哈工大集合论习题.docx

上传人:牧羊曲112 文档编号:3092608 上传时间:2023-03-10 格式:DOCX 页数:14 大小:41.41KB
返回 下载 相关 举报
哈工大集合论习题.docx_第1页
第1页 / 共14页
哈工大集合论习题.docx_第2页
第2页 / 共14页
哈工大集合论习题.docx_第3页
第3页 / 共14页
哈工大集合论习题.docx_第4页
第4页 / 共14页
哈工大集合论习题.docx_第5页
第5页 / 共14页
亲,该文档总共14页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述

《哈工大集合论习题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《哈工大集合论习题.docx(14页珍藏版)》请在三一办公上搜索。

1、哈工大集合论习题第一章 习题 1.写出方程x+2x+1=0的根所构成的集合。 2.下列命题中哪些是真的,哪些为假 3设有n个集合A1,A2,L,An且A1A2LAnA1,试证: S4.设S=f,f,试求2? S2A1=A2=L=An n5.设S恰有n个元素,证明2有2个元素。 6.设A、B是集合,证明: (AB)UB=(AUB)BB=f 7.设A、B是集合,试证A=fB=ADB 8. 设A、B、C是集合,证明: (ADB)DC=AD(BDC) 9.设A、B、C为集合,证明A(BUC)=(AB)C 10.设A,B,C为集合,证明: 11.设A,B,C为集合,证明: (AUB)C=(AC)U(BC

2、) (AIB)C=(AC)I(BC) 12.设A,B,C都是集合,若AUB=AUC且AIB=BIC,试证B=C。 13.设A,B,C为集合,试证: (AB)C=(AB)(CB) 14.设XYZ,证明Z(YX)=XU(ZY) 15.下列命题是否成立? (AB)UC=A(BC) AU(BC)=(AUB)C A(BUC)=(AUB)B 16下列命题哪个为真? a)对任何集合A,B,C,若AIB=BIC,则A=C。 b)设A,B,C为任何集合,若AUB=AUC,则B=C。 AUBAB2=2U2c)对任何集合A,B,。 d)对任何集合A,B,2e)对任何集合A,B,2AIBAB=2AI2B。 =2A2B

3、。 AB=2D2。 f)对任何集合A,B,217设R,S,T是任何三个集合,试证: SDT=(SUT)D(SIT); RD(SIT)(RDS)I(RDT); (RDS)I(RDT)RD(SUT)(RDS)U(RDT); RU(SDT)(RUS)D(RUT) 18设A为任一集,ADBBxxI为任一集族,证明: AU(IBx)=I(AUBx)xIxI19填空:设A,B是两个集合。 (a)xAUB_; (b)xAIB_; (c)xAB_; (d)xADB_; 20设A,B,C为三个集合,下列集合表达式哪一个等于A(BIC)? (AB)I(AC);(AIB)(AIC) (AB)U(AC);(AUB)(

4、AUC) (AUB)I(AUC) 21.设A,B,C为集合,并且AUB=AUC,则下列断言哪个成立? B=C AIB=AIC AIB=AIC AIB=AIC 22设A,B,C为任意集合,化简 CCCC(AIBIC)U(ACIBIC)U(AIBCIC)U(AIBICC)U(ACIBCIC)U(AIBCICC)U(ACIBICC) CCCCCADB=(AUB)I(AUB)(ADB)=(AIB)U(AIB);23证明:; CCC (ADB)=(AUB)I(AUB) 24设M1,M2,L和N1,N2,L是集合S的子集的两个序列,对ij,i,j=1,2,L,有NiINj=f。令Q1=M1,Qn=MnI(

5、UMk)C,n=2,3,Lk=1n-1。试证: NnDQnU(NiDMi)i=1n。 25设X是一个非空集合,AnX,An+1An,n=1,2,3,L试证:n,有 An=U(AmIAm=n cm+1)UIAmm=n。 VS,T,W26设V是任一集合,证明:有STW当且仅且SDTSDW且SW。 27设A1,A2,L为一集序列,记A为这样的元素的全体形成的集合:xA当且仅当在序列A1,A2,L中有无穷多项An含有x。集合A称为集序列A1,A2,L的上极限,记为limAnn,即nlimAn=A。又记A为这样的元素全体形成的集合;序列A1,A2,L中只有有限limAn=AA,A,LA12项不含有这样的

