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1、数值分析第3章课后答案1、下列向量序列x是否有极限？若有，求出其极限向量。 x(k)11=e-kcosk,ksin, 3+2; kk2cosk=ke-k，k2+k-k； kTTx存在极限 解：limek-kcosk=0 limksink1=1 k1lim3+2=3 kkx*=0 1 3 -k2解：limkek=0 cosk=0 kklimlimkk2+k-k=12* x=0 0 12 2、取x0为零向量，分别用J迭代法和GS迭代法求解下列方程组，计算至x10-5时停止迭代。 或准确到10x1-x2=9,-x1+10x2-2x3=7,-2x+10x=6.13解：(1)J法迭代： x1(k+1)=
2、(x2k(+)9)/10,(k+1)(k)=(x1(k)+2x3+7)/10,x2(k+1)(k)=(6x2+6)/10.x3 取 x0为T 1-90010k+1）10x70xx2=2=10,1010k+1）k）xxx2=k+1）xx127x2=10,10x36010 3.对于方程组Ax=b,若分别用J法和GS迭代法求解，分析是否收敛？ 1 2 -22 -1 1A=1 1 1A=2 2 2 22 1-1-1212-2解：由系数矩阵A=111可知， 22120-2210-2-1BJ=D(L+U)=1-10-1=-10-1，由 1-2-20-2-20l2-2lI-BJ=1l1=l3=0可知，r(B
3、J)=0，从而雅可比迭代法收敛。 22l1000-221 000-220-22BG=(D-L)-1U=11000-1=-11000-1=02-322100000 -210004-2-1由lI-BG=l(l-2)2=0可知， r(BG)=21，从而高斯-塞德尔迭代法不收敛。 020 1-1-1BJ=D(L+U)=2-20 -2=-11 1 0122 1-1220-1 1 0255由lI-BJ=l3+l=0，得 r(BJ)=1 错误！未找到引用源。Jacobi迭代42法发散 110 -1222 0 001-111BG=(D-L)-1U=2 2 000-2=0- 22-1-1200010 0 -21
4、1由lI-BG=ll+=0得r(BG)=1 1=0 a21 a11a1 a0同理，GS法的迭代矩阵为BG=0-1a 1a2则BG的特征多项式为lI-BG=ll-解得BG的特征值是l1=0，l2=GS迭代法收敛r(BG)=1=0 a211r(B)=， G22aa11 a2即GS迭代法收敛a1 综上所述，解方程组的J迭代法和GS迭代法同时收敛。 收敛速度之比为R(BG)-lnr(BG)=R(BJ)-lnr(BJ)12a=2。 1-lna-lna11a12x1b15、 方程组=，其中系数矩阵行列式不为零，且a11a220。 aa2122x2b2证明解方程组的J迭代法和GS迭代法同时收敛或不收敛。 求
5、两种方法收敛速度之比。 0解：由题意知，J法的迭代矩阵为BJ=-a21a22则BJ的特征多项式为-a12a11 0lI-BJ=l2-a12a21a11a22a12a211 a11a22a12a21=0 a11a22解得BJ的特征值是l1,2=J迭代法收敛r(BJ)=即J迭代法收敛a12a211 a11a22-a12a11 a12a21a11a220同理，GS法的迭代矩阵为BG=0则BG的特征多项式为lI-BG=ll-a12a21=0 a11a22解得BG的特征值是l1=0，l2=a12a21aa，r(BG)=1221 a11a22a11a22GS迭代法收敛r(BG)=a12a211 a11a2
6、2a12a21a11a22a12a21a11a22综上所述，解方程组的J迭代法和GS迭代法同时收敛。 R(BG)-lnr(BG)=收敛速度之比为R(BJ)-lnr(BJ)1a0x1b16.分析方程组a1ax2=b2 0a1x3b3J迭代法和GS迭代法的收敛性。 解：对于J迭代法，易得 -ln-ln=2。 0 -a 0 BJ=D-1(L+U)=-a 0-a 0 -a 0 令 :lI-BJ=0解得l1=0,l2,3=2a，r(BJ)=2a 2a1-22 a22 J迭代法收敛r(BJ)= 对于G迭代法，易得 0 -a0-12-a BG=(D-L)U=0 a320 -a a由lI-BG=l2(l-2a2)=0可知，r(BG)=2a2， GS迭代法收敛r(BG)=2a21-22 a22综上所述，雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均在 a1 时收敛 2
