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1、导函数的答题练习及答导函数的答题练习及答案 1、已知函数f(x)=ax+lnx(aR).求f(x)的单调区间； 设g(x)=x2-2x+2，若对任意x1(0,+)，均存在x20,1，使得f(x1)0). 当a0时，由于x0，故ax+10，f(x)0 所以，f(x)的单调递增区间为(0,+). 当a0，在区间(-a上f(x)0， 1a,+)所以，函数f(x)的单调递增区间为(0,-)，单调递减区间为(-a. 所以，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,+). 当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,-)，单调递减区间为(-a11a,+). 由已知，转化为f(x)maxg(x)max. 由已
2、知可知g(x)max=g(0)=2 由(1)知，当a0时，f(x)在(0,+)上单调递增，值域为R，故不符合题意. 当a-1-ln(-a)，解得2a-1) 令g(x)=2x+2x+a，则D=4-8a 当D12时，g(x)0，从而f(x)0，故函数f(x)在(-1,+)上单调递增； 1 当D=0，即a=12时，g(x)0，此时f(x)0，此时f(x)在f(x)=0的左右两侧不变号，故函数f(x)在(-1,+)上单调递增； 12当D0，即a-12，当1-2a1，即a0时，x1-1，当0a-1 -1+1-2a21-2a2故当a0时，函数f(x)在(-1,)单调递减，在(,+)单调递增；当0a0时，g
3、(x)0，即y=g(x)在(0,+)上是单调递增函数 /所以g(x)=0有唯一根x=1；且当x(0,1)时，f(x)=上是减函数；当x(1,+)时，f(x)=/g(x)x20，f(x)在(1,+)上是增函数； ln11=1 所以x=1是f(x)的唯一极小值点极小值是f(1)=1-f(x)=1+/a-alnxx2=x2-alnx+ax2，令h(x)=x-alnx+a 2由题设，对任意a(0,m，有h(x)0，x(0,+)， 2 又h(x)=/2x2-a2(x-=a2)(x+xa2)xa2当x(0,)时，h(x)0，h(x) /是增函数；所以当x=a2a2时，h(x)有极小值，也是最小值h(a2)
4、=(32-lna2)a， 又由h(x)0得(32-ln2)a0，得a2e，即m的最大值为2e 334、已知函数f(x)=x-alnx在为减函数. 求f(x)、g(x)的表达式； 求证：当x0时，方程f(x)=g(x)+2有唯一解； 当b-1时，若f(x)2bx-Qf(x)=2x-ax1x2在x由可知，原方程为x-2lnx=x-2x+2,即x-2lnx-x+2x-2=0. 设h(x)=x-2lnx-x+2x-2,由h(x)=2x-22x-1+1x, 令h(x)0,x0,(x-1)(2xx+2x+令h(x)0,x0,解得0x0,x1. 递减 1 0 0 + 递增 即h(x)在x=1处有一个最小值0
5、，即当x0且x1时，h(x)0，h(x)=0只有一个解. 即当x0时，方程f(x)=g(x)+2有唯一解. 3 Qf(x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x,当x(0,1时f(x)为减函数，其最小值为1. 令y=2bx-1x2,则y=2b+1x22x3,Qb-1,x(0,1y0在(0,1恒成立. 函数y=2bx-依题意b-12b-11在x(0,1为增函数，其最大值为2b1， ，解得-1b1.为所求范围. 5、已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线m：y=kx+9 . 又f(-1)=0. (1)求a的值； (2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y
6、=f(x)的切线，又是y=g(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由. (3)如果对于所有x-2的x,都有f(x)kx+9g(x)成立，求k的取值范围. f(x)=3ax2+6x-6a,因为f(-1)=0所以a=2. (2)因为直线m恒过点.先求直线m是y=f(x) 的切线. 设切点为(x0,3x02+6x0+12), g(x0)=6x0+6.切线方程为y-(3x02+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0), 将点代入得x0=1. 当x0=-1时，切线方程为y=9, 当x0=1时，切线方程为y=12x+9. 2由f(x)=0得-6x+6x+12=0，即有x=-1,x=2 /
