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1、,材 料 力 学,期末复习,绪论内力分析应力分析变形分析简单的静不定问题应力状态分析压杆稳定,纲要,2,平面图形的几何性质,主要知识点:材料力学的研究对象：构件（变形体），杆、板、壳、块强度、刚度、稳定性的概念变形固体及其理想化的四种基本假设变形的四种基本形式,3,第一部分 绪论,重点内容强度、刚度、稳定性的概念,强度 是指构件抵抗破坏的能力,刚度 是指构件抵抗变形的能力,稳定性 是指构件保持平衡形态的能力,4,绪论,重点内容变形固体及其理想化的四种基本假设,连续性假设 宏观连续，物质密实地充满物体所在空间，无间隙均匀性假设物体内各处的力学性能完全相同各向同性假设材料在各个方向上的力学性能完全
2、相同小变形假设假设物体的几何尺寸、形状的改变与其原始尺寸相比是很微小的，即小变形。（原始尺寸原理）,重点内容变形的四种基本形式,轴向拉伸（压缩）Tension(Compression)剪切（Shear）扭转（Torsion）弯曲（Bending）,6,主要知识点:内力和截面法轴向拉伸（压缩）时的内力图直杆扭转时的内力图梁弯曲时的内力图,7,第二部分 杆件的内力分析,重点内容内力的概念、截面法,由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。,用一个虚拟的截面将平衡构件截开，分析被截开的构件截面上的受力情况，这样的方法称为截面法。,8,内力分析,截面法的步骤,
3、截；取(去)；代；平。,9,内力分析,六个内力分量产生的效果可归纳为四种基本变形方式的原因,1、轴力 axial force;FN Fx 沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向（伸长，缩短）,2、剪力 shear force FQ Fy,Fz 使杆件产生剪切变形,3、扭矩 torque Mx 力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形,4、弯矩 bending moment My,Mz 力偶，使杆件产生弯曲变形,10,内力分析,内力,重点内容轴力图,FN 轴向力，简称轴力,FN 拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线重合，单位:kN,11,内力分析,FN 轴向力正负号规定及其他注意点,1、同一
4、位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号,2、轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负,符号为正,符号为负,3、如果杆件受到外力多于两个，则杆件的不同部分上的横截面有不同的轴力,12,内力分析,13,内力分析,重点内容扭矩图,功率和转速计算外力偶矩的公式,14,内力分析,扭矩,扭矩的正负号规定,按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。,截面,n,Mx,15,内力分析,扭矩的计算及扭矩图的绘制,1、计算各外力偶矩的大小（已知功率和转速）；,2、将各外力偶矩采用右手螺旋法则绘出外力矩矢；,3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小
5、；,4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。,16,内力分析,17,内力分析,重点内容弯矩、剪力图,剪力和弯矩的正负号约定,凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负；凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。,18,内力分析,在实际问题中，可按照以下方法预先设置剪力和弯矩为正。,剪力和弯矩均按图示设为正。,剪力和弯矩均按图示设为正。,取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相反，但符号是一样的。,19,内力分析,剪力方程和弯矩方程,一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化，若以横座标 x 表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力
