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1、建筑力学,第4章 弯曲应力,45 概述,46 弯曲正应力,47 弯曲切应力,48 梁的强度计算,49 提高梁强度的主要措施,410 弯曲中心,45 概述,一、平面弯曲,纵向对称面,P1,P2,P,P,a,a,A,B,Fs,M,x,x,二、纯弯曲,C,D,图示梁 AB 段横截面上只有弯矩，而无剪力，该段梁的弯曲称为纯弯曲。,C A与BD 段横截面上即有弯矩，又有剪力，该两段梁的弯曲称为横力弯曲。,46 弯曲正应力,一、纯弯曲时梁的正应力,实验观察,纵向直线代表一层纤维，变形后为平行曲线。每层变成曲面，同层纤维变形相同。,下层纤维受拉伸长，上层纤维受压缩短；层间变形连续，中间必有一层即不伸长也不缩
2、短，,称为中性层。,横线代表一横截面，变形后仍为直线，但转过一个角度，且仍与纵线正交。横截面与中性层的交线称为中性轴。,基本假设,平面假设：梁的横截面变形后仍为平面，且与梁变形后的轴线正交；,层间纤维无挤压。,变形几何关系,取一微段dx,dx,a,b,c,d,o1,k1,k2,o2,o,y,变形前,变形后,变形物理关系,y,y,x,z,dA,z,其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标，为中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道中性轴的位置和中性层的曲率半径。,静力关系,横截面正应力满足如下关系：,y,y,x,z,dA,z,由：,必有 Sz=0，z 轴过截面形心。,由：,C,必
3、有 Syz=0，z 轴为形心主轴。,y,y,x,z,dA,z,C,由：,其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。,于是得：,y,y,x,z,dA,z,C,由该式可知横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最大。,z,z,C,C,中性轴 z 为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁(图c)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。,中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为,式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(section m
4、odulus in bending)，其单位为m3。,中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为,简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数,(1)矩形截面,思考:一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴 z 的惯性矩是否也是？,(2)圆截面,在等直圆杆扭转问题(3-4)中已求得：,而由图可见，2=y2+z2,从而知,而弯曲截面系数为,根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得,(3)空心圆截面,由于空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有,式中，。,根据对称性可知：,
5、思考：空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？,而空心圆截面的弯曲截面系数为,型钢截面及其几何性质：参见型钢表,需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴。,令,上式可改写为,Wz 称为抗弯截面模量，单位：m3。,上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可按平面假设分析，上面公式仍可使用。,矩形截面,圆形截面,环形截面,C,z,C,z,b,d,h/2,h/2,z
6、,d,C,D,例1 求图示矩形截面梁D 截面上a、b、c 三点的正应力。,A,B,C,D,2m,2m,2m,F=12kN,FA,FB,z,c,a,b,5,6,2,3,(cm),解：,取AD，,A,FA,D,Fs,MD,(上面受拉),(拉),(拉),例2求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,C,30,110,30,80,解：画梁的弯矩图；,5.5kN.m,4kN.m,z,y2,y1,确定中性轴的位置。,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,C,30,110,30,80,5.5kN
7、.m,4kN.m,z,y2,y1,截面形心主惯性矩：,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,C,30,110,30,80,5.5kN.m,4kN.m,z,y2,y1,D 截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边受压。比较可知最大压应力在D 截面的上边缘，而最大拉应力可能发生在D 截面的下边缘，也可能发生在B 截面的上边缘。,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,C,30,110,30,80,5.5kN.m,4kN.m,z,y2,y1,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,C,30,