6、元素。称为序列的下极限,并记n。证明; nlimAn=UIAkn=1k=n;nlimAn=IUAkn=1k=n。 28证明:nlimAnlimAnnlimAnlimAnnn。 29设A=a,b,c,B=e,f,g,h,C=x,y,z。求AB,BA,AC,AB。 30设A,B为集合,试证:ABBA的充要条件是下列三个条件至少一个成立: A=f;B=f;A=B。 31设A,B,C,D为任四个集合,证明: 2(AIB)(CID)=(AC)I(BD) 32设E1,E2,E3,E4为任意集合,试证: (E1E2)(E3E4)=(E1E3)E2)U(E1(E2E4) CCCCC(AB)=(AB)U(AB)

7、U(AB) AX,BY33设,试证:34设A,B,C为集合,证明: 35设A,B为集合,下列命题哪些为真? (x,y)ABxA且yB (x,y)ABxA或yB A(BDC)=(AB)D(AC) =2A2B 若AC=BC,则A=B。 若AC=BC,Cf,则A=B。 236设A有m个元素,B有n个元素,则AB是多少个序对组成的?AB有多少个不同的子集? 37设A,B为集合,Bf,试证:若ABBB,则A=B。 38.某班学生中有45正在学德文,65正在学法文。问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文? 39求1到250之间不能被2,3,5,7中任一数整除的数的个数。 40设A,B是两个有限集,

8、试求 41马大哈写n封信,n个信封,把n封信放入到n个信封中,求全部装错的概率是多少? 42毕业舞会上,小伙子与姑娘跳舞,已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞,但未能与所有姑娘跳过。同样地,每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞,但也未能与所有的小伙子跳过舞。证明:在所有参加舞会的小伙与姑娘中,必可找到两个小伙子和两个姑娘,这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞,而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。 AB22AB=?第二章 习 题 1.设A,B是有穷集,A=m,B=n 计算 从A到A有多少个双射? AB(X+1)个。 2.设X是一个有穷集合,证明:从X到X的部分映射共有3.

9、证明:从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点,那么这5个点中必有2个点,它们之间的距离至多为1/2,而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。 4.证明在52个整数中,必有两个整数,使这两个整数之和或差能被100整除。 -1-1f(CD)=f(D) f:XYC,DY5.设,证明6. 设f:XY, A,BX,证明 Xf(AUB)=f(A)Uf(B) f(AIB)f(A)If(B) f(A)f(B)f(AB) 7.设f:XY,AX,BY。以下四个小题中,每个小题均有四个命题,这四个命题有且仅有一个正确,请找出正确的那个。 若f(x)f(A),则x未必在A中 若f(x)f(A),则xA 若f(

10、x)f(A),则xA c若f(x)f(A),则xA -1-1f(f(B)=Bf(f(B)B -1-1cf(f(B)Bf(f(B)=B -1-1f(f(A)=Af(f(A)A -1f(f(A)A 上面三个均不对 f(A) f(B) -1yY,则f(y)x 若若yY,则f-1(y)x cc8.设f:XY,AX,则(f(A)f(A)成立吗? 9.设X是一个无穷集合,f:XY。证明:存在X的一个真子集E使得f(E)=E。 B10.设f:AB,证明T2,都有f(f-1(T)=TIf(A) 11.设X=a,b,c,Y=0,1,Z=2,3,f:XY,f(a)=f(b)=0, f(c)=1;g:YZ,g(0)

11、=2,g(1)=3,试求gof。 1234512345s1=,s2-1-1ss,ss,s,s4321532514122112,求12.设。 123456789791652348分解成对换的乘积。 13.将置换14.设s是任一n次置换,试证:s与s -1的奇偶性相同。 第三章 习 题 1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系? 2.是否存在一个同时不满足自反性,对称性,反对称性,传递性和反自反性的二元关系? 3.设R,S是X上的二元关系,下列命题哪些成立: a)若R与S是自反的,则RUS,RIS分别也是自反的。 b) 若R与S是对称的,则RUS,RIS分别对称的 c) 若R与S是传递的,则

