程，体会数学分类思考的数学思想,【过程与方法】,【情感态度与价值观】,通过本节课的数学，渗透数形结合的思想和运动变化的观点的教育,教学重难点,用数量关系判定点和圆的位置关系,A,B,C,D,E,你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？,观 察,圆外的点,圆内的点,平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？,O的半径为r，点A、B、C、D在圆上，则OA_OB _OC_O
32、D=_,=,=,=,r,点E在圆内，点F在圆外，则OE _r，OF _r,由位置判断距离,点A在圆_，点B在圆_，点C在圆_,内,外,由距离判断位置,O的半径为5，OA=7，OB=5，OC=2，则,上,点P在圆外,点P在圆上,点P在圆内,d r,d=r,d r,点和圆的位置关系,1 A站在教室中央，若要B与A的距离为3m，那么B应站在哪里？有几个位置？请通过画图来说明,小练习,B站在以A为圆心，以3m为半径的圆上任意一点即可 有无数个位置,2 A站在教室中央，若要求与A距离等于3m，B与C距离2m，那么B应站在哪儿？有几个位置？,有两个位置,3 现在要求与A距离3m以外，B与C距离2m以外，那
33、么B应站在哪儿？有几个位置？,B应站在A和C的圆外，有无数个位置,画圆的关键是什么？,确定半径的大小,回 顾,确定圆心,1 过一点可以作几个圆?,A,无数个,点A以外任意一点,这点与点A的距离,2 过两点可以作几个圆？,A,B,无数个,这点到A或B的距离,线段AB的垂直平分线上,3 过不在同一条直线上的三点可以作几个圆?,经过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上,分析,步骤1,经过B、C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上,步骤2,经过A、B、C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置,步骤3,过已知一点可作无数个圆 过已知两点也可作无数个圆 过不在同一条直线上的三点可以作
34、一个圆，并且只能作一个圆,外接圆、外心,经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle),外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter),内接三角形,ABC叫这个圆的内接三角形,不在同一直线上的三个点确定一个圆,为什么要这样强调？经过同一直线的三点能作出一个圆吗？,证明：假设经过同一直线 l 的三个点能作出 一个圆，圆心 为O,则O应在AB的垂直平分线l1上，且O在BC的垂直平分线上l2上，,l1 l,l2 l,所以l1、l2同时垂直于l，,这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，,
35、所以经过同一直线的三点不能作圆,反证法,假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法,经过同一直线的三点不能作出一个圆,命题：,假设：,经过同一直线的三点能作出一个圆,矛盾：,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线,过一点有两条直线垂直于已知直线,定理：,例如：,分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，各三角形与它的外心有什么位置关系？,锐角三角形的外心位于三角形内直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点钝角三角形的外心位于三角形外,课堂小结,点P在圆外,点P在圆上,点P在圆内,d r,d=r,d r,1 点和圆
36、的位置关系,过已知一点可作无数个圆 过已知两点也可作无数个圆 过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆,2 三点定圆,经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫这个圆的内接三角形,外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心,3 外接圆、内接三角形,4 外心,5 反证法,假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法,随堂练习,1 判断下列说法是否正确（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆（）（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形（）（3）经过三点一定可以确定一个圆（）（4）
