沪科初三数学知识点总结.docx

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1、沪科初三数学知识点总结初三数学知识点总结 一、二次函数概念： a0）b，c是常数，1二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c平移m个单位，y=ax2+bx+c变成 y=ax2+bx+c+m y=ax2+bx+c沿轴平移：向左平移m个单位，y=ax2+bx+c变成y=a(x+m)2+b(x+m)+c 四、二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c的比较 从解析式上看，y=a(x-h)+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4ac-b2b4ac-b2者，即y=ax+，其中h=-， k=2a4a2a4a222第 2 页 共 24 页 五、二次函数y=a

2、x2+bx+c图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点(0，c)、以及(0，c)关于对称轴对称的点(2h，c)、与x轴的交点(x1，0)，(x2，0). 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y=ax2+bx+c的性质 b4ac-b2b 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-，顶点坐标为-， 2a4a2a当x-时，y随x的增大而增大；当x=-时，y有最小2a2a2a4

3、ac-b2值 4ab4ac-b2bb 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-，顶点坐标为-，时，y随当x-时，y随x的增大而减小；当x=-时，y有最大值2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：y=ax2+bx+c； 2. 顶点式：y=a(x-h)2+k； 3. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数

4、y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a0 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a0的前提下， 当b0时，-当b=0时，-b0，即抛物线对称轴在y轴的右侧 2a 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，-当b=0时，-当b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab=0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，在y轴的右侧则ab0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c0时，图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)

5、，其中的x1，x2是一元二次b2-4ac方程ax+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=x2-x1=. a2 当D=0时，图象与x轴只有一个交点； 当D0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0； 2 当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 第 5 页 共 24 页 D0 抛物线与x轴有两个交点 D=0二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 D0抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实

6、数根. 交点 二次函数图像参考： y=2x2y=x2y=2x2y=2(x-4)2y=x22y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y= -2y= -x2y=-2x2十一、函数的应用 刹车距离二次函数应用何时获得最大利润 最大面积是多少 第 6 页 共 24 页 y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x为自变量的二次函数y=(m-2)x2+m2-m-2的图像经过原点， 则m的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、

7、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y=kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的图像大致是 y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x=5，求这条抛物线的解析式。 34 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横

8、坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是 2确定抛物线的解析式；用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M(b,)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个 ca (1) (2) 弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键 例2.已知二

9、次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论：abO；4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 第 7 页 共 24 页 例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线22x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 答案：C 例4、如图，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合设

10、x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2 写出y与x的关系式； 当x=2，3.5时，y分别是多少？ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例5、已知抛物线y=125x+x- 22用配方法求它的顶点坐标和对称轴 若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长 本题是对二次函数的“基本方法”的考查，第问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例6、 “已知函数y=12x+bx+c的图象经过点A， 2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二

11、次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等

12、。 解答 根据y=12x+bx+c的图象经过点A，图象的对称轴是x=3，2122c+bc+c=-2,得 b-1=3,22解得b=-3,c=2.12x-3x+2.图象如图所示。 2所以所求二次函数解析式为y=在解析式中令y=0，得12x-3x+2=0，解得x1=3+5,x2=3-5. 2第 8 页 共 24 页 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1试在

13、AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x与产品的日销售量y之间的关系如下表： x 15 20 30 y 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数 求出日销售量y与销售价x的函数关系式； 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 设此一次函数表达式为y=kx+b则15k+b=25, 解得k=-1，b=40，即一次函数表达2k+b=20式为y=-x+40

14、 设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=-x2+50x-400=-2+225 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：设未知数在“当某某为何值时，什么最大”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程 第 9 页 共 24 页 二次函数对应练习试题 一、选择题 1. 二次函数y=x2-4x-7的顶点坐标是( )A.(2,11) B. C. D. 2. 把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 A. y=-2(x+1)2 B. y=-

15、2(x-1)2 C. y=-2x2+1 D. y=-2x2-1 3.函数y=kx2-k和y=k(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列结论: a,b同号;当x=1和x=3时,函数值相等;4a+b=0当y=-2时, x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2= . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数y

16、=ax2+bx+c的图象如图所示，则点(ac,bc)在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 7.方程2x-x=222的正根的个数为 xA.0个 B.1个 C.2个. 3 个 8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. y=x-x-2 B. y=-x+x+2 C. y=x-x-2或y=-x+x+2 D. y=-x-x-2或y=x+x+2 222222第 10 页 共 24 页 二、填空题 9二次函数y=x2+bx+3的对称轴是x=2，则b=_。 10已知抛物线y=-2+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_. 1

17、1一个函数具有下列性质：图象过点，当x0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 。 12抛物线y=2(x-2)2-6的顶点为C，已知直线y=-kx+3过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 13. 二次函数y=2x2-4x-1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。 14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是 (取3.14). 三、解答题： 15.已知二次函数图象的对称轴是x+3=0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,

18、-(1)求这个二次函数的解析式; (2)当x为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值y随x的增大而增大? 16.某种爆竹点燃后，其上升高度h和时间t符合关系式h=v0t-25). 2第15题图 12gt ，其中重2力加速度g以10米/秒计算这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升， 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？ 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 第 11 页 共 24 页 17.如图，抛物线y=x+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，

