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1、电大高等数学建筑制图基础形成性考核册答案高等数学基础作业1 第1章 函数 第2章 极限与连续 单项选择题 下列各函数对中，中的两个函数相等 A. f(x)=(x)2，g(x)=x B. f(x)=32x，g(x)=x C. f(x)=lnx，g(x)=3lnx D. f(x)=x+1，g(x)=x-12x-1分析：判断函数相等的两个条件对应法则相同定义域相同 A、f(x)=(x)2=x，定义域x|x0；g(x)=x，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B、f(x)=x=x，g(x)=x对应法则不同，所以函数不相等； 2C、f(x)=lnx3=3lnx，定义域为x|x0，g(x)=3lnx
2、，定义域为x|x0 所以两个函数相等 D、f(x)=x+1，定义域为R；g(x)=x-1x-12=x+1，定义域为x|xR,x1 定义域不同，所以两函数不等。 故选C 设函数f(x)的定义域为(-,+)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于对称 A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y=x 分析：奇函数，f(-x)=-f(x)，关于原点对称 偶函数，f(-x)=f(x)，关于y轴对称 y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)关于y=x对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x) 所以g(x)=f(x)+
3、f(-x)为偶函数，即图形关于y轴对称 故选C 下列函数中为奇函数是 A. y=ln(1+x) B. y=xcosx C. y=a+a2x-x2 D. y=ln(1+x) 22分析：A、y(-x)=ln(1+(-x)=ln(1+x)=y(x)，为偶函数 B、y(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-y(x)，为奇函数 或者x为奇函数，cosx为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C、y(-x)=a-x+a2x=y(x)，所以为偶函数 D、y(-x)=ln(1-x)，非奇非偶函数 故选B 下列函数中为基本初等函数是 A. y=x+1 B. y=-x C. y=x2 D. y=-1,1,x0,a
4、1)指数函数 y=logax(a0,a1)对数函数 x y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx三角函数 y=arcsinx,-1,1, y=arccosx,-1,1,y=arctanx,y=arccotx反三角函数 分段函数不是基本初等函数，故D选项不对 对照比较选C 下列极限存计算不正确的是 A. limx22x0x+2sinx1=0 D. limxsin=0 C. limxxxx1分析：A、已知limn=0(n0) xxx=1 B. limln(1+x)=0 x22 limx22xx+2=limxx22xxxB、limln(1+x)=ln(1+0)=0 x0+22=lim1
5、1+2x2x=11+0=1 初等函数在期定义域内是连续的 C、limsinxxx=lim1x1xxsinx=0 x时，是无穷小量，sinx是有界函数， 无穷小量有界函数仍是无穷小量 1sin1x，令t=10,x，则原式=limsint=1 D、limxsin=limt0xxtxx1x故选D 当x0时，变量是无穷小量 A. sinxx B. 1x C. xsinxa1x D. ln(x+2) 分析；limf(x)=0，则称f(x)为xa时的无穷小量 A、limB、limsinxx1x=1，重要极限 x0x0=，无穷大量 1x=0，无穷小量x有界函数sin1xC、limxsinx0仍为无穷小量 D
6、、limln(x+2)=ln(0+2)=ln2 x0故选C 若函数f(x)在点x0满足，则f(x)在点x0连续。 A. limf(x)=f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义 xx0+ C. limf(x)=f(x0) D. limf(x)=limf(x) xx0xx0+xx0-分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即limf(x)=f(x0) xx0连续的充分必要条件limf(x)=f(x0)limf(x)=limf(x)=f(x0) xx0xx0+xx0-故选A 填空题 函数f(x)=+ln(1+x)的定义域是 x-3分析：求定义域一般遵循的原则 x-92
7、x|x3 偶次根号下的量0 分母的值不等于0 对数符号下量为正 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1 p 正切符号内的量不能取kp(k=0,1,2L) 2 然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域 f(x)=x-9x-32+ln(1+x)要求 x2-90x3或x-3得求交集 3 1 3 x-30x3x11+x0定义域为 x|x3 已知函数f(x+1)=x+x，则f(x)= 分析：法一，令t=x+1得x=t-1 则f(t)=(t-1)+(t-1)=t-t则f(x)=x-x 222x2-x 2 法二，f(x+1)=x(x+1)=(x+1-1)(x+1)所以f(t)=(t-1)t l
8、im(1+x12x)x= x11分析：重要极限lim1+=e，等价式lim(1+x)x=e x0xx1f(x)=e 推广limf(x)=则lim(1+xaxaf(x)1f(x) limf(x)=xa0则lim(1+f(x)xa=e lim(1+x12x)=lim(1+xx12x)2x121=e2 1x若函数f(x)=(1+x),x+k,x0x0的间断点是 x=0 分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点 初等函数在其定义域范围内都是连续的 分段函数主要考虑分段点的连续性 x0+limf(x)=lim(x+1)=0+1=1x0+x0-x0-limf(x)=limsinx=0不等，所以x=0为其
