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1、与二元一次方程有关的历史一、方程的发展历史 (一)方程的产生 1.我国古代的“方程”在我国古代的数学史上,很早就建立了“方程”的概念。早在汉朝时期,郑玄的“解九数”中就有方程。“方程”一词的最早出现,是在九章算术中,其第八卷的卷名即为“方程”.然而,古代方程与现代方程的含义有很大的区别.现代意义上的列方程和解方程大约出现在13世纪,即根据题意“立天元一为某某”,与现代数学中“设x为某某”意义相同.其次再根据问题所设条件列出两个相等的多项式,两者相减,就得出一个一边为x的方程。 2.西方古代的“方程”据记载,古埃及人用兰德纸草记录了最早期的数学问题,但由于没有代数语言,古埃及人只能用纯算术的方法
2、解决相当于今天解方程的问题,还没有形成方程的概念.大约于公元前200。年,古巴比伦人开始使用代表抽象概念的代数语言,可能由于许多代数问题都与几何有关,因此他们常用“长”、“宽”来代表未知数。这表明巴比伦人已经开始了对方程的探索.在前人的基础上,古希腊人把数学推进到了一个崭新的时代,现代意义上的“方程”一词,就来源于拉T文oequation,英文equation也由此演变而来.到了亚历山大里亚时期,随着数学应用范围的扩大,出现了越来越多的与方程有关的代数问题及其研究者,丢番图就是最具代表性的人物,其代表作算术中记载了130个一次和二次方程的问题,其成就以远远超出了他所处的时代. (二)一元一次方
3、程 对于解一元一次方程,我国和西方的数学家曾给出相似的解法.在公元4世纪巴克沙里的手稿中,曾有这样的记录:甲乙丙丁四人各持金,乙为甲的2倍,丙为乙的3倍,丁为乙的4倍,并知4人持金的总数为132卢比,问甲持金多少?那时的数学家先假设甲为一个相对简单的数,如一卢比,则4人共持金33卢比,与132比较后得知是4倍的关系,所以甲持金为14=4卢比.这种方法后来在欧洲被称为“试位法”.同时不难看出,方程的发展源于人们生活的实际需要.然而,因为其过程中只采用了一次假设,即“单假设法”,所以能够适用的范围较狭窄.但有别于“单假设法”的我国的“盈不足术”则可以应用于更广的范围. 一元二次方程 据考证,古巴比
4、伦的楔形文献中就记载了一元二次方程的实例和解法.其成就在于将二次方程的解法化为一种正规形式“已知两数的和与积求此两数”.用现代的代数语言来叙述就是“已知两数p和q,xy=q,x+y=p,求x,犷,.巴比伦人用五个步骤求这两个数,他们的五步法,用ppx=-q+,y=p-x22现代代数语言来写,就是，但因为那个时代没有负数的概念,巴比伦人还不能把所有二次方程都化为正规形式,也将负根的问题略而不提。到公元6世纪,印度著名的天文学家、数学家阿耶波多得出了二次方程求根公式.7世纪,印度天数学家婆罗摩岌多提出了各种二次方程的规则:把常数项放在未知数的平方项和一次项的另一边;将常数项乘以平方项的系数的4倍,
5、加上中项的系数的平方,所得结果的平方根减去中项系数,再除以平方项的系数的2倍,就是中项的值.如果用现代代数符号来表示,即若方程是24ac-b2-b2aax2+bx=c，则x的值是，到了中世纪,阿拉伯数学家花拉子模在他的代 表作代数学中给出了一元二次方程的一般解法,并用几何方法进行了证明.同时,他亦是历 史上第一个把未知量称为“东西”或“根”的人。到了12世纪,印度数学家婆什伽罗给方程-bb2-4acx=2a给出了一元二次方程的求根公式。同时确定了二次方程有两个根,也就承认了负根的存在.从数学史的整个进程来看,到12世纪婆什伽罗时期,一元二次方程的求解问题已基本解决。而在解法方面,也同时具有悠久
6、的历史。如古巴比伦的“凑和法”、古埃及的“试位法”及中国的“开带从平方法”以及最常见的“几何解法”。 二、用“元”表示未知数的历史 实际上，用“元”这个字表示未知数，源于我国宋元时期的天元术.所谓天元术，就是在解代数问题时，先“立天元一为某某”，再根据题设条件，建立等式，最后通过移项如合并同类项，得到一个方程.“立天元一为某某”，就是我们现在的“设某某为x。 今天我们所能见到的天元术著作，只有李冶(1192-1279)的测圆海镜和益古演 段、朱世杰(1249314)的算学启蒙和(四元玉鉴).我们以测圆海镜卷二最后一题为例:“或问:出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之.问城径几何?”测
7、圆海镜全书共含170个问题，均围绕“勾股容圆”而设，即都与直角三角形内切圆有关.这里，西门、北门是指圆城的西门、北门.李冶给出的解题过程是： 从李冶的天元术解题过程可见，多项式的写法是:只列出各项系数，按幂的次数从 低到高的顺序，由下至上排列.一次项系数旁标一“元”字(有时也在常数项旁标一“太” 字)，上面依次为二次项系数，三次项系数，等等，而下面为常数项.例如，图2(采自测圆海镜卷六)表示的就是三次多项式4x-1484x+270080-10444800(注意，斜杠表示 负号).方程总是化成右边等于零的形式，因此只需写出左边的多项式;只不过此时不再出 现“元”字，因为最下面一个数总是常数项，不
8、会产生歧义。32 朱世杰在四元玉鉴中将天元术拓广为四元术，除了天元，又引入地元、人元、物 元，用以解决多元高次方程组。 清末，李善兰(1811 -1882)和伟烈亚力(18I5-1887)合译英国数学家德摩根(A.deMorgan, 1806-1871)的(代数学，创用“多元一次方程”这样的术语(2J.该术语是西方数学术语与中国传统数学术语完美结合的典范.在代数学和另一部微积分教材代微积拾级中，李善兰用“天”、“地”、“人”、“物”分别代替英文字母x, y,z,w(前二十二个字母分别用天干地支来代替)，于是，“天”、“地”、“人、“物”成了表示未知数的符号，而“元，即为未知数的统称. 从上面的历史考察可以看出，用“元”表示未知数，实源于天元术，追本溯源之说虽貌似有理，实属臆测;“元”这一称谓并非舶来品，亦非约定俗成，与元音字母更是风马牛不相及。