19、抛物线顶点为D. 求此抛物线的解析式； 点P为抛物线上的一个动点，求使SDAPC：SDACD=5 ：4的点P的坐标。 18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x，该经销店的月利润为y 当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； 求出y与x的函数关系式； 该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ 小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗

20、？请说明理由 2第 12 页 共 24 页 相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。 注意：相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的 若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例全等形 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们

21、的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质 有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：bm：am=bnn 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 ac=bd3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如ac=bd4、比例外项：在比例中a、d叫做比例外项。 中b、c叫做比例内项。 ac=5、比例内项：在比例bdac=bd中，d叫a、b、c的第四比例项。 6、第四比例项：在比例ab=ba，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

22、 比例性质 第 13 页 共 24 页 ac=ad=bcbd1.基本性质: 2.合比性质：acabcd=bdbd分母,分母不变） 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 b-ad-c=acac发生同样和差变化比例仍成立如：= a-bc-dbd=a+bc+d3.等比性质： 如果a+c+e+L+maacem= =L=(b+d+f+L+n0)，那么b+d+f+L+nbbdfn注意：(1)此性质的证明运用了“设k法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以

23、一个数，再利用等比性质也成立 知识点三：黄金分割 1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACBC，即AC2=ABBC，=ABAC那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中AC=5-1AB0.618AB。 22）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点. 作法：过点B作BDAB，使连结AD，在DA上截取DE=DB； ； 在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为： . 第 14 页 共 24 页 3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形

24、。 知识点四：平行线分线段成比例定理 (一)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比. 例. 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3 ABDEABDE或=等.可得 =BCEFACDF 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 是“A”字型 是“8”字型 经常考，关键在于找 由DEBC可得：行. ADAEBDECADAE=或=或=.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平DBECADEAABAC3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条

25、直线平行于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线) 4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。 三角形一边的平行线性质定理 定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。 几何语言 ABE中BDCE 第 15 页 共 24 页 上上ABAD=下下 BCDE简记：ABADBCDE上上下下=AE 和ACAE推广：类似地还可以得到全全和全全 归纳：ACAAEDBCADEDBCEBC三角形一边的平行线性质定理推论

26、平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 三角形一边的平行线的判定定理 三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. AEADBCDEBC三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 平行线分线段成比例定理 1平行线分线段成比例定理： 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 用符号语言表示：ADBECF,ABDEBCEFABDE=,=,=. BCEFACDFACDF2平行线等分线段定理：两条直

27、线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等. ABCDEF第 16 页 共 24 页 用符号语言表示：ADPBEPCFAB=BC. DE=DF重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍. 知识点三：相似三角形 1、 相似三角形 1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。 两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。 两个直角三角形和两个等腰三角形不

28、一定相似。 补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似； 2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如ABC与DEF相似，记作ABC DEF。相似比为k。 4）判定：定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 三角形相似的判定定理： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似(此定理用的最多) 判定定理2：如果一个三角形的两条边

29、和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似 直角三角形相似判定定理: 1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三 角形也相似。 相似三角形的性质 相似三角形对应角相等、对应边成比例. 相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比). 相似三角形对应面积的比等于相似比的平方

30、. 2、 相似的应用：位似 1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 需注意：位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。 两个位似图形的位似中心只有一个。 两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。 第 17 页 共 24 页 位似比就是相似比。 2）性质：位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。 位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比。 每对

31、位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。 第 18 页 共 24 页 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：C=90A+B=90 2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30 可表示如下： BC=1AB 2 C=90 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 可表示如下： CD= D为AB的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a+b=c 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ACB=90 CD2=AD

32、BD AC2=ADAB CDAB BC2=BDAB 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： ABCD=ACBC 2221AB=BD=AD 2二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。 222三、锐角三角函数的概念 1、如图，在ABC中，C=90 锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记为sinA，即sinA=A的对边a= 斜边cA的邻边b= 斜边cA的对边a= A的邻边bA的邻边b= A的对边a锐角A的邻边与

33、斜边的比叫做A的余弦，记为cosA，即cosA=锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记为tanA，即tanA=锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为cotA，即cotA=2、锐角三角函数的概念 锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 sin 0 0 30 45 60 90 1 12223 2第 19 页 共 24 页 cos 1 tan 0 3 23 3221 12 0 3 3 3不存在 cot 不存在 3 1 0 4、锐角三角函数的增减性 当角度在090之间变化时， 正弦值随着角度的增大而增大 余弦值随着角度的增大而减小 正切值随着角度的

34、增大而增大 余切值随着角度的增大而减小 圆 圆的周长： C=2r或C=d 、圆的面积：S=r 圆环面积计算方法：S=R -r或S=(R是大圆半径，r是小圆半径） 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 dr 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 dr 无交点； 2、直线与圆相切 d=r 有一个交点； 3、直线与圆相交 dR+r； 外切 有一个交点 d=R+r； 相交 有两个交点 R-rdR+r； 内切 有一个交点 d=R-r； 内含 无交点 dR-r； 第 20 页 共 24 页 dR图1rRdr图2dR图3rd五、垂径定理 图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分

35、弦所对的弧。 推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： AB是直径 ABCD CE=DE 弧BC=弧BD 弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 A推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD 弧AC=弧BD 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：AOB=DOE；AB=DE； OC=OF； 弧BA=弧BD 七