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1、特别解析特征方程法求解递推关系中的数列通项特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项 一、 设已知数列an的项满足a1=b,an+1=can+d,其中c0,c1,求这个数列的通项公式。 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当x0=a1时，an为常数列，即an=a1;当x0=a1时,an=bn+x0，其中bn是以c为公比的等比数列，即bn=b1cn-1,b1=a1-x0. 证明：因为c0,1,由特征方程得x0=bn-1d.作换元bn=an-x0,则1-cdcd=an-1-x0=can+d-=can-=c(an-x0)=cbn. 1-c1-cn-1当x0a1时，b10，数列bn是以c
2、为公比的等比数列，故bn=b1c; 当x0=a1时，b1=0，bn为0数列，故an=a1,nN. 例1已知数列an满足：an+1=-an-2,nN,a1=4,求an. 1313311x-2,则x0=-. 当a1=4时，a1x0,b1=a1+=. 32221数列bn是以-为公比的等比数列. 于是：3111133111bn=b1(-)n-1=(-)n-1,an=-+bn=-+(-)n-1,nN. 3232223解：作方程x=- 例2已知数列an满足递推关系：an+1=(2an+3)i,nN,其中i为虚数单位。当a1取何值时，数列an是常数数列？ 解：作方程x=(2x+3)i,则x0= 二、 定理2
3、：对于由递推公式an+2=pan+1+qan，a1=a,a2=b给出的数列an，方程-6+3i-6+3i.要使an为常数，即则必须a1=x0=. 55x2-px-q=0，叫做数列an的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x1x2时，n-1n-1数列an的通项为an=Ax1+Bx2，其中A，B由a1=a,a2=b决定；当x1=x2时，数列ann-1的通项为an=(A+B)x1，其中A，B由a1=a,a2=b决定。 例3：已知数列an满足a1=a,a2=b,3an+2-5an+1+2an=0(n0,nN)，求数列an的通项公式。 解法一由3an+2-5an+1+2an=0，得an+2-an
4、+1=且a2-a1=b-a。则数列an+1-an是以b-a为首项，于是：an+1-an=(b-a)2(an+1-an)， 32为公比的等比数列， 323n-1。把n=1,2,3,n代入，得： 22a2-a1=b-a， a3-a2=(b-a)， ，an-an-1=(b-a)n-2。 33把以上各式相加，得： 21-n-12223(b-a)。 an-a1=(b-a)1+n-2=23331-322an=3-3n-1(b-a)+a=3(a-b)n-1+3b-2a。 33解法二：数列an：3an+2-5an+1+2an=0(n0,nN)， a1=a,a2=b的特征方程是：3x-5x+2=0。 2Qx1=
5、1,x2=22n-1n-1n-1, an=Ax1+Bx2=A+B。 33a=A+BA=3b-2a又由a1=a,a2=b，于是： 2b=A+BB=3(a-b)3故an=3b-2a+3(a-b)三、(分式递推式) 定理3：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an+1=，那么，可作特征方程x=. rrx+h当特征方程有两个相同的根l时，若a1=l,则an=l,nN;若a1l，则an=11r+l,nN,其中bn=+(n-1),nN.特别地，当存在bna1-lp-rln0N,使bn0=0时，无穷数列an不存在；当特征方程有两个相异的根l1、l2时，则an= 例3、已知数列an满足性质：
6、对于nN,an-1=解:依定理作特征方程x=l2cn-l1cn-1，nN,其中cn=a1-l1p-l1rn-1,nN,(其中a1l2). a1-l2p-l2ran+4,且a1=3,求an的通项公式. 2an+3x+4,变形得2x2+2x-4=0,其根为l1=1,l2=-2.故特征2x+3方程有两个相异的根，使用定理2的第部分，则有： cn=a1-l1p-l1rn-13-11-12n-1=,nN. a1-l2p-l2r3+21-2221-2(-)n-1-1lc-l121n-155=,nN. cn=(-),nN. an=2n21n-1cn-155(-)-155(-5)n-4即an=,nN. n2+
7、(-5)例5已知数列an满足：对于nN,都有an+1=13an-25. an+3若a1=5,求an; 若a1=3,求an; 若a1=6,求an; 当a1取哪些值时，无穷数列an不存在？ 13x-25.变形得x2-10x+25=0, x+3特征方程有两个相同的特征根l=5.依定理2的第部分解答. 解：作特征方程x=(1)a1=5,a1=l.对于nN,都有an=l=5; (2)a1=3,a1l.bn= =1r+(n-1) a1-lp-rl111n-1, +(n-1) =-+283-513-15令bn=0，得n=5.故数列an从第5项开始都不存在，当n4，nN时，an=15n-17+l=. bnn-
8、5(3)a1=6,l=5,a1l. bn=1rn-1+(n-1)=1+,nN. a1-lp-lr8令bn=0,则n=-7n.对于nN,bn0. an=1+l=bn15n+43+5=,nN. n-1n+71+8(4)、显然当a1=-3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第小题的解答过程知，a1=5时，数列an是存在的，当a1l=5时，则有bn=1r1n-15n-13+(n-1)=+,nN.令bn=0,则得a1=,nNa1-lp-lra1-58n-1且n2. 5n-13时，数列an从第n项开始便不存在. n-15n-13于是知：当a1在集合-3或:nN,且n2上取值时，无穷数列an都不存在. n
