数学人教高二选修21导数及其应用.docx

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1、数学人教高二选修21导数及其应用更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 导数及其应用复习讲义 一、知识复习： 1. 导数的定义： 设x0是函数y=f(x)定义域的一点，如果自变量x在x0处有增量Dx，则函数值y也引起相应的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)；比值Dyf(x0+Dx)-f(x0)称为函数y=f(x)在点x0到x0+Dx之间的平均变化率；=DxDx如果极限limf(x0+Dx)-f(x0)Dy存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y=f(x)=limDx0DxDx0Dxf(x0+Dx)-f(x0)Dx在x0处的导数。 f(

2、x)在点x0处的导数记作yx=x0=f(x0)=limDx02 导数的几何意义： 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x)处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x)处的切线的斜率是f(x0)，切线方程为y-y0=f(x)(x-x0). 3基本常见函数的导数: C=0; x()=nxnn-1; (sinx)=cosx; (cosx)=-sinx; (e)=e; (a)=alna; (lnx)=xxxx11; (logax)=logae. xx二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导

3、数的和(或差)， 即： f(x)g(x)=f(x)g(x) 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cf(x)=Cf(x).(C为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平f(x)f(x)g(x)-f(x)g(x)方：g(x)0)。 (=2g(x)g(x)2.复合函数的导数 j(x). 形如y=fj(x)的函数称为复合函数。法则： fj(x)=f(m)g更多精品讲义请关

4、注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 1 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 三、导数的应用 1.函数的单调性与导数 设函数y=f(x)在某个区间(a,b)可导， 如果f(x)0，则f(x)在此区间上为增函数； 如果f(x)0，则f(x)在此区间上为减函数。 如果在某区间内恒有f(x)=0，则f(x)为常函数。 2函数的极点与极值：当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值. 3函数的最值： 一般地

5、，在区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值。函数f(x)在区间a,b上的最值只可能在区间端点及极值点处取得。 求函数f(x)在区间a,b上最值的一般步骤：求函数f(x)的导数，令导数f(x)=0解出方程的跟在区间a,b列出x,f(x),f(x)的表格，求出极值及f(a)、f(b)的值;比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值 4相关结论总结： 可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 5.定积分 概念 设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xi0,解得x2,故选D () 已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2

6、-x)-x2+8x-8，则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程是 ( ) A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 答案 A 解析 由f(x)=2f(2-x)-x+8x-8得几何f(2-x)=2f(x)-(2-x)+8(2-x)-8， 即2f(x)-f(2-x)=x+4x-4，f(x)=xf(x)=2x，切线方程y-1=2(x-1)，即22/222x-y-1=0选A 点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。 例6若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上是增函数， 则函数y=f(x)在区间a,b上的图象可能是 y y y y ( ) o a b x o a

7、o b x a o b x a b x 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 5 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 A B C D 解析 因为函数y=f(x)的导函数y=f(x)在区间a,b上是增函数，即在区间a,b上各点处的斜率k是递增的，由图易知选A. 注意C中y=k为常数噢. 1和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 。 x1解析：曲线y=和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它x3们与x轴所围成的三角形的面积是。 4曲线y=点评：导数的运算可以

8、和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。 题型4：借助导数处理单调性、极值和最值 例7对于R上可导的任意函数f，若满足f0，则必有 Aff2f 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 A1个 B2个 C3个 D 4个 已知函数f(x)=13ax+bx2+x+3,其中a0 3当a,b满足什么条件时,f(x)取得极值? 已知a0,且f(x)在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 2解: (1)由已知得f(x)=ax+2bx+1,令f(x)=0,得ax+2bx+1=0, 2f

9、(x)要取得极值,方程ax2+2bx+1=0必须有解, 所以=4b-4a0,即ba, 此时方程ax+2bx+1=0的根为 222-2b-4b2-4a-b-b2-a-2b+4b2-4a-b+b2-a,x2=, x1=2aa2aa所以f(x)=a(x-x1)(x-x2) 当a0时, x f(x) f (x) ( ,x1) 增函数 x 1 0 极大值 (x1,x2) 减函数 x2 0 极小值 (x2,+) 增函数 所以f(x)在x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 6 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beik

10、ehere 备课宝出品 当aa时, f(x)取得极值. (2)要使f(x)在区间(0,1上单调递增,需使f(x)=ax2+2bx+10在(0,1上恒成立. 2ax1ax1-,x(0,1恒成立, 所以b(-)max 22x22x12a(x-)ax1a1a-设g(x)=-,g(x)=-+2=, 222x22x2x即b-令g(x)=0得x=11或x=-(舍去), aa当a1时,01ax110,g(x)=-单调增函数; a22xa当x(ax11,1时g(x)0,g(x)=-单调减函数, 22xa所以当x=11)=-a. 时,g(x)取得最大,最大值为g(aa所以b-a 当01时, b-a; 当00，由

