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1、第16课时 导数及其应用小结临猗中学zdj 授课时间： 月 日 第16课时： 教学内容： 导数及其应用复习与小结 教学目标：1、知识与技能 能利用导数解决与函数、方程、不等式有关的题目； 能利用定积分解决平面图形的面积问题； 熟练掌握导数的知识体系，提高分析问题、解决问题的能力. 2、 过程与方法 在归纳总结知识的过程中，学生通过自主探究，提高学生的数学素养。 3、 情感、态度和价值观 在提炼知识体系的过程中，培养学生善于归纳总结以及科学认真的生活态度，并以此激发他们学习知识的积极性. 教学重点：形成与导数有关的完整的知识体系 教学难点：能利用导数解决与函数、方程、不等式有关的题目 教学方法：
2、读、议、讲、练教学法 教 具： 教后反思： 1 临猗中学zdj 教学过程： 一、 知识梳理 1、知识点 导数的概念 一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:limDyf(x0+Dx)-f(x0)=lim，我们称它Dx0DxDx0DxDyf(x0+Dx)-f(x0)=lim. Dx0DxDx0Dx为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0)或y|x=x，即f(x0)=lim0增量“Dx”又称改变量，可正、可负、但不为0； 定义变式：导数的定义重在其结构形式，如f(x0)=limxx0f(x)-f(x0)； x-x0导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，瞬时速度是位
3、移函数s(t)对时间t的导数； 导数的几何意义： 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0)的切线的斜率， 即 f(x0)=limf(x0+Dx)-f(x0)=k DxDx0求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 求出P点的坐标； 求出函数在点x0处的变化率f(x0)=limf(x0+Dx)-f(x0)=k ，得到曲线在点x0,f(x0)的DxDx0()切线的斜率； 利用点斜式求切线方程； 基本初等函数导数公式表 函数 导函数 函数 f(x)=sinx f(x)=c f(x)=0 f(x)=cosx f(x)=xa f(x)=axa-1 f(x)=axx f(x)=axlna
4、 f(x)=e f(x)=logax 1f(x)= f(x)=lnx xlna 导数的四则运算法则 若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，则有： f(x)+g(x)=f(x)+g(x)f(x)-g(x)=f(x)-g(x) f(x)f(x)g(x)-f(x)g(x)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) =g2(x)g(x)导函数 f(x)=cosx f(x)=-sinx f(x)=e x1f(x)= x 2 临猗中学zdj 当g(x)=k时，有kf(x)=kf(x)； 复合函数的求导法则 即y 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u)，u=g(x)
5、的导数间的关系为yx=yuux，对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。 =2u，u其中u称为中间变量，由于yux=3，所以yx=yuux=2u3=6(3x-2)=18x-12 复合函数求导步骤：分解求导相乘还原； 函数的单调性与其导函数的正负的关系 在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 特别的，如果在某个区间内恒有f(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间内是常函数 判断函数单调性的方法：图象法、定义法、导数法； 函数的极小值点与极小值的概念 在x=a附近，f(x)先减后增，f(x
6、)先正后负，f(x)连续变化，于是有f(a)=0，f(a)比在点x=a附近其它点的函数值都小，我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 在x=b附近，f(x)先增后减，f(x)先负后正，f(x)连续变化，于是有f(b)=0，f(b)比在点x=b附近其它点的函数值都大，我们把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值； 极小值点和极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质，因此，区间的端点绝不是函数的极值点； 极值点是自变量的某个值，极值指的是其函数值； 极大
7、值不一定大于极小值，二者之间没有明确的大小关系； 函数最大值与最小值的概念 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 对任意的xI，都有f(x)M(或f(x)M)； 存在x0I，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 最值存在定理 一般地，如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值； 闭区间上连续函数一定有最值，但不一定有极值； 闭区间上单调函数的最值产生在区间的端点处； 定积分的概念 一般地，设函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=x0x1x2Lxi-1xiL0； 可导函数的极值点一定是它导数为0的
