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1、第三章 剪 切 和 扭 转,3.1 剪切的概念3.2 剪切和挤压的实用计算3.3 扭转的概念3.4 外力偶矩 扭矩和扭矩面3.5 薄壁圆筒的扭转3.6 圆轴扭转时的应力及变形3.7 圆轴扭转时的强度和刚度计算3.8 圆柱形密圈螺旋弹簧3.9 圆轴扭转时斜截面上的应力及扭转破坏分析3.10 矩形截面杆扭转简介,3.1 剪切,0,p,p,P,单剪,双剪,3.2 剪切和挤压的实用计算,一、剪切的实用计算方法,t,剪应力在剪切面上均匀分布，于是剪应力的计算式为,式中，为剪切面面积。由公式算出的剪应力是以假设为基础的，并不是真实应力，通常称为名义剪应力。当剪切面上的剪应力达到一定值后，剪切构件会因剪切而
2、破坏。,许用剪应力，即（-）这就是剪切强度条件。若材料的极限剪应力，n为安全系数则材料的许用剪应力，即 实验结果表明，材料的剪切强度极限与拉压强度极限有近似比例关系：,塑性材料：脆性材料：根据这个关系，工程上常根据拉伸许用应力的值估算剪切许用应力的值。,二、挤压的实用计算挤压力：作用在接触面上的压力挤压变形：在接触面处产生的变形挤压面：挤压发生在联结件与被联结件的接触面挤压应力：挤压面上的压强,式中，为有效挤压面面积。按公式得到的挤压应力并不是真实应力，所以称为名义挤压应力。,有效挤压面面积的计算分两种情况讨论：（）当挤压面为平面时，有效挤压面面积为实际接触面面积，即（）当挤压面为圆柱面时，（
3、如铆钉杆和铆钉孔）有效挤压面面积是实际接触面的直径投影面，即 这样，按公式算出的挤压应力和实际产生的最大挤应力很相近。,为了防止挤压破坏，应该使最大的挤压应力不超过材料的许用挤压应力，即（3-4）这就是挤压强度条件。许用挤压应力与许用拉应力 之间有如下关系：塑性材料：脆性材料：如果两个接触构件的材料不同，应对连接中挤压强度较弱的构件进行计算。,三、连接件的强度计算,工程上常用的连接件受力后发生破坏有三种可能情况：一是沿剪切面被剪断；二是挤压面受挤压发生显著的塑性变形，使连接杆件松动；三是连接板因钻孔后截面受到削弱，可能被拉断。,为充分利用材料，切应力和挤压应力应满足,四、冲剪力的计算,工程中都
4、要求这些构件工作时的剪应力达到材料的极限剪应力，即（3-5）,在杆件的两端作用一对大小相等、方向相反，且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕杆件轴线的相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转变形。有截面法可知，杆件产生扭转变形时，横截面上内力分量只有位于面上的力偶矩，称其为扭矩。,3.3 扭转的概念,一、外力偶矩的计算设轴传递的功率为，转速为n(r/min)，传递的力矩为Me，于是有 即（3-6）注意：式（3-6）中 的单位为千瓦，n的单位为转/分。当功率为 马力（H.P，1马力=735.5W）时，外力偶矩的计算公式为（3-7）,3.4 外力偶矩 扭矩和扭矩面,二、扭矩和
5、扭矩图从指定截面m-m处截开，取左半部分I由平衡条件得 扭矩Mn是I、II两部分在m-m截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩。取右半部分II可求出截面m-m上的扭矩，但其方向与按部分I求出的扭矩相反。,扭矩的正负号规定如下：按右手螺旋法则将扭矩用矢量表示，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，扭矩Mn为正；反之为负。根据这一规则，在图中，无论就部分I还是部分II而言，m-m截面上的扭矩都是正的。根据扭矩的大小和正负，画出沿轴线方向扭矩变化的图形，称之为扭矩图。扭矩图的画法与轴力图相似。,3.5 薄壁圆筒的扭转,为了研究圆轴扭转时的应力和变形，首先讨论薄壁圆筒的扭转，以了解剪应力及剪应变的规律和它
