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1、抛物线方程12.3.1 抛物线及标准方程 教学目标 知识与技能： 使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程； (2) 能根据已知条件写出抛物线的标准方程。 过程与方法： 掌握抛物线开口向右的抛物线的标准方程及其推导过程； 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养； 情感、态度、价值观： 培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美； 培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。 教学重点 抛物线的定义, 根据条件求出抛物线的标准方程 教学难点 抛物线的标准方程的推导过程 教学过程 一、复习提问
2、 问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？ 在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？ 问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？ 在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线. 回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹， 二、新知讲授 简单实验 如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固
3、定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线 第 1 页 共 6 页 由上面的探究过程得出抛物线的定义 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 注: 定点F不在这条定直线l；(准线) 定点F在这条定直线l，则点的轨迹是什么？*(是过F点与直线l垂直的一条直线-直线MF,不是抛物线) (3)动点到定点的距离|
4、MF| (4)动点到 定直线的距离 d； |MF|=d 动点M的轨迹-抛物线 (ii) 抛物线标准方程的推导过程 方案1：(由第一组同学完成，)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MDy轴于D，抛物线的集合为：p=M|MF|=|MD|化简后得：y=2px-p(p0) 方案2：(由第二组同学完成) 以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MDl于D，抛物线的集合为： p=M|MF|=|MD| 化简得：y=2px
5、+p(p0) 方案3：(由第三、四组同学完成，) 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32) 2222第 2 页 共 6 页 抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p=M|MF|=d 化简后得：y=2px(p0) 引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍 它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F(它的准线方程是x=-2p,0)， 2p 2 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，
6、有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=-2px，x2=2py，x2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下 由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)： 第 3 页 共 6 页 相同点：(1)抛物线都过原点； (2)对称轴为坐标轴； (3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称； 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的12pp=； ，即442不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为2px、左端为y；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为2py，左端为
7、x 22 当对称轴为x轴时，方程等号右端为2px，相应地左端为y；当对称轴为2y轴时，方程等号的右端为2py，相应地左端为x同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号 2三、例题讲解 例1 已知抛物线标准方程是y=6x，求它的焦点坐标和准线方程 2第 4 页 共 6 页 已知抛物线的焦点坐标是F，求它的标准方程 分析：在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可； 求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。 解析：p=3，焦点坐标是准线方程是x=- 22p焦点在y轴负半轴上，2， 2所以所求抛物线的标准议程是x2=-
8、8y 例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程： 焦点坐标是F经过点A 分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况 解：焦点在x轴负半轴上，p5， 2所以所求抛物线的标准议程是y2=-20x 经过点A的抛物线可能有两种标准形式：y2px或x2py 点A坐标代入，即94p，得2p2229 24 3点A坐标代入x2py，即46p，得2p所求抛物线的标准方程是y=294x或x2y 23例3 已知抛物线的标准方程是y2=12x，y=12x2，求它的焦点坐标和准线方程 分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是根据示意
9、图确定属于哪类标准形式，求出参数p的值 解：p=6，焦点坐标是准线方程x=-3 2先化为标准方程x=111y，p=，焦点坐标是， 24482准线方程是y=-1. 48例4 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束近似平行状态社如轴截面为抛物线的接受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深度为0.5m，求抛第 5 页 共 6 页 物线的标准方程和焦点坐标。 解：设抛物线的标准方程是y2=2px (p0)。有已知条件可得，点A的坐标是代入方程，得2.4=2p*0.5即=5.76 所以，抛物线的标准方程是y2=11.52x，焦点坐标是 P值的几何意义：表示焦点到准线的距离 0为常数
10、P值等于一次项系数绝对值的一半 四、课堂练习 1求下列抛物线的。焦点坐标和准线方程 y8x 2x4y 2y3x0 y=-2212x 62根据下列条件写出抛物线的标准方程 焦点是F 准线方程是y=1 3焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上 经过点A 3抛物线x4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标 2点评：练习时注意由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；p表示焦点到准线的距离故p0； 根据图形判断解有几种可能 五、归纳总结 1、抛物线的定义、焦点、准线 2、参数p焦点到准线的距离 3、抛物线的4种标准方程：定位条件和定型条件 4、建系原则 六、课后作业 P82页 练一练 1 2 3 第 6 页 共 6 页