9、-1当a1=定理3证明：(分式递推问题)：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an+1=pan+qh，那么，可rran+hpx+q. rx+h作特征方程x=当特征方程有两个相同的根l时，若a1=l,则an=l,nN;若a1l，则an=11r+l,nN,其中bn=+(n-1),nN.特别地，当存在bna1-lp-rln0N,使bn0=0时，无穷数列an不存在. 当特征方程有两个相异的根l1、l2时，则an=l2cn-l1cn-1，nN,其中cn= a1-l1p-l1rn-1,nN,(其中a1l2). a1-l2p-l2r证明：先证明定理的第部分. 作交换dn=an-l,nN，
10、则dn+1=an+1-l=pan+q(d+l)(p-lr)+q-lha(p-lr)+q-lh-l=n =n ran+hr(dn+l)+hran+hdn(p-lr)-rl2+l(h-p)-q = rdn+h-rll是特征方程的根，l=将该式代入式得dn+1=将x=根lpl+qrl2+l(h-p)-q=0. rl+hdn(p-lr),nN. rdn+h-lrp代入特征方程可整理得ph=qr,这与已知条件phqr矛盾.故特征方程的rp,于是p-lr0. r当d1=0，即a1=d1+l=l时，由式得bn=0,nN,故an=dn+l=l,nN. 当d10即a1l时，由、两式可得dn0,nN.此时可对式作
11、如下变化： 1dn+1=rdn+h-lrh+lr1r=+. dn(p-lr)p-lrdnp-lrpx+qp-h的两个相同的根可以求得l=. rx+h2rp-hh+rh+lrh+p2r =1, p-hp-lrp+hp-r2r由l是方程x=将此式代入式得1dn+1=1r1+,nN. 令bn=,nN.则dnp-lrdnbn+1=bn+rr,nN.故数列bn是以为公差的等差数列. p-lrp-lr11r=. ,nN.其中b1=d1a1-lp-lrbn=b1+(n-1)当nN,bn0时，an=dn+l=1+l,nN.当存在n0N,使bn0=0时，bnan0=dn0+l=1+l无意义.故此时，无穷数列an
12、是不存在的. bn0再证明定理的第部分如下： 特征方程有两个相异的根l1、l2，其中必有一个特征根不等于a1，不妨令l2a1.于是可作变换cn=an-l1,nN. an-l2故cn+1=an+1-l1pan+q，将an+1=代入再整理得 an+1-l2ran+hcn+1=an(p-l1r)+q-l1h,nN an(p-l2r)+q-l2h由第部分的证明过程知x=ppp不是特征方程的根，故l1,l2. rrr故p-l1r0,p-l2r0.所以由式可得： cn+1q-l1hp-l1rp-l1r=,nN q-lhp-l2r2an+p-l2ran+px+q2有两个相异根l1、l2方程rx+x(h-p)
13、-q=0有两个相rx+hq-xh2与方程rx-x(h-p)-q=0又是同解方程. p-xr特征方程x=异根l1、l2，而方程-x=q-l1hq-l2h=-l1,=-l2 p-l1rp-l2r将上两式代入式得 cn-1=p-l1ran-l1p-l1r=cn,nN p-l2ran-l2p-l2r当c1=0,即a1l1时，数列cn是等比数列，公比为p-l1r.此时对于nN都有 p-l2rcn=c1(p-l1rn-1a-l1p-l1rn-1)=(1). p-l2ra1-l2p-l2r当c1=0即a1=l1时，上式也成立. 由cn=an-l1且l1l2可知cn=1,nN. an-l2所以an=l2cn-
14、l1cn-1,nN.(证毕) 注:当ph=qr时,pan+qpan+q会退化为常数;当r=0时,an+1=可化归为较易解ran+hran+h的递推关系,在此不再赘述. 求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径. 1.已知数列an满足an+1=定义1:方程x=aan+b*. 其中c0,adbc,nN. can+dax+b为的特征方程,该方程的根称为数列an的特征根,记为a,b. cx+dan+1-aa-caan-a=. an+1-ba-cban-b12c1=+. an+1-aa+dan-a定理1:若a,ba1且ab,则定理2: 若a=ba1且a+d0
15、,则例1各项均为正数的数列an,a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+qap+aqam+an的正数m,n,p,q都有. =(1+am)(1+an)(1+ap)(1+aq)(1)当a= 14,b=时,求通项an;(2)略. 25例2 已知数列an满足a1=2,an=2- 例 3 已知数列an满足a1=2,an= 例4已知数列an满足a1=2,an+1= 1,nN*,求通项an. an-1an-1+2(n2)，求数列an的通项an 2an-1+12an-1(nN*)，求数列an的通项an 4an+6*2.已知数列an满足an+2=c1an+1+c2an 其中c1,c2为常数,且c20,nN. 2
16、定义2:方程x=c1x+c2为的特征方程,该方程的根称为数列an的特征根,记为l1,l2. nn定理3:若l1l2,则an=b1l1+b2l2,其中b1,b2常数,且满足a1=b1l1+b2l2. 22a2=b1l1+b2l2a1=(b1+b2)l定理4: 若l1=l2=l,则an=(b1+b2n)l,其中b1,b2常数,且满足. 2a=(b+2b)l212n*例5已知数列an满足a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN)，求数列an的通项an *例6已知数列an满足a1=1,a2=2,4an+2=4an+1-an(nN)，求数列an的通项an 例7:已知数列an满足a1=2,a2=8,an+2=4an+1-4an,求通项an.