6、们之间的关系。一、薄壁圆筒扭转时的应力,1圆筒扭转各横截面上没有正应力，只有垂直于半径的剪应力,剪应力沿壁厚方向均匀分布。2横截面上沿圆周方向各点的剪应力相同。3扭转时横截面上只有垂直于半径且均匀 分布的剪应力，其方向与截面上扭矩Mn的转向一致。,设l为薄壁圆筒的长度，R为薄壁圆筒的外半径，为薄壁圆筒两端的相对扭转角。可以看出或（3-9）即剪应变 与扭转角成正比。,二、纯剪切状态剪力力偶矩为 平衡条件上、下两个面上存在大小相等、方向相反的剪应力。由平衡条件有即(3-10)在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。
7、这个关系称为剪应力互等定理。,如图所示单元体的上下左右四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，单元体的这种应力状态称为纯剪切状态。,三、剪切虎克定律低碳钢的-曲线如图所示。剪切虎克定律(3-11)比例系数G称为剪切弹性模量，它反映材料抵抗剪切变形的能力。剪应变没有量纲，所以G有与相同的量纲。钢材的G值约为80GPa。,g,t,t,g,0,“拉压虎克定律”、“剪切虎克定律”、“剪应力互等定理”是材料力学的基本定律和基本定理。拉压弹性模量E、剪切弹性模量G、泊松比。可以证明，这三个弹性常数之间存在如下关系(3-12)即三个弹性常数中只有两个是独立的。,四、剪切变形能当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，
8、扭转角 与外力偶矩成正比。外力偶矩所做的功为 剪切变形能U，,用u表示单位体积的剪切变形能，即剪切变形比能，则u应等于剪切变形能U畜疫薄壁圆筒的体积V，即 再利用剪切虎克定律，可得（3-13）,3.6 圆轴扭转时的应力及变形,推导思路,变形几何关系(平截面假设),切应变与相对转角之间的关系,应力应变关系(Hooke 定律),切应力与相对转角之间的关系,静力学关系(切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩),相对转角表达式及切应力表达式,一、圆轴扭转时的应力1.变形几何关系取出长为dx的微段ab发生的相对错动圆轴表面原有矩形的直角改变量 为横截面上距圆心为处的剪应变为（a）,j,x,m,n,dx,m,n
9、,2.物理关系当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力与剪应变成正比，即服从剪切虎克定律（b）将式（a）代入式（b）可以求得距轴线为处的剪应力（c）,上式表明：横截面上任意点处的剪应力 与该点到圆心的距离成正比。即剪应力沿半径按直线规律变化，在圆心处剪应力为零，而在圆周边缘上各点的剪应力最大。注意到剪应力互等定理，则实心圆轴纵截面和横截面上的剪应力沿半径的分布如下图所示。,3.静力学关系 取一微面积dA，其上作用的微剪力：它对圆心的微力矩：横截面上的扭矩：（d）代入：则：（e）,dA,n,M,r,O,式中的积分是与圆截面尺寸有关的几何量，称为横截面对圆心O点的极惯性矩，用 表示，即(3-14