7、当x=-1时，y=f(x)的切线y=-18， 当x=2时， y=f(x)的切线方程为y=9 /2 y=9是公切线，又由f(x)=12得-6x+6x+12=12x=0或x=1， 当x=0时y=f(x)的切线为y=12x-11，当x=1时y=f(x)的切线为y=12x-10， y=12x+9，不是公切线， 综上所述 k=0时y=9是两曲线的公切线 2 (3).kx+9g(x)得kx3x+6x+3，当x=0，不等式恒成立，kR. 当-2x0时，不等式为k3(x+当x-2时,kx+9g(x)恒成立，则0k12 32由f(x)kx+9得kx+9-2x+3x+12x-11 2当x=0时，9-11恒成立，k
8、R，当-2x0时有k-2x+3x+12-20x 4 设h(x)=-2x2+3x+12-当-2x0时-2(x-3420x)+2=-2(x-105834)+21058-20x20x， 为增函数，-也为增函数 h(x)h(-2)=8 要使f(x)kx+9在-2x0时f(x)=-6x+16x+12=-6(x+1)(x-2) 在x(0,2时f(x)0，在(2,+)时f(x)0,k0时kx+99， f(x)kx+9一定成立，综上所述0k8. 6、已知函数f(x)=x-ax+bx+c的图象为曲线E. 1)若曲线E上存在点P，使曲线E在P处的切线与X轴平行，求a,b的关系式； 2）说明函数f(x)可以在x=-
9、1和x=3时取得极值，并求出此时a,b的值； 3）在满足的条件下，f(x)x-3x-9x在-2,6上恒成立，即c( x-3x-9x)max 在-2,6上恒成立 设g(x)= x-3x-9x,则g(x)=3x-6x-9, 令g(x)0,则x3, 令g(x)0,则-1xg(-1)g(-2) g(x)在-2,6上的最大值为54， 故c54. 7、已知函数f(x)=x+bx+cx+d定义在上递增，在0,2上递减。 1）求c的值； 2）求证：b-3 解：1）f(x)=3x+2bx+c, - 2可知f(0)=c=0.-4 2)由f(x)=3x+2bx=0 -5 得x1=0,x2=-因为f(x)在上递增，在
10、0,2上递减， 则-2b3/3/3/332b3,-7 /2，-11 即b-3.-12 / 5 8、已知函数f(x)= -x+ax+b 上单调递减，求a的取值范围； 若x0,1时，设y=f(x)上任意一点处的切线的斜率为k，当|k|1时，求实数a的范围。 1）f(x)=-2x+2ax,-1 要使f(x)在上单调递减，则f(x)=-3x+2ax0在上恒成立，-3 即a3x2/3在上恒成立，-5 所以a0.-6 /2)f(x)在0,1上任意一点处的斜率k-1,1，则|-3x+2ax|1,在0,1上恒成立，-8 |f/(1)1a1a所以，当01即01即a3时，|f(1)|0得xe,令f(x)e,又f(
11、x)的定义域为，/所以f(x)在上递增，在上递减，-4 从而f(x) man=f(e)= 2)要证f(x)1-1x1e.-5 lnxx/即证/1-1x1x，因为x0,所以只需证lnx-x+10. 1-xx令g(x)=lnx-x+1,则g (x)= -1= ,令g(x)0得0x1,令g(x)1(x0舍/去)，所以g(x)在上递增，在上递减，所以g(x)g(1)=0,即lnx-x+10成立，即f(x)1-1x成立。-9 / 6 3）由2）知，f(x)1-1x，从而f(n)1-1221n2, 1n2所以f(2)+f(3)+f(n)1-1n2+1-132+1-=若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a
12、的取值范围； 是否存在实数a,使f(x)在上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； 3证明：f(x)=x-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方. 2解 由已知f(x)=3x-a,f(x)在上是单调增函数， 22f(x)=3x-a0在上恒成立，即a3x对xR恒成立. 223x0,只需a0,又a=0时，f(x)=3x0, 故f(x)=x-1在R上是增函数，则a0. 22解 由f(x)=3x-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x,x(-1,1)恒成立. 22-1x1,3x3,只需a3.当a=3时，f(x)=3(x-1), 在x(-1,1)上，f(x)0,即f(x)在上为减函数，