9、间断点 若limf(x)=A，则当xx0时，f(x)-A称为 xx0时的无穷小量 xx0分析：lim(f(x)-A)=limf(x)-limA=A-A=0 xx0xx0xx0 所以f(x)-A为xx0时的无穷小量 计算题 设函数 ex,f(x)=x,x0x0求：f(-2),f(0),f(1) 解：f(-2)=-2，f(0)=0，f(1)=e=e 1求函数y=lg2x-1x的定义域 2x-1x02x-11解：y=lg有意义，要求解得x或x0 x2x0x0 则定义域为x|x1 2在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数
10、 解： D A R O h E B C 设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得 AE=hOA-OE=222R-h 222则上底2AE=2R-h 故S=求lim(2g2R+2R-h22)=h(R+R-h22) sin3xsin2x sin3x3x=lim2xx0x0sin3x3x313=3 sin2x21222x解：limsin3xsin2x2x0=limx03xsin2x2x求limx-1sin(x+1)x-1sin(x+1)tan3xxtan3xx2 =lim(x-1)(x+1)sin(x+1)=limx-1sin(x+1)x
11、+1=-1-11=-2 x-1解：limx-1x-1x-1求lim =lim2x0解：lim求limsin3xxx0x01sin3x11g=lim3=13=3 x0cos3x3xcos3x11+x-12x0sinx 解：lim1+x-1sinxx0=lim(1+x-1)(1+x+1)(1+x+1)sinx222x0=limx22x0(1+x+1)sinx =limx0xsinx1+x+1)x2=0(1+1)1 =0求lim(xx-1x+3) x解：lim(xx-1x+31-)=lim(xx1x)x=limx3x1+-x=limxxx133(1+)(1+)xxx33(1-1)x(1+1)-x-1
12、=e-13e=e-4求limx-6x+8x-5x+422 x4解：limx-6x+8x-5x+422x4(x-4)(x-2)=limx4(x-4)(x-1)=limx-2x-1x4=4-24-1=23设函数 (x-2)2,x1f(x)=x,-1x1 x+1,x0,f(x0)=0 B. f(x0)0 D. f(x0)=0,f(x0)0 设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f(x)0,f(x)0，则f(x)在此区间内是 A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 填空题 设f(x)在(a,b)内可导，x0(a,b)，且当xx0时f(x)x
13、0时f(x)0，则x0是f(x)的 极小值 点 若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f(x0)= 0 函数y=ln(1+x2)的单调减少区间是(-,0) 函数f(x)=ex的单调增加区间是(0,+) 若函数f(x)在a,b内恒有f(x)0时，证明不等式xln(1+x) 证：由中值定理得：ln(1+x)x1ln(1+x)x=ln(1+x)-ln1(1+x)-1=11+x0) xln(1+x)(当x0时） 当x0时，证明不等式exx+1 设f(x)=e-(x+1) xf(x)=e-10x(当x0时）证毕 当x0时f(x)单调上升且f(0)=0 f(x)0,即ex(x+1)高等数
14、学基础第四次作业 第5章 不定积分 第6章 定积分及其应用 单项选择题 若f(x)的一个原函数是 A. lnx B. -1x21x，则f(x)= 1x C. D. 2x3下列等式成立的是 Af(x)dx=f(x) B. df(x)=f(x)C. df(x)dx=f(x) D. dxdf(x)dx=f(x) 若f(x)=cosx，则f(x)dx= A. sinx+c B. cosx+c C. -sinx+c D. -cosx+c ddxxf(x)dx= 32323 A. f(x) B. xf(x) C. 若f(x)dx=F(x)+c，则113f(x) D. 13f(x) 3xf(x)dx= 1F
15、(x)+c A. F(x)+c B. 2F(x)+c C. F(2x)+c D. x 由区间a,b上的两条光滑曲线y=f(x)和y=g(x)以及两条直线x=a和x=b所围成的平面区域的面积是 A. C. baf(x)-g(x)dx B.g(x)-f(x)dx ababf(x)-g(x)dx D. baf(x)-g(x)dx 填空题 函数f(x)的不定积分是f(x)dx 若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)-G(x)=c(常数） dedx=ex2x2 (tanx)dx=tanx+c 若f(x)dx=cos3x+c，则f(x)=-9cos(3x) (
16、sin-335x+121)dx=3 1xp 若无穷积分计算题 cos1x2+dx收敛，则p0 exdx=-cosx111d=-sin+c xxxx=2exxx1dx=2edx=d+c xlnxln1x12ed(lnx)=ln(lnx)+c xcos2x+12xsin2xdx=-ecos2xdx=-1212xcos2x+e14sin2x+c 3+lnxx1dx=121(3+lnx)d(3+lnx)=-2x1(3+lnx)1=12=14e-2xe01-2xdx=-ex0+12e10e-2xdx=-12e-2-14e-2x10+14xlnxdx=1ex2e21xlnx-1e12e11xdx=e221
17、e+-141xeelnxx21dx=-lnx+11x2dx=-=1-2e+1 证明题 证明：若f(x)在-a,a上可积并为奇函数，则证: 令x=-taa-af(x)dx=0 a-aaa-af(x)dx=-aaf(-t)dt=aa-af(-t)dt=-f(t)dt -af(x)dx=-af(x)dx-af(x)dx=0 证毕 aa证明：若f(x)在-a,a上可积并为偶函数，则证： 令x=-t,则0-aa-a-af(x)dx=2f(x)dx 0f(x)dx=0-af(x)dx+0a0f(x)dx af(x)dx=-f(-t)dt=a0f(t)dtQf(x)是偶函数 a-af(x)dx=a-a0-af(x)dx+a0f(x)dx=a0f(x)dx+a0f(x)dx=2f(x)dx0a证毕 证明：证：a0f(x)dx=a0f(x)+f(-x)dx a-af(x)dx=a0-af(x)dx+a0a0f(x)dx=-0af(-x)dx+a0f(x)dx =f(-x)dx+ 0f(x)dx=f(x)+f(-x)dx 证毕
