初三数学二次函数知识点总.docx

《初三数学二次函数知识点总.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学二次函数知识点总.docx（21页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、初三数学二次函数知识点总二次函数和二次方程 一、二次函数概念及结构特征： b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数 1二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c平移m个单位，y=ax+bx+c变成 22y=ax2+bx+c+m y=ax+bx+c沿轴平移：向左平移m个单位，y=ax+bx+c变成22y=a(x+m)2+b(x+m)+c 四、二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c的比较 2从解析式上看，y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4ac-b2b4ac-b2者，即y=ax+，其中h=-， k=2a4a2a4a22五、二次

2、函数y=ax2+bx+c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴c)、以及(0，c)关于对称轴对称的点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0). 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 b4ac-b2b 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为-， 2a4a2a第 2 页 共 13 页 当x-时，y随x的增大而增大；当x=-时

3、，y有最小2a2a2a4ac-b2值 4ab4ac-b2bb 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为-，时，y随当x-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y有最大值2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y=ax2+bx+c； 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k； 3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.

4、 二次项系数a 二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a0 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a0的前提下， 当b0时，-当b=0时，-当b0时，-b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧 2a 在a0时，-当b=0时，-当b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，在y轴的右侧则ab0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 第 3 页 共 13 页 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(

5、x2，0)(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次b2-4ac方程ax+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=x2-x1=. a2 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： D0 抛物线与x轴有两个交点 D=0二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 D0 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无

6、实数根. 十一、函数的应用 刹车距离二次函数应用何时获得最大利润 最大面积是多少第 5 页 共 13 页 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2+m2-m-2的图像经过原点， 则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的图像大致是 y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用

7、待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x=5，求这条抛物线的解析式。 34 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是 2确定抛物线的解析式；用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M(b,)在 A第一象限 B第二象限

8、 C第三象限 D第四象限 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个 ca (1) (2) 弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键 例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 第 6 页

9、共 13 页 例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线22x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例4、如图，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2 写出y与x的关系式； 当x=2，3.5时，y分别是多少？ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例5、已知抛物线y=125x+x- 22用配方法求它的顶点坐标和对称轴 若该抛物线

10、与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长 本题是对二次函数的“基本方法”的考查，第问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例6、 “已知函数y=12x+bx+c的图象经过点A， 2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已

11、知来用，再结合条件“图象经过点A”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解答 根据y=12x+bx+c的图象经过点A，图象的对称轴是x=3，2122c+bc+c=-2,得 b-1=3,22解得b=-3,c=2.12x-3x+2.图象如图所示。 2所以所求二次函数解析式为y=在解析式中令y=0，得12x-3x+2=0，解得x1=3+5,x2=3-

12、5. 2第 7 页 共 13 页 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x与产品的日销售量y之间的关系如下表： x

13、 15 20 30 y 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数 求出日销售量y与销售价x的函数关系式； 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 设此一次函数表达式为y=kx+b则15k+b=25, 解得k=-1，b=40，即一次函数表达2k+b=20式为y=-x+40 设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=-x2+50x-400=-2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：设未知数在“当某某为何值时，什么最大”的设问中，“某某”要

14、设为自变量，“什么”要设为函数；问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 第 8 页 共 13 页 二次函数对应练习试题 一、选择题 1. 二次函数y=x2-4x-7的顶点坐标是( )A.(2,11) B. C. D. 2. 把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 A. y=-2(x+1)2 B. y=-2(x-1)2 C. y=-2x2+1 D. y=-2x2-1 3.函数y=kx2-k和y=k(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当x=1和x=3时,函数值相等;4a+b=0当

15、y=-2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点(ac,bc)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程2x-x=222的正根的个数为 xA.0个 B.1个 C.2个. 3 个 8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解

16、析式为 A. y=x-x-2 B. y=-x+x+2 C. y=x-x-2或y=-x+x+2 D. y=-x-x-2或y=x+x+2 222222第 9 页 共 13 页 二、填空题 9二次函数y=x2+bx+3的对称轴是x=2，则b=_。 10已知抛物线y=-2+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_. 11一个函数具有下列性质：图象过点，当x0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 。 12抛物线y=2(x-2)2-6的顶点为C，已知直线y=-kx+3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 13. 二次函数y=2x2-4x-1的图象是由

17、y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。 14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (取3.14). 三、解答题： 15.已知二次函数图象的对称轴是x+3=0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-(1)求这个二次函数的解析式; (2)当x为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大? 16.某种爆竹点燃后，其上升高度h和时间t符合关系式h=v0t-25). 2第15题图 12gt ，其中重2力加速度g以10米/秒计算

18、这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升， 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？ 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 第 10 页 共 13 页 17.如图，抛物线y=x+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. 求此抛物线的解析式； 点P为抛物线上的一个动点，求使SDAPC：SDACD=5 ：4的点P的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下

19、降10元时，月销售量就会增加7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x，该经销店的月利润为y 当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； 求出y与x的函数关系式； 该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ 小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由 2第 11 页 共 13 页 练习试题答案 一，选择题、 1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、 9b=-4 10x-3 11如y=-2x2+4,y=2x+4等 121 13-8 7 1415 三、解答题 15(1)设抛物线的解析式为y=ax2

20、+bx+c,由题意可得 b-2a=-3a+b+c=-65c=-2解得a=- 1515,b=-3,c=- 所以y=-x2-3x- 2222(2)x=-1或-5 (2)x-3 16由已知得，15=20t-110t2，解得t1=3,t2=1当t=3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃222后1秒离地15米由题意得，h=-5t+20t-5(t-2)+20，可知顶点的横坐标t=2，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升 17直线y=x-3与坐标轴的交点A，B则b=-29+3b-c=0解得 c=3-c=-3所以此抛物线解析式为y=x2-2x-3抛物线的顶点D，与x轴的另一

21、个交点C.设P(a,a-2a-3)，则(4a-2a-3):(44)=5:4.化简得a-2a-3=5 12212当a-2a-30时，a-2a-3=5得a=4,a=-2 P或P 当a-2a-30时，-a+2a+3=5即a+2a+2=0，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为或 第 12 页 共 13 页 222221845+260-240260-xy=(x-100)(45+7.5)，化简得： 7.5=601010333y=-x2+315x-24000=-(x-210)2+9075 y=-x2+315x-24000444红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元 我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额W=x(45+260-x7.5)=-3(x-160)2+19200来说， 104 当x为160元时，月销售额W最大当x为210元时，月销售额W不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元1732518000， 当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对 第 13 页 共 13 页