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1、第 三 章 扭 转,31 扭转的概念和实例,第三章 扭转,以扭转为主要变形的工程构件有：传动轴、钻杆等。,汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等,杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用,杆件的横截面绕轴线产生相对转动。,扭转受力特点及变形特点:,3.1 扭转的概念和实例,直接计算,1.外力偶矩,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,按传递功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知轴转速n 转/分钟输出功率P 千瓦求：力偶矩Me,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,T=Me,2.扭矩和扭矩图,3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,用截面法研究横截面上的内力,构件受扭
2、时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。,扭矩：,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-),3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。,目 的,扭矩图,已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。,解：（1）计算外力偶矩,例题1,解：（2）求扭矩（扭矩按正方向设）,1-1 截面,2-2 截面,3-3 截面,BC 段为危险截面:,9.6,解：（3）绘制扭矩图,9.6,解：（3）绘制扭矩图,有什么规律？,从左向右，上下对应,练 习,P78
3、 31,一、薄壁圆筒扭转时的切应力,1.实验前：,1)绘纵向线，圆周线；2)施加一对外力偶 M。,33 纯剪切,2.实验后：,1)圆周线不变；2)纵向线变成斜直线。,1)圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未 改变，只是绕轴线作了相对转动。2)各纵向线均倾斜了同一微小角度。3)所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形。,3.结论：,4)与 的关系,一、薄壁圆筒扭转时的切应力,1)在小变形下，沿杆的轴线方向无变形，即无正应力；2)横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。,根据实验现象分析：,3、理论分析,4、薄壁圆筒横截面上的切应力,A0：
4、平均半径所在圆的面积。,静力学关系：,单元体 边长为微量的正六面体,二、切应力互等定理,截取abcd 正六面体，,纯剪切应力状态:,单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。,该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。,二、切应力互等定理,剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（p)，切应力与切应变成正比关系。,三、切应变、剪切胡克定律,式中：G 是材料的一个弹性常数，称为切变模量,切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个
5、弹性常数之间存在下列关系：,拉压胡克定律：,三、切应变、剪切胡克定律,34 圆轴扭转时的应力,圆轴扭转时横截面应力,变形几何关系物理关系静力学关系,34 圆轴扭转时的应力,1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行线。,一、圆轴扭转实验观察：,34 圆轴扭转时的应力,二、圆轴扭转时横截面上的应力：,34 圆轴扭转时的应力,1.变形几何关系,1.变形几何关系：,与成正比。,扭转角沿轴线方向变化率。,34 圆轴扭转时的应力,二、圆轴扭转时横截面上的应力：,T,2.物理关系：,虎克定律：,代入上式得：,1.变形几何关系：,34 圆轴扭转时的应力,二、圆轴扭转时横截面上的应力：
6、,3.静力学关系：,令,代入物理关系式得：,极惯性矩,34 圆轴扭转时的应力,式中：T 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。该点到圆心的距离。Ip 极惯性矩，与截面形状和尺寸有关的量。,圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式：,34 圆轴扭转时的应力,尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是极惯性矩Ip值不同。,D,d,O,4.公式的讨论：,34 圆轴扭转时的应力,O,d,4.公式的讨论：,应力分布,实心截面,空心截面,4.公式的讨论：,当,令：,横截面上最大切应力公式,式中：,横截面上的扭矩,抗扭截面系数,例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm
7、作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。,解：,1kNm,20mm,40mm,强度条件：,对于等截面圆轴：,强度计算三方面：,校核强度：,设计截面尺寸：,计算许可载荷：,由公式,35 圆轴扭转时的变形,当长为 一段杆两截面间相对扭转角 为,式中：,内力扭矩（可以是x 的函数）,极惯性矩（可以是x 的函数）,切变模量,1、相对扭转角,由公式,式中：,截面上的扭矩,极惯性矩,切变模量,考虑圆轴的特点，在一定长度上，扭矩、直径是常量：,当圆轴是阶梯轴时：,35 圆轴扭转时的变形,2、单位长度上的扭转角：,或,GIp 反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。,35 圆轴扭
8、转时的变形,3、刚度条件,或,称为许用单位扭转角。,例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴的扭转角是原来的 倍？,8,16,例1：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?,解：设实心轴的直径为 d1，由,得：,0.8,0.8,1.192,0.8,0.512,从力学角度来看，扭转时采用空心轴要比实心轴来的经济、合理。这样，它的强度并未削弱多少，但却大大减轻了自重。,例2：传动轴传递外力偶矩M5kNm，材料的=30MPa,G=80GPa,=0.5/m,试选择轴的直径。,解：,d=?,例3 由无缝钢管制成的汽车传动
9、轴，外径D=90mm、内径d=85mm，工作时的最大扭矩1.5kN*m,=60MPa.校核此轴的强度。若保持最大切应力不变，将AB轴改用实心圆轴，试比较实心轴和空心轴的重量,传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。(1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2；(2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d；(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?,解：,1.外力偶矩,例题4,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按强度条件,按刚度条件,4
10、.直径d2的选取,按强度条件,5.选同一直径时,主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?,传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，而齿轮1和3输出的功率分别为0.756KW和2.98KW。若轴的转速为n=183.5r/min，材料为45钢。=40MPa，试根据强度要求确定轴的直径,练习,0.3m,0.4m,小结：1.圆轴扭转时横截面上有怎样的应力？应力的方向？怎样分布？2.横截面上切应力的计算公式？切应力和材料性能有关么？3.实心和空心圆轴极惯性矩的计算公式?,第三章 扭转,4.圆轴扭转变形时两截面的相对扭转角?5.圆轴扭转变形时单位扭转角？,The end,知识点回顾,、扭转的内力计算、扭矩图、纯剪切（薄壁圆筒）切应力的计算、切应力互等,