8、110,30,80,5.5kN.m,4kN.m,z,y2,y1,最大拉应力发生在B 截面的上边缘，最大压应力发生在D 截面的上边缘。分别为,例3 图示矩 形截面梁，C 截面处有一直径d=40mm的圆孔，试求该截面的最大正应力。,A,B,C,2m,2m,80,40,40,40,解：,47 弯曲切应力,横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力。,一、矩形截面切应力,基本假设：,截面上各点切应力与剪力同向；,距中性轴等距离各点的切应力相等。,在梁上截一微段dx，再在微段上用水平截面mn 截一微元。,Fs,Fs,M,M+dM,1,1,2,2,dx,m,n,1,dx,2,m,n,z,y,
9、h/2,1,2,y,y1,b,dA,FN1,FN2,1,2,dx,m,n,y,x,z,平衡条件：,y,y1,b,dA,N1,N2,1,2,dx,m,n,y,x,z,同理得,因,于是得,式中 为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩。,C*,b,y,y*,h/2,h/2,z,max,由此式可知，横截面各点切应力是各点坐标y 的2次函数，切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最大，上下边缘切应力为零。,二、其它截面切应力,工字型截面腹板的切应力,翼板,腹板,b,z,b1,max,式中b1为工字型腹板的厚度。,b,b1,z,max,为中性轴一側截面对中性轴的静矩。,T型截面,ma
10、x,z,max,圆形截面,环形截面,max,z,z,例4 图示梁由三块板胶合而成，横截面尺寸如图所示，求截面的最大切应力和胶缝的切应力。,A,B,2m,2m,60,40,40,40,解：,FA=6kN,FB=6kN,48 梁的强度计算,梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。,正应力强度条件：,对于等截面梁,切应力强度条件：,简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即,矩形截面,圆形截面,环形截面,根据强度条件可进行下述工程计算：,强度校核；,设计截面尺寸；,确定容许荷载。,利用强度条件进行工程计算时，需首先确定梁的危险截面。,梁的最大正应力发生在弯矩最大截面离中性轴最远点处；
11、,梁的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上。,一般来说，梁的最大正应力与最大切应力并不在同一截面上，弯矩图上最大弯矩对应于梁的最大正应力所在截面，剪力图上最大剪力对应于梁的最大切应力所在截面。,例5 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示，材料的容许拉应力t=40MPa、容许压应力c=100MPa，容许切应力=20MPa。试校核该梁的强度。,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,C,z,200,200,30,30,解：求支座反力；,画内力图；,FD=10kN,M图,20kN.m,10kN.m,157.5,计算截面惯性矩；,10kN,10kN,20kN,Fs图,C,z,200,200,3
12、0,30,157.5,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,FD=10kN,M图,20kN.m,10kN,10kN,20kN,Fs图,10kN.m,B 截面最大拉应力：,B 截面最大压应力：,C 截面最大拉应力：,C 截面最大压应力：,C,z,200,200,30,30,157.5,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,FD=10kN,M图,20kN.m,10kN,10kN,20kN,Fs图,10kN.m,经比较可知，最大拉应力发生在C 截面的下边缘；最大压应力发生在B 截面的下边缘；最大切应力发生在B 的左截面的中性轴上。,C,z,200,200,30,30,157.
13、5,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,FD=10kN,M图,20kN.m,10kN,10kN,20kN,Fs图,10kN.m,此梁安全,A,B,3m,例6 图示工字形截面梁，已知容许正应力=170MPa，容许切应力=100MPa，试选择工字钢的型号。,3m,2m,C,D,解：求支座反力；,FB=29kN,FD=13kN,画剪力图和弯矩图；,M图,Fs图,13kN,17kN,12kN,12kN.m,39kN.m,梁的强度主要由正应力所控制，先按正应力强度条件选择工字钢型号，再用切应力强度条件进行校核。,A,B,3m,3m,2m,C,D,FB=29kN,FD=13kN,M图,Fs图
14、,13kN,17kN,12kN,12kN.m,39kN.m,由型钢表查选20a工字钢，主要参数如下：,例7 图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的容许正应力=10MPa，容许切应力=1.0MPa，胶缝的容许切应力1=0.4MPa，试确定容许荷载集度q。,A,B,3m,FA=1.5q,FB=1.5q,z,100,100,50,M图,Fs图,1.5q,1.125q,解：求支座反力；,画剪力图与弯矩图；,按正应力强度条件确定容许荷载；,A,B,3m,FA=1.5q,FB=1.5q,100,100,50,M图,Fs图,1.5q,1.5q,z,按切应力强度条件确定容许荷载；,1.125q,A,B,3m,F