8、点，但导数为0的点不一定是极值点；如y=x3 在x=0处的导数为0，但它不是极值点； 可导奇函数的导函数是偶函数；可导偶函数的导函数是奇函数； 例1、设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为_ 0； f(x)=f(-x)f(x)=-f(-x)y=f(x)为奇函数，故f(0)=0，又f(x)=f(x+5)f(x)=f(x+5)y=f(x)为周期函数，周期为5，由于f(0)=0，从而f(5)=0，故填0； t)dt表示时间区间a,b内的位做变速直线运动的物体在时刻t时的速度为v(t)，则bav(移；bav(t)dt表示时间区间a,b内的路程； 3、基本
9、题型 求函数的导数： 定义法： 转化法：利用导数的四则运算法则或复合函数的求导法则转化为基本初等函数 的导数，一般原则是：先化简，再求导，分式、根式需幂化；复合函数要求导，整体意识不可少； 例1、若f(x0)=-3，则limf(x0+h)-f(x0-3h)= h0hA、-3 B、-6 C、-9 D、-12 D； 例2、函数y=sin2x+的导数为 34 2p临猗中学zdj A、2sin4x+2pp2p2p B、2sin2x+ C、2sin2x+ D、2cos2x+ B； 3333求曲线的切线方程： 若知切点，求导得斜率，利用点斜式写切线方程； 若不知切点，需设切点，利用切点在曲线上，切点在切线
10、上，切点处的导数为切线的斜率列方程求解； 例1、已知曲线y=5x，求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程。 设切线的斜率为k，则切线方程为y=kx+5， 设切点为(x0,y0)，则k= 解得k=5y0-5，y0=5x0，k=y|x=x=， 0x02x05 切线方程为5x-4y+20=0； 43 例2、直线y=kx+1与曲线y=x+ax+b相切于点A(1,3)，则a-b= A、-4 B、-1 C、3 D、-2 A； 例3、已知函数f(x)的图像在点M(1,f(1)处的切线方程是2x-3y+1=0，则f(1)+f(1)= ； 5； 32 例4、已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-
11、x+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 A、y=2x-1 B、y=x C、y=3x-2 D、y=-2x+3 A； 求函数的单调区间： 步骤： 确定函数f(x)的定义域； 求导数f(x)； 在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0或f(x)0，函数f(x)=x-ax在1,+)上单调递增，则实数a的取值范围是 ； (0,3； 0内单调递增，例3、若函数f(x)=loga(x3-ax)(a0且a1)在区间-，实数a的取值范围是 ； 12,1； 34 例4、已知函数f(x)=mx+2nx-12x的减区间是(-2,2)，则实数m+n= ； 1； 例5、若函数y=a(x3-x)
12、的单调减区间为-33,，实数a的取值范围是 ； 3332(0,+)； 例6、若函数y=-x+ax有三个单调区间，则实数a的取值范围是 ； (0,+)； 133 5 临猗中学zdj 3例7、设函数f(x)=-x+13122若f(x)在区间,+上存在单调递增区间，则实数a 的x+2ax，23取值范围是 ； -,+； 例8、若函数在f(x)=x-12x区间(k-1,k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围 A、k-3或-1k1或k3 B、-3k-1或1k3 C、-2k2 D、不存在这样的实数k B； 求函数的极值： 步骤： 确定函数f(x)的定义域； 求导数f(x)； 求方程f(x)=0的根； 列
13、表检查f(x)在方程根的左右的值的符号，从而确定极值的情况； 例1、函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是 A、2 B、1 C、0 D、由a值确定 C； 例2、若函数f(x)=x3-6bx-3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是 A、(0,1) B、(-,1) C、(0,+) D、0, D； 例3、若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ； (-,-1)U(2,+)； 例4、函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 yy=f(x)
14、A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 A； b a31912Ox求函数的最值的步骤： 一般地，求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤如下： 求函数y=f(x)在(a,b)内的极值； 将函数y=f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一 个是最大值，最小的一个是最小值； 例1、已知函数f(x)=-x+3x+9x+a(aR)，在区间-2,2上有最大值20，那么此函数在区间-2,2上的最小值为 A、-37 B、-7 C、-5 D、-11 B； 1 例2、设f(x)=x3-x2-2x+5，当x-1,2时，f(x)0，对于任意实数x都有f(x)0
