二次函数知识点汇总.docx

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1、二次函数知识点汇总二次函数知识点(第一讲) 一、二次函数概念： b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。1二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c a的符号 开口方向 顶点坐标 c) (0，对称轴 y轴 性质 x0时，y随x的增大而增大；x0 向上 x的增大而减小；x=0时，y有最小值c x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随ah时，y随x的增大而增大；x0 向上 X=h x的增大而减小；x=h时，y有最小值0 xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随ah时，y随x的增大而增大；x0 向上 (h，k) X=h x的增大而减小；x=h时，y有最小值k xh时，y随x的增大而减小；xh

2、时，y随a0)平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h0)平移|k|个单位向右(h0)平移 |k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向右(h0)平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 第- 2 -页 共31页 方法二： y=ax2+bx+c沿y轴平移:向上平移m个单位，y=ax2+bx+c变成 y=ax2+bx+c+m y=ax2+bx+c沿轴平移：向左平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c 四

3、、二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看，y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到b4ac-b2b4ac-b2前者，即y=ax+，其中h=-， k=2a4a2a4a22五、二次函数y=ax2+bx+c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0，c)、以及(0，c)关于对称轴对称的点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0). 画草图时应抓

4、住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 b4ac-b2b 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为-， 2a4a2a当x-时，y随x的增大而增大；当x=-时，y有2a2a2a4ac-b2最小值 4ab4ac-b2bb 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为-，时，y当x-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y有最大值 2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y=ax2+bx+c； 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k； 3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2). 第- 3

5、 -页 共31页 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a0 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a0的前提下， b当b0时，-0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab当b=0时，-=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab当b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧 2a 在a0时，-0

6、，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab当b=0时，-=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab当b0时，-0，在y轴的右侧则ab0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，图象与x轴交于两点A(x1，其中的x1，x2是一元二0)，B(x2，0)(x1x2)，b2-4ac次方程ax+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=x2-x1=. a2 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任

7、何实数，都有y0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： D0 抛物线与x轴有D=0D0二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根 两个交点 可零、可负 抛物线与x轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根 有一个交点 负 抛物线与x轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根. 交点 正 第- 6 -页 共31页 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2+m2-m-2的图像经过原点， 则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在

8、同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的图像大致是 y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x=5，求这条抛物线的解析式。 34 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐

9、标是 2确定抛物线的解析式；用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M(b,)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个 ca (1) (2) 弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键 例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图

10、象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) 第- 7 -页 共31页 A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例4、如图，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分

11、的面积为ym2 写出y与x的关系式； 当x=2，3.5时，y分别是多少？ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例5、已知抛物线y=125x+x- 22用配方法求它的顶点坐标和对称轴 若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长 本题是对二次函数的“基本方法”的考查，第问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x1ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由 (1)解：如图抛物线交x轴于点A

12、(x1，0)，B(x2，O)， 则x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 22 x1x2=-3x1=-3x1=1. x10，x1=-1x2=3 点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 2 二次函数的解析式为y-2x-4x-6 (2)存在点M使MC0ACO (2)解：点A关于y轴的对称点A(1，O)， 直线A，C解析式为y=6x-6直线AC与抛物线交点为(0，-6)，(5，24) 符合题意的x的范围为-1x0或Ox5 当点M的横坐标满足-1xO或OxACO 例7、 “已知函数y=12x+bx+c的图象经过点A， 2求证：这个二次函数图象的对称轴是x

13、=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 第- 8 -页 共31页 点评： 对于第小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第小题中的解析式

14、就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解答 根据y=12x+bx+c的图象经过点A，图象的对称轴是x=3，得2122c+bc+c=-2, b-=3,122解得b=-3,c=2.12x-3x+2.图象如图所示。 2所以所求二次函数解析式为y=在解析式中令y=0，得12x-3x+2=0，解得x1=3+5,x2=3-5. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

15、用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x与产品的日销售量y之间的关系如下表： x 15 20 30 y 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数 第- 9 -页 共31页 求出日销售量y与销售价x的函数关系式； 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是

16、多少元？ 设此一次函数表达式为y=kx+b则15k+b=25, 解得k=-1，b=40，即一次函数2k+b=20表达式为y=-x+40 设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=-x2+50x-400=-2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：设未知数在“当某某为何值时，什么最大”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的

17、手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是15 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A15 m B1625 m C166 m D167 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 第- 10 -页 共31页 知识点一、平面直角坐标系 1，平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做

18、坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，和是两个不同点的坐标。 知识点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限x0,y0 点P(x,y)在第二象限x0 点P(x,y)在第三象限x0,y0,y0 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。 k0 b0 图像经过一、三、四

19、象限，y随x的增大而增大。 K0 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小 y 图像经过二、三、四象限，y随xb0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，y随x的增大而增大 当k0 k0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； 当k0 y 0 x 抛物线开口向上，并向上无限延伸； 对称轴是x=-二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0) a0 y 0 x 抛物线开口向下，并向下无限延伸； 图像 bbbb，顶点坐标是对称轴是x=-，顶点坐标是； 4a在对称轴的左侧，即当x-性质

20、 4ac-b2）； 4abb时，y随在对称轴的左侧，即当x-x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x-b时，y随x的增大而增大，简记左2ab时，y随x的增大而减小，2a减右增； 抛物线有最低点，当x=-小值，y最小值简记左增右减； bb时，y有最抛物线有最高点，当x=-时，y有2a2a最大值，y最大值4ac-b2= 4a4ac-b2= 4a2、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)中，a、b、c的含义： a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上 a0时，图像与x轴有两个交点； 当D=0时，图像与x轴有一个交点； 当D0)平移|k|个单位y=ax2+k向右(h0)平移|k|个单位向右

21、(h0)平移 |k|个单位向上(k0)平移|k|个单位向右(h0)平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k0)平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 函数平移图像大致位置规律 特别记忆-同左上加 异右下减 (必须理解记忆) 说明 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减 3、直线斜率：y2-y1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程： k=tana=x2-x14、两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: y-y1=kx+b=(

22、taan)x+b=y2-y1x(x-x1) 此公式有多种变形 牢记 x2-x1 点斜 y-y1=kx(x-x1) 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0) 截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy+=1 ab牢记 口诀 -两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距 第- 20 -页 共31页 5、设两条直线分别为，l1：y=k1x+b1 l2：y=k2x+b2 若l1/l2，则有l1/l2k1=k2且b1b2。 若llkk=-1 12126、点P到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: d= kx0-y0+bk+(-1)22=kx0-y0+bk+127、抛物线y=ax2+bx+c中， a b c,的作用 a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样. b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-bb，故：b=0时，对称轴为y轴；0时，对称轴在y轴左侧；2aab0时，对称轴在y轴右侧. 口诀 - 同左 异右 a c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置. 当x=0时，y=c，抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点