12、RIS也是传递的 d) 若R与S不是自反的,则RUS也不是自反的 e) 若R与S是反自反的,则RUS,RIS也是反自反的 f) 若R是自反的,则R也是反自反的。 g) 若R与S是传递的,则RS是传递的 答案:真真真假真真假 4.设R、S是X上的二元关系。证明: -1-1-1-1-1(RUS)=RUS(R)=R; -1-1-1-1-1(RIS)=RISRSRS;若,则 -15.设R是X上的二元关系,证明:RUR是对称的二元关系。 c6.有人说:“若R是X上的二元关系,只要R是对称的和传递的,则R必是自反的。”他的证明如下:若xRy,则由R的对称性便知有yRx。于是由xRy和yRx以及R的传递性即

13、得xRx。所以,R是自反的。他的推论错在什么地方?这个结论是否对呢? 7.“父子“关系的平方是什么关系? 8.设X=1,2,3,4,R=(1,2),(2,2),(3,4),S=(2,3),(3,1),(4,2) 22RoS,SoR,R,S,Ro(SoR),(RoS)oR。 试求:9.设R与S为X上的任两个集合,下列命题哪些为真? a)若R,S都是自反的,则RoS也是自反的。 b)若R,S都是对称的,则RoS也是对称的。 c)若R,S都是反自反的,则RoS也是反自反的。 d)若R,S都是反对称的,则RoS也是反对称的。 e)若R,S都是传递的,则RoS也是传递的。 10.设R1是A到B,R2和R

14、3是B到C的二元关系,则一般情况下 R1o(R2R3)(R1oR2)(R1oR3)。但有人声称等号成立,他的证明如下:设(a,c)R1o(R2R3),则$bX,使得(a,b)R1且(b,c)R2R3。于是(b,c)R2且(b,c)R3。从而(a,c)R1oR2且(b,c)R1gR3,所以(a,c)(R1oR2)(R1oR3),即R1o(R2R3)(R1oR2)(R1oR3)。同理可证相反的包含关系成立,故等式成立,这个证明错在什么地方? 11.设R,S是X上的满足RoSSoR的对称关系,证明RoS=SoR. 12.设R为X上的对称关系,证明:nN,R是对称关系。 13.设R1,R2,R3,L是

15、X上的二元关系的一个无穷序列,则当每个Ri是对称关系时,nURii=1还是对称的吗? 14.设R是X上的二元关系,试证 (R+)+=R+,(2)(R*)*=R*,(3)RoR*=R*oR=R+,(4)(R+)*=(R*)+=R+。 15.设X,R,试求R和R。 16.设R,S为X上的二元关系,试证:(RUS)RUS (RUS)RUS 17.举例说明s(t(R)与t(s(R)确定不相等。 18.是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系的反对称闭包?为什么? 19.是否存在X上的一个二元关系R使得R,R,L,R两两不相等。 20.证明:若R是对称的,则R也是对称的。 21.设R1,R2是X上的二

16、元关系,证明: r(R1UR2)=r(R1)Ur(R2) S(R1UR2)=s(R1)Us(R2) t(R1UR2)t(R1)Ut(R2) 2n*+*12345678s=36581274确定了X=1,2,L,8上的一个关系22.由置换:i,jX,ij当且仅当i与j在s的循环分解式中的同一循环置换中,证明:是X上的等价关系,求X/。 23.给出X1,2,3,4上两个等价关系R与S,使得RoS不是等价关系。 24.设X是一个集合,试求: X上自反二元关系的个数; X上反自反二元关系的个数; X上对称二元关系的个数; X上自反或对称关系的个数; 25.设a,b是一个有限区间。令S是区间a,b上的有限划分的集合。a,b的一个划分p是形如a=x1x2Lxn=b,nN的点的集合。在S上定义二元关系R如下:p1,p2S,p1Rp2p2的每个分点也是p1的分点。证明:R是S上的偏序关系。 26.是否存在一个偏序关系,使中有唯一极大元素,但没有最大元素?若有请给出一个具体例子;若没有,请证明之。 27.令S1,2,12,画出偏序集的Hass图,其中“|”是整除关系,它有几个极大元素?列出这些极大元素 X=n

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索

当前位置:首页 > 生活休闲 > 在线阅读


备案号:宁ICP备20000045号-2

经营许可证:宁B2-20210002

宁公网安备 64010402000987号