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1、例谈恒成立不等式的求解策略例谈含参不等式恒成立问题的求解策略 含参数不等式恒成立问题是不等式中的重要题型，也是各类考试的热点这类问题既含参数又含变量，学生往往难以下手，怎样处理这类问题呢？转化是捷径通过转化能使恒成立问题得到简化，而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用下面就其常见类型及解题策略举例说明 一可化为一次不等式恒成立的问题 例1对于满足0p4的一切实数，不等式x2+px4x+p-3恒成立，试求x的取值范围 分析：习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+(p-4)x+3-p，于是问题转化为： 当p0,4时，y0恒成立，求x的取值范围解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区
2、间根原理，可想而知，这是相当复杂的 解：设函数f(p)=(x-1)p+(x2-4x+3)，显然x1，则f(p)是p的一次函数，要使f(p)0恒成立，当且仅当f(0)0，且f(4)0时，解得x的取值范围是(-,-1)(3,+) 点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色 二二次不等式恒成立问题 例2已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围 分析：利用二次项系数的正负和判别式求解，若二次项系数含参数时，应对参数分类讨论 2解：(1)当m+4m-5=0时
3、，即m=1或m=-5，显然m=1时，符合条件， m=-5不符合条件; (2) 当m+4m-50时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得 2m+4m-50,，解得1m19 22D=16(m-1)-12(m+4m-5)0综合(1)(2)得，实数m的取值范围为1,19) 2三绝对值不等式恒成立问题 例3对于任意实数x，不等式x+1-x-2a恒成立，求实数a的取值范围 分析1：把左边看作x的函数关系，就可利用函数最值求解 -3,x-1解法1：设f(x)=x+1-x-2，则f(x)=2x-1,-12a3 分析2：利用绝对值的几何意义求解 解法2：设x-12在数轴上对应点分别是PAB，则x+1-x-
4、2=PA-PB 当点P在线段AB上时，-3PA-PB3; 当点P在点A的左侧时， PA-PB=-3; 当点P在点A的右侧时， PA-PB=3; 因此，无论点P在何处，总有-3PA-PB3，所以当a3时， PA-PBa恒成立， 即对于任意实数x，不等式x+1-x-23 四含对数指数三角函数的不等式恒成立问题 2例4当x(0,)时，不等式xlogax恒成立，求a的取值范围 12分析：注意到函数f(x)=x2，g(x)=logax都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切x(0,)，f(x)g(x)恒成立，只要在(0,)内， g(x)=logax的2图象在f(x)=x图象的上方即可显然0a
5、1，再运用函数思想将不等式转化为函数的1212最值问题，即fg 2解：设f(x)=x，g(x)=logax，则要使对一切x(0,)，f(x)g(x)恒成立，121212由图象可知0a1，并且fg，故有loga121211， 24a11a1 ， 又Q0a1 1616点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用此外，从图象上直观得到0a1后还需考查区间(0,)右端点121处的函数值的大小 2五、形如“af(x)”型不等式 形如“af(x)”或“af(x)”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“af(x)在xD上恒成立，则af(x)
6、max(xD);af(x)在xD上恒成立，则af(x)min(xD)”许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型 2例5已知二次函数f(x)=ax+x，若x0,1时，恒有f(x)1，求a的取值范围 x=解：Qf(x)1，-1ax+x1， 即-1-xax1-x 当x=0时，不等式-1a01显然成立， aR 2当0”型不等式 22x2例7在y=2，y=log2x，y=x，y=cosx这四个函数中，当0x1x2时，使f(1恒成立的函数的个数是( ) 22(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 x+x2f(x1)+f(x2)解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件f(1的函22数应是凸函数的性质，
7、画草图即知y=log2x，y=cosx符合题意，故此题选 八、形如“f(x)g(x)”型不等式 七、形如“f(例8已知函数f(x)=1lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若当x0,1时，f(x)g(x)2恒成立，求实数t的取值范围 解：f(x)g(x)在x0,1恒成立，即x+1-2x-t0在x0,1恒成立 x-1-2x-t在0,1上的最大值小于或等于零 2x+12x+1Q x0,1， F(x)0即F(x)在0,1上单调递减， F(0)是最大值 f(x)F(0)=1-t0，即t1 九、形如“f(x1)g(x2)”型不等式 9x+c1342例9已知函数f(x)=x-x-3x+，g(x)=-
8、，若对任意233x1,x2-2,2，都有f(x1)g(x2)，求c的范围 解：对任意x1,x2-2,2，都有f(x1)g(x2)成立，f(x)max0得x3或x-1;f(x)0得-1x3 f(x)在-2,-1为增函数，在-1,2为减函数 18+cQf(-1)=3, f(x)max=3 3-，c-24 2 由上可知解含参不等式恒成立问题的基本解题思想是转化为函数的最值或值域问题，解令F(x)=x+1-2x-t，F(x)=1-2=1-4x+1决的基本方法有三，一个是分离参数(当然是能够分离作为前提)；第二是通过数形结合、以形助数布列关于参数的不等式；第三是利用导数解决 (1).分离参数法:当不等式
9、中的参数能够与其它变量完全分离出来，且分离后不等式另一边的函数的最值可求时，常用分离参数法. (2).数形结合法:如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. (3)导数法:即先利用导数求出不等式一边的函数的最值，然后建立关于参数的不等式求解。 补充说明：注意下述结论的应用 设f(x)、g(x)是闭区间它等价于的上连续函数，则对. minx,x12D使得f(x)g(x)，12f(x)1maxg1(x)2若对值不小于在）。 xD，$xD在2，使f(x)g(x)，它等价于f(x)在12上的最小存上的最小值即f(x)ming(x)min（这里假设
