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1、a第六讲 向量的线性相关性问题：如何判定线性方程组是有解？ 解的唯一性问题？ 齐次线性方程组是否有非零解？ 第三章 向量的线性相关性与秩 3.1 n维向量及其线性运算 一、n维向量的概念： l 强调：一个向量不是n个数，而是一个点、一个状态，是一个集成化的整体对象。 二、向量的线性运算：定义3.2； l 运算律；与矩阵相同。 三、线性组合与线性表示： 定义3.3 设a1,a2,L,as为一组n维向量，c1,c2,L,cs为一组实数，称c1a1+c2a2+L+csas 为a1,a2,L,as的一个线性组合，称c1,c2,L,cs为组合系数。 若将上述运算结果记为 b=c1a1+c2a2+L+cs
2、as， 则说b可以由a1,a2,L,as线性表示，称c1,c2,L,cs为表示系数。 a1ib1l 如果记ai=M,i=1,2,L,s，b=M，则上式也就是 abnnia1sa11a12b1Mc1+Mc2+L+Mcs=M， aaabn1n2nns按照向量线性运算的法则，便得到一组等式 a11c1+a12c2+L+a1scs=b1LLLLLL， an1c1+an2c2+L+anscs=bn如果c1,c2,L,cs视为变元，上式就是一个一般的ns线性方程组。所以把式称为线性方程组的向量形式。 这就是说，b可以由a1,a2,L,as线性表出与方程组有解是一回事。 3.2 向量的线性相关性 一、线性相
3、关与线性无关： 定义3.4 设a1,a2,L,as为R中的一组向量(s1)，若其中至少有一个向量可以由其余的s-1个向量线性表示，则说它们线性相关；否则的话，就说它们线性无关。 线性无关也就是线性独立。 一组向量线性无关，也就是这组向量中的任一向量都不能由本组中的其余向量通过线性组合来替代，从而都有其独立的地位。 线性无关对应的齐次线性方程组没有非零解。 线性相关对应的齐次线性方程组有非零解。 方程的个数等于向量的维数，未知数的个数是向量的个数。 二、相关性的判定方法： 1. 从定义出发：用矩阵行变换，解齐次方程组； nrl 例 2. 充要条件：判定齐次方程组是否有非零解； 3. 一个向量：a
4、线性无关iffa非零，即aq； 4. 两个向量：a1,； a2线性相关iffa1,a2的分量成比例5. 个数等于维数：利用行列式； 6. 个数大于维数：必相关；n+1个n维向量线性相关。 l 由此可以知道：所有的n维向量中，线性无关的最多只有n个。 三、相关性的性质： 7. 表示关系与相关性： 设向量组a1,a2,L,as线性无关，而向量组a1,a2,L,as,b线性相关, 则b必可以由向量组a1,a2,L,as唯一地线性表示。 8. 扩充定理：部分组相关 全组相关； ； 9. 接长定理： 无关向量组接长后仍无关； “与齐次线性方程组的关系”。等价与在对应方程组增加了一个方程。 10. 分量一
5、致交换不改变相关性。 “与齐次线性方程组的关系”。 四、两个向量组之间的表示关系： 1. 向量组的线性表示：“表示矩阵”； 定义3.5 设有两个同维向量组 : b1,L,bt和 : a1,a2,L,as，如果中的每一个向量都可以由中的向量线性表示，就说向量组可以由表示 b1=k11a1+L+k1sas表达式：LLLLLLL b=ka+L+kat11tsst1. 两向量组的表示关系与向量个数之间的联系： 如果向量组可以由表示，而且ts，那么，向量组线性相关。 未知数个数方程个数，方程组必有非零解。 定理3.8；设有同维行向量组: a1,a2,L,as和: b1,L,bt, 若组线性无关，且组可以
6、由组线性表示，则st。 4. 推论：等价的无关组等量。 如果可以由表示，同时也可以由表示，则说向量组和等价。 二、极大无关组： 1. 极大无关组的定义： 定义3.6 设T为R中的一个向量组，A是它的一个部分组，如果满足： A是T的一个无关部分组；“无关” T中的任一向量添入A都将使A变为相关组；“极大” 则说A是T的一个极大无关组。 2. 极大无关组的性质： 不唯一性 等价性；向量组与它的极大无关组等价。 等量性：一个向量组的极大无关组中向量的个数是唯一的。 由此可知，一个向量组的极大无关组可以不唯一，但最多可以有几个向量线性无关，却是唯一的，这是向量组本身所固有的性质。 三、向量组的秩：等级、档次、排位） 1. 定义： 定义3.7 向量组T的任一极大无关组所含向量的个数称为T的秩，记作r(T)。 2. 几个性质： 无关iff满秩； 若可由表示 r(I)r(II)； 等价的向量组等秩。 n