37、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等（）,2 若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（）A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形,B,3 O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与O的位置关系是：点A在_；点B在_；点C在_,4 O的半径6cm，当OP=6时，点P在_；当OP _时点P在圆内；当OP _ 时，点P不在圆外,圆内,圆上,圆外,圆上,6,6,6 已知AB为O的直径，P为O 上任意一点，则点关于AB的对称点P与O的位置为（）A 在O内 B 在O 外 C 在O 上 D 不能确定,C,5 正方形ABCD的边
38、长为2cm，以A为圆心2cm为半径作A，则点B在A _；点C在A _；点D在A _,上,外,上,7 已知O的面积为9，判断点P与O的位置关系（1）若PO=4.5，则点P在_；（2）若PO=2，则点P在_；（3）若PO=_，则点P在圆上,圆外,圆内,3,则可求出半径为3,8 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，那么是否安全？为什么？,解：点导火索的人非常安全理由如下：导火索燃烧的时间为 180.9=20（s），那么此时在20秒内人跑的路程为206.5=130（m）
39、，因为130120，所以点导火索的人非常安全；答：点导火索的人非常安全,一、复习提问,1、点和圆的位置关系有几种？,2、“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种？,观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的?,a(地平线),你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?,(1),(3),(2),直线和圆的位置关系,（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；这时直线叫做圆的割线.,（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线
40、和圆相切；这时直线叫做圆的切线.唯一的公共点叫做切点.,（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.,1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆公共点的个数),2.用图形表示如下:,.o,.o,相切,相交,.,没有公共点,有一个公共点,有两个公共点,.o,l,相离,快速判断下列各图中直线与圆的位置关系,l,l,.O2,l,l,.,1),2),3),4),相交,相切,相离,直线l与O1相离,直线l与 O2相交,O,(从直线与圆公共点的个数),2、连结直线外一点与直线所有点的线段中,最短的是_,1.直线外一点到这条直线 垂线段的长度叫点到直线 的距离。,垂线段,a,.A,D,知识回顾,1)直线和圆
41、相交,直线与圆的位置关系量化,d r;,d r;,2)直线和圆相切,3)直线和圆相离,d r;,=,你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?,过圆心作直线的垂线段,判定直线与圆的位置关系的方法有_种：,（1）根据定义，由_ 的个数来判断；,（2）由_ 的大小关系来判断。,在实际应用中，常采用第二种方法判定。,两,直线 与圆的公共点,圆心到直线的距离d与半径r,归纳：,r,d,d,d,直线与圆的位置关系判定方法：,无,切线,割线,直线名称,无,切点,交点,公共点名称,d r,d=r,d r,圆心到直线距离 d 与半径 r 关系,0,1,2,公共点个数,相离,相切,相交,直线和圆的位置关
42、系,如图:AOB=30M是OB上的一点,且OM=5 cm 以M为圆心,以r 为半径的圆与 直线OA 有怎样的关系？为什么？（1）r=2 cm;(2)r=4 cm;(3)r=2.5 cm.,5,30,解:过 M 作 MCOA 于 C，在 Rt OMC 中,AOB=30,即圆心 M 到OA的距离 d=2.5 cm.,因此M 和 直线OA 相离.,(3)当 r=2.5cm 时，,因此M 和直线 OA 相切.,(1)当 r=2 cm 时，,(2)当 r=4 cm 时，,因此M 和直线O A 相交.,2.5,有 d r,有 d r,有 d=r，,典型例题,相交,相切,相离,d 5cm,d=5cm,d 5
43、cm,练习,0cm,2,1,0,3.直线和圆有2个交点,则直线和圆_;直线和圆有1个交点,则直线和圆_;直线和圆有没有交点,则直线和圆_;,相交,相切,相离,4、圆的直径是13cm,如果直线与圆心的距离分别是,(1)4.5cm;(2)6.5cm;(3)8cm.那么直线和圆分别是什么位置关系?有几个公共点?,(3)当 d=8cm时,有 d r,因此圆与直线相离,没有公共点,当 r=6.5cm时,有 d=r,因此圆与直线相切,有一个公共点,当 d=4.5cm时,有 d r,因此圆与直线相交,有两个公共点,解:r=6.5cm,设直线与圆心的距离为d,d r,d r,d r,共同回顾,两个,唯一,切线