6、和弯矩都可以表示为 x 的函数。,剪力方程,弯矩方程,依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图(x轴-横截面位置，y轴-剪力弯矩)称为剪力图和弯矩图。,20,内力分析,载荷集度q、剪力FQ、弯矩M之间存在着微分关系:,剪力图上某点的斜率等于载荷集度的数值,弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值,21,内力分析,不列剪力弯矩方程，画剪力弯矩图的基本步骤,1、正确计算出约束反力；,2、按照剪力图的相关规则快速绘出剪力图；,3、按照载荷集度、剪力、弯矩的微分关系绘出弯矩图的大致样式；,4、计算弯矩在各段的极值。,22,内力分析,主要知识点:应力应变的概念及其相互关系轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力圆轴扭转
7、时横截面上的切应力平面图形的几何性质梁的弯曲正应力和切应力,23,第三部分 杆件的应力分析,重点内容:应力、应变的概念及其相互关系,p一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，对其进行分解,垂直于截面的应力分量:,相切于截面的应力分量:,正应力（normal stress）,切应力（shear stress）,应力单位:牛顿/米2 帕斯卡（Pa）,1 kPa=1000 Pa 1 MPa=1000 kPa 1 GPa=1000 MPa,24,应力分析,胡克定律,试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（构件只发生弹性变形），若所取单元体只承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与
8、线应变以及切应力与切应变之间存在线性关系。,G-材料的切变模量,25,应力分析,重点内容:轴向拉伸（压缩）时横截面上的正应力,横截面上的各点正应力亦相等，且分布均匀,有,得到横截面上正应力公式为:,适用条件：A、弹性体，符合胡克定律；B、轴向拉压；C、离杆件受力区域较远处的横截面。,26,应力分析,重点内容:圆轴扭转时横截面上的切应力,截面上某点的切应力,该截面上的扭矩,所求的点至圆心的距离,截面对圆心的极惯性矩,27,应力分析,T,对某一截面而言，T 为常数，Ip 也是常数，因此横截面上的切应力是 r 的线性函数,圆心处 r=0 t=0,外表面 r=r max t=t max,取,Wt 截面
9、的抗扭截面系数，单位 mm3 或 m3,28,应力分析,T,切应力的分布规律图,29,应力分析,T,30,应力分析,切应力互等定理,在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线，这一规律成为 切应力互等定理。,单元体四个侧面均只有切应力而无正应力 纯剪切状态。,圆轴扭转时横截面上的应力状态是 纯剪切状态。,31,应力分析,重点内容:平面图形的几何性质 形心的位置；静矩；惯性矩；极惯性矩。组合截面图形的惯性矩计算（平行移轴公式）,32,应力分析,设该图形形心(yc,zc),与均质等厚薄板重心坐标相同,由以上可知，若S z=0 或
10、S y=0，则y c=0 或 z c=0。图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心。,1、静矩与形心,静矩的量纲 L3,33,应力分析,2、惯性矩和极惯性矩,定义：,平面图形对 z 轴的惯性矩（二次矩）,平面图形对 y 轴的惯性矩（二次矩）,若以 r 表示微面积dA至原点O的距离,图形对坐标原点O 的极惯性矩,34,应力分析,惯性矩、惯性积、极惯性矩量纲:,L4,35,应力分析,36,应力分析,37,应力分析,平行移轴公式,38,应力分析,重点内容:梁弯曲时的正应力和切应力公式,AC、DB段既有剪力又有弯矩，横截面上同时存在正应力和切应力，这种情况称为横力弯曲,CD段只有弯矩，横截面上就
11、只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。,39,应力分析,cc 是中性层和横截面的交线，称为中性轴,40,应力分析,中性层、横截面、中性轴,对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当横截面的弯矩为正时，则s(y)沿截面高度的分布规律:,受压一侧正应力为负，受拉一侧正应力为正,41,应力分析,弯曲正应力,某一截面的最大正应力发生在距离中性轴最远处。,取,42,应力分析,梁的弯曲正应力求解的基本步骤,1、计算约束反力；,2、画出(剪力)弯矩图；找到弯矩极大值的截面,3、计算截面图形的相关几何性质，形心位置，惯性矩等；,4、计算应力（注意拉、压应力在截面上的不同位置）。,43,应力分析,矩形截面梁
