初中数学知识点小结.docx

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1、初中数学知识点小结初中数学知识点总结 一、基本知识 、数与代数 A、数与式： 1、有理数有理数： 整数：正整数、0、负整数； 分数：正分数、负分数； 数轴： 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 绝对值： 在数轴上，一个数所对应的点与原点的

2、距离叫做该数的绝对值。 正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 有理数的运算： 加法： 同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 一个数与0相加不变。 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与0相乘得0。 乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 0不能作除数。 乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，an乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫

3、次数。 混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数：无限不循环小数叫无理数 平方根： 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。 如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根。 一个正数有2个平方根，0的平方根为0，负数没有平方根。 求一个数a的平方根运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。 立方根： 如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根。 正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。 实数： 实数分有理数和无理数。 在实数范围内，相反数，

4、倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的1 意义完全一样。每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式： 代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。 把同类项合并成一项就叫做合并同类项。 在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式： 数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。 一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。 一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 整式运算：加减运算时，如果遇到括号先

5、去括号，再合并同类项。 aammnan=am-nm+n幂的运算： a=an(ab)ban=ab=abnnnn ； 整式的乘法： 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 公式两条：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 整式的除法： 单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式； 对于只在被除式里含有的字母，则连

6、同他的指数一起作为商的一个因式。 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 方法：提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法。 分式： 整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不能为0。 分式的分子与分母同乘以或除以同一个不等于的整式，分式的值不变。 0分式的运算： 乘法：把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。 加减法： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分

7、式先通分，化为同分母的分式，再加减。 分式方程： 2 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 使方程的分母为0的解称为原方程的增根。 B、方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程： 在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 等式两边同时加上或减去或乘以或除以一个代数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，将未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组

8、叫做二元一次方程组。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法、加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 二次函数，一元二次方程的解可在二次函数图象中表示，一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y为0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与x轴的交点就是该方程的解。 2）一元二次方程的解法：二次函数图像有顶点：(-b2a,4ac-b4a2)，利用他可以求出所有的一元二次方程的解 (1）配方法：利用配方，

9、使方程变为完全平方公式，再开平方法去求解。 (2)分解因式法：提取公因式，利用公式法、十字相乘法。把方程化为几个乘积的形式去解 (3)公式法：这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了， 22 -b+b-4ac-b-b-4ac2ax+bx+c=(x-)(x-)=0 2a2a22 -b+b-4ac-b-b-4ac,x2=;为： 方程的根x1=2a2a3）解一元二次方程的步骤： 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法或十字相乘，如果可以，就

10、可以化为乘积的形式 (3)公式法：就把一元二次方程的各系数分别代入，二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c 4）韦达定理：韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和x1+x2=-ba，二根之积：x1+x2=ca利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5）一元一次方程根的情况： 根的判别式： D=， I当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II当=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 3 III当”，或“b,则a+cb+c。 在不等式中，如果减去同一个数，不等式符号不改向；例如：若ab,则a-cb-c。 在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向；例如：

11、若ab,则acbc(c0)。 在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号反向；例如：若ab,则acbc(c0)。 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号 所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立； 3、函数： 变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴x上的点表示自变量，用竖直方向的数轴y上的点表示因变量。 一次函数： 若两个变量x、y间的关系式可以表示成：y=kx+b的形式，则称y是x的一次函数。 当b=0时，即：y=kx(k0)称y是x的正比例函数。 一次函数的图象： 把一个函

12、数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 正比例函数y=kx(k0)的图象是经过原点的一条直线。 在一次函数中，当k0，b0，b0时，则经1、2、4象限；4 当k0，b0，b0时，则经1、2、3象限。 当k0时，Y的值随x值的增大而增大，当kR+r 两圆外切：d=R+r 两圆相交R-rdR+r， 两圆内切 d=R-r， 两圆内含d0：方程有两个不等的实根 D0：方程没有实根，有共轭复数根 1+2+3+4+5+6+L+n=n(n+1)2；21+3+5+7+9+11+13+15+L(2n-1)=n；2+4+6+

13、8+10+12+14+L+(2n)=n(n+1)；某些数列前n项和 12+22+32+42+52+62+72+82+L+n2=n(n+1)(2n+1)；61+2+3+4.+5+6+L+n=3333333n(n+1)422；n(n+1)(n+2)3；12+23+34+45+56+67+L+n(n+1)=四、基本方法 10 1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式n次幂的形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用得最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和

14、不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到。 2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法：换元法，是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达

15、定理：一元二次方程：ax2+bx+c=0根的2判别，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，D=b-4ac，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解

16、答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。 7、反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反

17、面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设，是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一个、一个也没有；至少有n个、至多有(n一1)个；至多有一个、至少有两个；唯一、至少有两个。 归谬，是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的

18、公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 8、面积法：平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添臵辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添臵补助线，即使需要添臵辅助线，也很容易考虑到。 11 9、几何变换法：在数学问题的研究中，常常运用变换法

19、，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。几何变换包括：平移；旋转；对称。 10、客观性题的解题方法 选择题：是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。 填空题：是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确

20、，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。 要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。 直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。 验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法。当遇到定量命题时，常用此法。 特殊元素法：用合适的特殊元素代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。 排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。 图解法：也叫数形结合法，借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。 分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。 张健 2012-5-22 总结 12