44、,切点,没有,割线,圆心O到直线的距离为d,直线和圆的位置关系有三种,如图:AB=8是大圆O的弦,大圆半径为R=5,则以O为圆心,半径为3的小圆与A B的位置关系是(),补充练习 引入概念（切线长定理）,A相离 B相切 C相交 D都有可能,O,A,B,5,4,3,B,8,在O中,经过半径OA的外端点A作直线LOA,则圆心O到直线L的距离是多少?_,直线L和O有什么位置关系?_.,思考:,.,O,A,OA,相切,L,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,几何应用:,OAL L是O的切线,.,O,A,L,思考,将上页思考中的问题反过来,如果L是O的切线,切点为A,那么半径OA与直线L
45、是不是一定垂直呢?,一定垂直,.,O,L,A,切线的性质定理:,圆的切线垂直于过切点的半径,证明：命题:如果直线L是O的切线,A为切点求证：OAL反证法：假设L与OA不垂直,作OML,垂足为M,根据“垂线段最短”的性质,有OMOA,这就是说圆心到直线L的距离小于半径,于是L就要与O相交,这与L是O的切线相矛盾.因此 OAL,(M),切线长定理,如图：过O外一点P有两条直线PA、PB与O相切.,A,B,P,O,在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点间的线段的长，叫做切线长.,切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.,平分切点所成的两弧；垂直平
46、分切点所成的弦.,例1 直线AB经过O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是O的切线.,证明:连接OC,OA=OB,CA=CB,OAB是等腰三角形,OC 是底边AB上的中线,OCAB,AB是O的切线,例2,已知，如图，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果 PA=4 cm,PD=2 cm,求半径 OA 的长.,A,O,C,D,P,B,E,解：,(1)OAPA,OBPB,OPAB,(2)OAP OBP,OCAOCB,ACPBCP.,(3)设 OA=x cm
47、,则 PO=PD+x=2+x(cm),在 RtOAP 中，由勾股定理，得,PA 2+OA 2=OP 2,即 4 2+x 2=(x+2)2,解得 x=3 cm,所以，半径 OA 的长为 3 cm.,思考,如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?,I,D,内切圆和内心的定义:,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.,例3、ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.,解:,设AF=x(cm),则AE=x(cm
48、),CD=CE=AC-AE=13-x BD=BF=AB-AF=9-x,由 BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14,解得 x=4,AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).,记忆:,1.RtABC中,C=90,a=3,b=4,则内切圆的半径是_.,1,1.在RtABC中,B=90,A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作D.试说明:AC是D的切线.,E,课堂练习,证明：作DEAC,E点为垂足,AD是BAC的平分线,DBAB,DEAC,DB=DE,DB是D的半径,DE也是D的半径,E点在D上,故AC是D的切线.,2.AB是O的弦,C是O外一点,BC是O的切线,AB交
49、过C点的直径于点D,OACD,试判断BCD的形状,并说明你的理由.,解：连接OBCB是圆O的切线OBC=90OBA=OAB,AOOCOABADO=90,OBAABC=90ABC=ADOADO=CDBABC=CDBDBC是等腰三角形,3.AB是O的直径,AE平分BAC交O于点E,过点E作O的切线交AC于点D,试判断AED的形状,并说明理由.,解：连接OEEOB=EAO+AEO因为AO=EO所以EAO=AEO,EOB=2EAO因为AE平分BAC,所以BAC=2EAO=EOB所以AC/OE因为ED为圆O切线所以OEED所以ADE=OED90所以AED为直角三角形,4.O是边长为2cm的正方形ABCD
50、的内切圆,EF切O 于P点，交AB、BC于E、F，则BEF的周长是_.,E,F,N,M,2cm,解：三角形BEF的周长等于正方形ABCD的边长即2cm.证明如下：设圆O与AB的切点为M、与BC的切点为N.根据“点到圆的两条切线相等”性质知：EM=EP、FN=FP.则EF=EP+FP=EM+FN.故三角形BEF的周长=BE+EF+FB=BE+EM+FN+FB=BM+BN=AB=2(cm).,5.已知:三角形ABC内接于O,过点A作直线EF.(1)图甲,AB为直径,要使得EF是O切线,还需添加的条件(只需写出三种情况)_ _.(2)图乙,AB为非直径的弦,CAE=B.求证:EF是O的 切线.,CA