12、的切应力公式,横截面上的剪力,整个截面对中性轴的惯性矩,梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩,所求切应力点处梁截面的宽度。,44,应力分析,在截面的两端，y=h/2,在中性层，y=0,切应力分布规律如图,45,应力分析,最大切应力平均切应力的3/2倍,主要知识点:拉压杆的轴向变形圆轴的扭转变形及相对扭转角梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程积分法求弯曲变形叠加法求弯曲变形能量法求弯曲变形,46,第四部分 杆件的变形计算,重点内容:拉压杆的轴向变形,公式的适用条件,1）线弹性范围以内，材料符合胡克定律,2）在计算杆件的伸长时，l 长度内其FN、A、l 均应为常数，若为变截面杆
13、或阶梯杆，则应进行分段计算或积分计算。,47,变形分析,横向应变,泊松比,泊松比 m、弹性模量 E、切变模量G 都是材料的弹性常数，可以通过实验测得。对于各向同性材料，可以证明三者之间存在下面的关系,48,变形分析,通过节点C的受力分析可以判断AC杆受拉而BC杆受压，AC杆将伸长，而BC杆将缩短。,因此，C节点变形后将位于C3点,由于材料力学中的小变形假设，可以近似用C1和C2处的圆弧的切线来代替圆弧，得到交点C0,49,变形分析,重点内容:圆轴的扭转变形及相对扭转角,相对扭转角j 的单位:rad,当 为常数时：,请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别,同种材料阶梯轴扭转时:,单位长度扭转角q
14、 的单位:rad/m,50,变形分析,重点内容:梁的弯曲变形，挠曲线近似微分方程,梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。,某截面的竖向位移，称为该截面的挠度,某截面的法线方向与x轴的夹角称为该截面的转角,挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位置有关，可以表示为关于 x 的函数。,挠度方程（挠曲线方程）,转角方程,51,变形分析,挠度和转角的正负号规定,52,变形分析,在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。,梁的挠曲线近似微分方程,53,重点内容:积分法求梁的变形,梁的挠曲线近似微分
15、方程,对上式进行一次积分,可得到转角方程（等直梁 EI 为常数）,再进行一次积分,可得到挠度方程,其中，C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续性条件来确定其大小。,54,变形分析,边界条件,在约束处的转角或挠度可以确定,55,变形分析,连续性条件,在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。,56,变形分析,重点内容:叠加法求梁的变形,在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。,用叠加法求等截面梁的变
16、形时，每个载荷作用下的变形可查表计算得出。查表时应注意载荷的方向、跨长及字符一一对应,57,变形分析,类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。,一般的处理方式是将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚化法）。,58,变形分析,不能直接查表的情况,主要知识点:应力状态的概念二向应力状态的解析法和图解法三向应力状态的概念广义胡克定律,59,第五部分 应力状态分析,重点内容:应力状态的概念,应 力,哪一个截面上？哪一点？,过该点的哪个方向面？,指明,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。
17、,60,应力状态分析,主单元体(Principle body)：各侧面上切应力均为零的单元体。,主平面(Principle Plane)：切应力为零的截面。,主应力(Principle Stress）：主面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值大小，,61,应力状态分析,重点内容:二向应力状态的解析法和图解法,上述方向均为正方向,62,应力状态分析,63,应力状态分析,应力极值,64,应力状态分析,应力圆的绘制,65,应力状态分析,利用单元体x截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力sy,ty(取ty=-tx)定出点D2，然后连以直线，以它与s 轴的交点C为圆心，并