15、A=1.5q,FB=1.5q,100,100,50,M图,Fs图,1.5q,1.5q,z,1.125q,按胶缝切应力强度条件确定容许荷载；,例8 图示圆截面梁，直径d=200mm，材料的容许正应力=10MPa，容许切应力=2MPa。试校核该梁的强度。,A,B,3m,1m,FA=5kN,d,FB=10kN,解：求支座反力；,画剪力图和弯矩图；,Fs图,M图,5kN,3kN,7kN,1.25m,3kN.m,3.125kN.m,最大正应力发生在距A 端1.25m截面的上下边缘；,最大切应力发生在B 的左截面的中性轴上。,A,B,3m,1m,FA=5kN,d,FB=10kN,Fs图,M图,5kN,3k
16、N,7kN,1.25m,3kN.m,3.125kN.m,此梁安全。,49 提高梁强度的主要措施,梁的设计主要依据正应力强度条件，即,由正应力强度条件可知，要提高梁的强度可从降低最大弯矩Mmax和增大抗弯截面模量Wz来考虑。,一、选择合理的截面形状,梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积相同的情况下，Wz越大截面形状越合理。,下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。,z,h,b,C,a,a,C,z,d,z,C,矩形截面比方形截面好,方形截面比圆形截面好,z,z,z,以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远比容许应力，没能充分发挥
17、材料作用，若将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。故工字形截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。,二、采用变截面梁,对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面上的最大正应力才达到，而其它截面上的最大正应力均没达到。,若采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到，此梁工程上称为等强度梁。,等强度梁的抗弯截面模量设计如下：,变截面梁,三、改善梁的受力情况,通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁的正应力强度。,A,B,l,ql2/8,A,B,2l/3,l/6,l/6,ql2/72,ql2/72,ql2/24,M图,M图,A,B,l/2,l/2,P,A,B,l/
18、4,l/2,P,l/4,Pl/4,Pl/8,M图,M图,例9 由直径为d 的圆木截取一矩形截面梁，试按强度要求选择最合理的高宽尺寸h、b。,b,z,y,h,d,C,解：使所截矩形的Wz 越大越好。,例10吊装一混凝土梁，索绳所系位置x 为多少最安全。,q,l,x,x,qx2/2,qx2/2,q(l-2x)2/8-qx2/2,解：梁的最大弯矩最小时最安全，当梁的最大正弯矩与最大负弯矩相等时梁的最大弯矩最小，即,弯曲中心,一、开口薄壁截面梁的弯曲切应力,dx,dx,t,t,N1,N2,a,a,b,b,c,c,d,d,b,c,d,b,c,前面已经介绍了工字形截面腹板的切应力，这里再研究一下翼板的切应
19、力。从翼板上截一微元，受力如图。,h,H,dx,dx,t,t,N1,N2,a,a,b,b,c,c,d,d,b,c,d,b,c,式中 为翼板微元abcd 截面对中性轴z 的静矩，即,h,H,z,z,翼板的切应力为水平，大小成比例。,b,b1,dx,dx,t,t,N1,N2,a,a,b,b,c,c,d,d,b,c,d,b,c,h,H,z,z,b,b1,翼板根部切应力：,腹板端部切应力：,比较二式得：,腹板与翼板接合部的切应力关系与水管流量相似，故将截面切应力流向称为切应力流。,切应力流,二、弯曲中心,z,z,z,y,y,y,z,y,z,y,z,y,Fs1,Fs2,Fs2,Fs,Fs,Fs1,Fs1
20、,Fs2,Fs2,A,C,C,C,C,C,C,A,槽形截面梁两种放置方式截面切应力流，截面剪力作用线的位置如图所示。,z,y,Fs,A,C,梁两种放置方式，截面剪力作用线的交点A 称为截面的弯曲中心。,z,y,Fs1,Fs2,C,Fs2,z,y,C,d,t,h,b,弯曲中心只与截面的几何性质有关，与材料、荷载等无关。,d,几种常见薄壁截面弯曲中心的位置：,z,y,C,A,C,A,z,y,C,A,y,z,y,z,C,A,具有两个以上对称轴的截面，弯曲中心与形心重合；,开口圆环截面，弯曲中心在圆外对称轴上；,具有两个狭窄矩形的截面，弯曲中心位于狭窄矩形中线的交点。,z,y,A,C,P,当外力的作用线过弯曲中心时，梁只发生弯曲；当外力的作用线不过弯曲中心时，梁不仅发生弯曲，还发生扭转。,当外力的作用线即过弯曲中心，又与形心主轴平行时，梁发生平面弯曲；,若外力的作用线只过弯曲中心，但不与形心主轴平行时，梁发生斜弯曲。,z,y,A,C,P,z,y,A,C,P,z,y,A,C,P,平面弯曲,斜弯曲,平面弯曲扭转,斜弯曲扭转,例10 梁的截面与荷载作用线如图所示，试判断各梁发生何种变形。,z,z,z,z,y,y,y,y,P,P,P,P,C,C,C,C,矩形截面,方形截面,T形截面,等边角钢,斜弯曲,平面弯曲,斜弯曲扭转,斜弯曲扭转,A,A,