10、),于是 可以写成(3-15)得（3-16）这就是圆轴扭转时横截面上任意一点剪应力的计算公式。,由式（3-16）可知，当=R时（即横截面边缘上各点），剪应力取最大值，即（3-17）引用记号 公式（3-16）可改写为（3-18）Wn称为抗扭截面模量。,二、圆轴扭转时的变形公式 圆轴的扭转变形可用两个横截面绕轴线的相对扭转角来表示。由式（3-15）可得相距为dx的两横截面之间的相对扭转角 对长为l的轴，两端面的相对扭转角为（3-19）,由同一种材料制成的等截面圆轴，其 为常量，若相距为l的两横截面之间的扭矩 也为常量，则该两截面间的扭转角为（3-20）这是等截面圆轴扭转变形的计算公式。,称为截面的
11、抗扭刚度。转角的符号规定与扭矩 的相同，其单位为弧度（rad）。若两横截面之间的扭矩或抗扭刚度为变量时，欲求两截面的相对扭转角则应按式（3-19）积分或分段计算出各段的扭转角，再代数求和,三、极惯性矩 和抗扭截面模量 的计算环形微面积：圆截面的极惯性矩为（3-21）,R,D,抗扭截面模量为（3-22）上述两式中D为圆截面的直径。的量纲为长度的四次方，的量纲为长度的三次方。,r,O,R,D,对于空心圆轴，空心圆截面的抗扭截面模量为 上述两式中，D和d分别为空心圆截面的外径和内径，且。,r,O,R,D,四、扭转时应力、变形公式的应用条件 上述应力、变形公式是以刚性平面假设为基础导出的，只适用于等直
12、圆杆。当圆形横截面沿轴线变化缓慢时，也可近似的用以上公式，此时、等也在沿轴线变化。在 时，上述公式才成立。,3.7 圆轴扭转时的强度和刚度计算一、强度条件圆轴扭转（3-23）等直圆轴（3-24）阶梯轴（3-25）,二、刚度计算工程中常用单位长度内的扭转角来表示扭转变形的程度。（rad/m）（3-26a）的单位为弧度/米（rad/m）。扭转的刚度条件（rad/m）（3-26b）由于工程上的单位用度/米（o/m）表示，故（o/m）（3-27）,3.8 圆柱形密圈螺旋弹簧,一、簧丝横截面上的应力截面法求应力，得（a）剪应力与扭矩 对应的剪应力得,p,Q,2,D,(b),p,d,a,D,(a),A,最
13、大剪应力发生在A点。当 0时，可忽略剪切的影响，可看作只受扭转作用对较粗的弹簧，要考虑剪切和曲率影响。通常用曲度系数k修正，即,其中曲度系数 而c=D/d。簧丝的强度条件（3-31）,二、弹簧的变形,外力功为扭转剪应力单位体积的变形能,p,D,(a),l,d,M,r,(b),弹簧的变形能有W=U，于是所以,可见，弹簧的变形与力P成正比，比例常数C称为弹簧刚度，即,3.9圆轴扭转时斜截面上应力及扭转破坏分析 一、圆轴扭转的破坏形式,45,二、圆轴扭转时斜截面上的应力 如图示，设斜截面ae的面积为dA，在斜截面ae上作用有正应力 和剪应力，有平衡条件,a,b,c,d,a,d,b,c,1,O,2,O
14、,a,b,c,d,n,a,e,t,t,x,t,x,n,a,b,t,e,t,a,(c),(b),(a),整理后得（3-34）由上式可见，斜截面上的正应力 和剪应力 都随截面的倾角变化。当 时 取极值，而此时为 零，即 当 和 时，取极值，极值为，而此时,三、破坏原因分析圆轴扭转时，横截面上剪应力最大，而-45斜截面上拉应力最大。由此可对不同材料的扭转破坏现象作出解释：对于铸铁，抗拉能力最弱，扭转时，将沿着最大拉应力面被拉断；对于低碳钢，其抗剪能力较差，故在剪应力最大的横截面上被剪坏。,3.10 矩形截面杆扭转简介 矩形截面杆扭转，一般在弹性力学中讨论。图中画出了沿截面周边。对称轴和对角线上的剪应力分布情况。由剪应力互等定理可知，截面的周边各点上不可能有垂直于周遍的剪应力。剪应力分布如图。,（3-35）在短边中点，剪应力为（3-36）单位长度扭转角为（3-37）矩形截面的和可按下式计算（3-38）,