18、且以 或 为半径作圆得出。,最大切应力,66,应力状态分析,重点内容:广义胡克定律,切应变和切应力之间，与正应力无关，因此:,以上被称为广义胡克定律。,67,应力状态分析,主要知识点:静不定的概念，静定基，相当系统，静不定次数拉压静不定问题和扭转静不定问题装配应力和温度应力的概念 静不定梁,68,第六部分 简单的静不定问题,重点内容简单的拉压、扭转静不定问题及静不定梁的求解,1、在静定基上加上外载荷以及多余约束力，得到受力和变形与原静不定梁完全相同的静定系统；,2、求解相当系统在多于约束处的变形，并将相当系统与静不定梁相比较，找到多余约束处的变形协调条件，列出求解静不定梁所需的补充方程；,3、
19、联立求解静力平衡方程和补充方程得到静不定梁的约束反力；,4、进行内力、强度、刚度分析。,特别注意:如何建立变形协调条件和补充方程,69,简单静不定问题,主要知识点:杆件的强度计算、刚度计算和稳定性计算剪切和挤压实用计算（了解概念及公式）强度理论组合变形提高杆件承载能力的措施,70,第七部分 杆类构件的静力学设计问题,重点内容:杆件的强度、刚度、稳定性计算,杆件在基本变形下，危险点处一般只有正应力或切应力，因此只要使用以下两式就可以进行强度计算:,根据工程要求的不同，强度计算一般有以下类型:,强度校核:验证危险点的工作应力是否满足强度条件；,截面设计:根据强度条件设计杆件的横截面尺寸；,许用载荷
20、确定:确定杆件或结构所能承受的最大载荷；,材料选择:根据安全、经济的原则以及工程要求，选择合理的材料。,71,杆件静力学设计,拉压杆的强度计算,拉压杆的特点是横截面上的正应力均匀分布，而且各点均处于单向应力状态，因此对于等截面直杆其强度条件为:,FNmax是杆中的最大轴力（内力）。,72,杆件静力学设计,圆轴的强度计算,圆轴扭转时，横截面上每点都处于纯剪切状态，切应力沿径向线性分布，横截面上最大切应力位于圆轴表面，因此，等直圆轴的强度条件是:,73,杆件静力学设计,梁的强度计算,一般情况下梁的各个横截面上既有剪力又有弯矩，因此必须要进行正应力强度计算和切应力强度计算，对于等截面梁，其基本公式是
21、:,74,杆件静力学设计,梁的强度计算,1)s是弯曲许用正应力。,2)必须根据弯矩图和剪力图综合判断危险面，然后再确定危险点。梁上可能存在三种危险点：正应力最大的点；切应力最大的点；正应力和切应力都比较大的点。,3)若材料的许用拉应力和许用压应力不相等（如铸铁等脆性材料），以及中性轴不是截面的对称轴，则需分别对最大拉应力和最大压应力作强度计算。,4)对于实心截面杆，在一般受力情况下，正应力强度起控制作用，不必校核切应力强度。但对于薄壁截面，如焊接工字型钢梁，以及集中载荷作用在靠近支座处，从而使梁的最大弯矩较小而最大剪力较大等这些情况，则需要校核切应力强度。,75,杆件静力学设计,各种基本变形下
22、，等直杆的刚度条件具体可表示为：,轴向拉压:,扭转:,弯曲:,76,杆件静力学设计,重点内容:强度理论,四个强度理论的强度条件可写成如下统一的格式,sr 称为相当应力。,77,杆件静力学设计,重点内容:组合变形,叠加原理的适用条件：要求应力、应变、内力与外力成线性关系。,材料不服从胡克定律不能用,大变形，不能使用原始尺寸求静力问题不能用,78,杆件静力学设计,对于第三强度理论,对于第四强度理论,弯扭组合,将和的表达式代入上式，并考虑到圆截面WP2W，便得到,79,杆件静力学设计,主要知识点:压杆稳定的概念压杆临界力的确定，临界应力总图提高压杆稳定性的措施,80,第八部分 压杆稳定,重点内容:压
23、杆稳定的概念,稳定平衡,不稳定平衡,临界状态,临界压力:Fcr,压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳定，简称 失稳。,当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时，临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。,压杆稳定,重点内容:临界应力总图,以Q235为例，,a=304MPa b=1.12MPa，,82,压杆稳定,临界应力与柔度,引入记号,则压杆的临界应力可表示为,柔度（长细比）,式中l 是一个没有量纲的量，称为柔度或长细比。它集中反应了压杆的长度 l、约束条件m、截面尺寸和形状 i 等因素对临界应力scr 的影响。,83,压杆稳定,