13、a3. 故存在实数a3,使f(x)在上单调递减. 证明 f(-1)=a-20，当x(-3,0)时f(x)0当x=-3时,函数f(x)有极大值，f(x)极大值f(-3)=5e3， 7 当x=0时，函数f(x)有极小值，f(x)极小值=f(0)=-1 2a+b=-3 即 b=-2a-3 x2xx2又f(x)=(2x+a)e+(x+ax+b)e=ex+(2+a)x+(a+b) x2xf(x)=ex+(2+a)x+(-3-a)e(x-1)x+(3+a) 当-3-a=1即a=-4时，f(x)=e(x-1)0 函数f(x)在(-,+)上单调递增；当-3-a1，即a0得x-3-a或x1，由f(x)0得1x-
14、3-a； x2当-3-a-4时，由f(x)0得x1， 由f(x)0得-3-ax1； 综上得：当a=-4时，函数f(x)在(-,+)上单调递增；当a-4时,函数f(x)在(-,-3-a)和(1,+)上单调递增，在(-3-a,1)上单调递减 12、设函数f(x)=ln(x+a)+2x。）若当x=-1时，f(x)取得极值，求a的值； ）在的条件下，方程ln(x+a)+2x-m=0恰好有三个零点，求m的取值范围； 解: f/22(x)=1x+a+4x Q当x=-1时,f(x)取得极值, 52+2x=m4f(-1)=1-1+a-4=0,a=54. (2) 由lnx+52+2x-m=04得lnx+,令f(
15、x)=52lnx+2x,g(x)=m4则由已知条件转化为f(x)与g(x)的图像有3个交点 Qf/(x)=1x+54+4x=4(4x+1)(x+1)4x+5,(x-54)由f/(x)0-545x-14;f/(x)140-1x-141,+4故函数f(x)在-f,-14单调递增,在-1,-11f-=48单调递减, -单调递增 (-1)=2-2ln2为极大值; 为极小值 8 如图,当1f-mf4(-1)时, f(x)与g(x)的图像恰有3个交点12218m2-2ln213、已知f(x)=x3-x+bx+c若f(x)的图象有与x轴平行的切线，求b的取值2范围；若f(x)在x=1时取得极值，且x(-1,
16、2),f(x)0；1)当x(-,33时，f(x)0 时，f(x)有极大值2227+c 又f(-1)=+c，f(2)=2+c， 2即当x-1,2时，f(x)的量大值为f(2)=2+c,对x(-1,2)时，f(x)c恒成立， 2c2+c，c-1或c2 故c的取值范围是(-,-1U2,+) 14、设函数f(x)=x+aln(x+1).()求函数f(x)的单调区间； ()若函数F(x)=f(x)+ln2有两个极值点x1,x2且x1214 解：()函数f(x)的定义域为(-1,+)，f(x)=2x+ax+1=2x+2x+ax+12(x-1) 令g(x)=2x+2x+a，则D=4-8a 当D当D=0，即a
17、=12122时，g(x)0，从而f(x)0，故函数f(x)在(-1,+)上单调递增； 时，g(x)0，此时f(x)0，此时f(x)在f(x)=0的左右两侧不变号，故函数f(x)在(-1,+)上单调递增； 12当D0，即a-12，当1-2a1，即a0时，x1-1，当0a-1 -1+1-2a2故当a0时，函数f(x)在(-1,)单调递减，在(,+)单调递增；9 当0a12时，函数f(x)在(-1,-1-1-2a2),(-1+1-2a2,+)单调递增，在(-1-1-2a2,-1+1-2a2)单调递减 ()F(x)=f(x),当函数F(x)有两个极值点时0a-1+1-2a2212，01-2a1， 故此时x2=(-12,0)，且g(x2)=0，即a=-(2x22222+2x2)， F(x2)=x2+aln(1+x2)+ln222=x2-(2x+2x2)ln(1+x2)+ln122, 设h(x)=x-(2x+2x)ln(1+x)+ln2，其中-x0， 则h(x)=2x-2(2x+1)ln(1+x)-2x=-2(2x+1)ln(1+x)， 由于-12x0，故函数h(x)在(-12)=1412,0)上单调递增， 故h(x)h(- F(x2)=h(x2)14 10