11、f率为0，问题转化为x0范围内导函数f(x)=2ax+1。因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜x1存在零点 x1解法1 再将之转化为g(x)=-2ax与h(x)=存在交点。当a=0不符合题意，当a0时，如x(x)=2ax+图1，数形结合可得显然没有交点，当a0如图2，此时正好有一个交点，故有a0应填(-,0) 或是a|a0。 解法2 上述也可等价于方程2ax+ 11=0在(0,+)内有解，显然可得a=-2(-,0) x2xx+1,(-1x0,a1)在C上有解，求实数a的取值范围； 记f(x)在C上的值域为A，若g(x)=x3-3tx+,x0,1的值域为B，且AB，求实数t的取值范围 解f(x)+

12、f(-x)=2x2 2当x0时，2x2x 0x1 2当x0时，2x-2x -1x1时，u,a，h(u)=0 在,a上有解， 1a1a111h=2-1+-50则aa5 aa2h(a)=a-(a-1)a-5011当0a1时，ua,，g(u)=0 在a,上有解， aah(a)01则1 0a h02a1所以，当00时，任取x1,x20,1，x1x2 2g(x1)-g(x2)=x1-3tx1-x2+3tx2=(x1-x2)(x1+x1x2+x2-3t) 0 332122若t1，0x11，0x21，x1x2，x1+x1x2+x20，函数g(x)在区间0,1单调递减，B=1-5tt, 22更多精品讲义请关注

13、微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 9 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 1-20 51t-24：又t1，所以t4。 t22若0t1， 若g(x1)-g(x2)3t，x13t，x1t. 于是当x1,x2t,1时，x12+x1x2+x223t,g(x1)-g(x2)0； 当x1,x20,t时，x12+x1x2+x220. 因此函数g(x)在t,1单调递增；在0,t单调递减. g(x)在x=t达到最小值 2g(0)2或g(1)2t4或t-要使AB，则， 15g(t)-3248(t)-2(t)-10因为0t2 所以k+12,故k1 22

14、当k=1时，f(x)=x-2x=(x-1)-1在x(2,+)恒大于0， 故f(x)在(2,+)上单增，符合题意. 所以k的取值范围为k1. x3(k+1)21-x+kx- 设h(x)=f(x)-g(x)=323h(x)=x2-(k+1)x+k=(x-k)(x-1) 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 10 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 令h(x)=0得x=k或x=1 由知k1， 当k=1时，h(x)=(x-1)20,h(x)在R上递增，显然不合题意 当k0,欲使f(x)与g(x)图象有三个不同的交点， 2即方

15、程f(x)=g(x) 也即h(x)=0有三个不同的实根 k3k21+-0即(k-1)(k2-2k-2)0, 故需-623所以k12,解得k0综上，所求k的范围为k1-3. 点评：该题是数列知识和导数结合到一块。 题型6：导数实际应用题 例11请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥。试问当帐篷的顶点O到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。 222解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为3+(x-1)=8+2x-x。 于是底面正六边形

16、的面积为： 232+(x-1)2=6g333g(8+2x-x2)2=(8+2x-x2)。 42更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 11 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 帐篷的体积为： 3V(x)=3331(8+2x-x2)(x-1)+1=(16+12x-x3) 2323(12-3x2)； 2求导数，得V(x)=令V(x)=0解得x= 2(不合题意，舍去),x=2。 当1x0,V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0,V(x)为减函数 所以当x=2时,V(x)最大。 答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大 点评：结

17、合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。 例12已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,下图是其运动轨迹的一部分，若t,4时，21s(t)02当t(1,3)时,s(t)0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d又s(4)=4+d1故t,4时,s(t)的最大值为4+d.21已知s(t)3d2在,4上恒成立2s(t)max3d2即4+d或d0。 解析：物体的速度V=a当x=0时，t=0；当x=a时，t=t1=3， b更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 1备课宝出品 13 更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 又d

18、s=vdt，故阻力所作的功为： Wzu=Fzuds=kv2vdt=kv3dt=k(3bt2)3dt=000t1t1t1273727372kbt1=kab 77依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以S=(ax2+bx)dx=0-ba13b(1) 6a22又直线xy=4与抛物线y=axbx相切，即它们有唯一的公共点， x+y=4由方程组 2y=ax+bx得ax(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)16a=0 于是a=-221(b+1)2,代入式得： 16128b3128b2(3-b)； S(b)=,(b0)，S(b)=3(b+1)56(b+1)4令S(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S(b)0；当b3时，S(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且Smax=点评：应用好定积分处理平面区域内的面积 9。 2更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品 14