15、，则f(0)的最小值为 A、3 B、 C、2 D、利用单调性证明不等式或解不等式 例1、证明不等式lnx2(x-1)，其中x1； x+125232C； 2(x-1)14(x-1) 设F(x)=lnx- (x1) F(x)=- =22x+1x(x+1)x(x+1) 6 临猗中学zdj Qx1 F(x)0 F(x)在(1,+)内为单调增函数 又QF(1)=0 当x1时，F(x)F(1)=0 2(x-1)2(x-1)； 0，lnxx+1x+1 例2、已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(x+2)为偶函 即lnx-数，f(4)=1，则不等式f(x)ex的解集为
16、 A、(-2,+) B、(0,+) C、(1,+) D、(4,+) B；提示：构造函数g(x)=f(x)ex，则g(x)是减函数，Qf(x+2)为偶函数且f(4)=1 f(x)ex0 e0xf(x)-f(x)例3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x0时，有0恒成立，则不2x f(0)=1 不等式f(x)0的解集是 +) D、(-,-2)U(0,2) A、(-2,0)U(2,+) B、(-2,0)U(0,2) C、(-,-2)U(2，D；提示：令g(x)=f(x)，由题g(x)在(0,+)上是减函数 Qf(2)=0 x 当x(0,2)时，f(x)0；当x(2,+)时，f(x)0
17、 又Qf(x)是定义在R上的奇函数 选D； 例4、f(x)是定义在(0,+)上的非负可导函数，且满足xf(x)-f(x)0，对任意正数a、b，若a0)上的奇函数，令g(x)=af(x)+b，并有关于函数g(x)的四个论断： 若a0，对于-1,1内的任意实数m,n(m0恒成立； n-m函数g(x)是奇函数的充要条件是b=0； 若a1,b0，则方程g(x)=0必有3个实数根； a0，g(x)的导函数g(x)有两个零点； 其中所有正确结论的序号是_； ； 32例4、设函数f(x)=1x-ax-ax，g(x)=2x2+4x+c. 3试问函数f(x)能否在x=-1时取得极值？说明理由； 若a=-1，当x
18、-3,4时，函数f(x)与g(x)的图像有两个公共点，求实数c的取值范围； 无极值； -20c5或c=-9； 33例5、 设函数f(x)=x3-6x+5,xR. 求f(x)的单调区间和极值； 若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根，求实数a的取值范围. 已知当x(1,+)时，f(x)k(x-1)恒成立，求实数k的取值范围. f(x)=3(x2-2),令f(x)=0,得x1=-2,x2=2 当x2时f(x)0； 当-2x2时,f(x)0 f(x)的单调递增区间是(-,-2),(2,+)，单调递减区间是(-2,2) 当x=-2,f(x)有极大值5+42；当x=2,f(x)有极小值5-42. 由可
19、知y=f(x)图象的大致形状及走向 当5-42a5+42时,直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点， 即当5-42ag(1)=-3, k 所求的取值范围是k-3 函数思想 例1、若a2，则方程x-ax+1=0在(0,2) 上恰好有( ) A、0个根 B、1个根 C、2个根 D、3个根 B； 设f(x)=1322x-ax+1，则f(x)=x-2ax=x(x-2a)，当x(0,2)时，f(x)0，则f(x) 311在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)=-4a1 kx+x5232例2、已知函数f(x)=x-ax-3x 求过点(0,0)且与曲线f(x)相切的直线方程； 若f(x)有极值，求
20、实数a的取值范围； 若f(x)在区间1,+)上是增函数，求实数a的取值范围； 若f(x)在区间(-,-1及1,+)上都是增函数，求实数a的取值范围； 若x=-时，f(x)取极值，求f(x)在1,a上的最大值； 在的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)=bx的图象与f(x)的图象恰有3个交点？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由； 若方程f(x)=b有三个不等实根，求实数b的取值范围； 8 13临猗中学zdj 若函数f(x)在区间1,a(a1)上的最大值为-6，最小值为-18，求f(x)的表达式； 设函数y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线为l，若l在点A处穿过函数y=f(
21、x)的图象，求f(x)的表达式； 由题f(x)=3x2-2ax-3 y=-3x； aR； Qf(x)在区间1,+)上是增函数， f(x)=3x-2ax-30在1,+)上恒成立 f(1)0 2 a0 当a=0时，f(x)不恒等于0 a0； Qf(x)在区间(-,-1及1,+)上都是增函数 f(x)=3x-2ax-30在区间(-,-1及1,+)上恒成立 f(1)0 a=0 f-10()2当a=0时，f(x)不恒等于0 a=0； Qx=-时，f(x)取极值，f-1=0 a=4 f(x)=x-4x-3x 令f(x)=3x-8x-3=0得x=-3221331或x=3 3列表如下： (3,4) 4 x 1
22、 (1,3) 3 f(x) 0 - + f(x) -6 -18 -12 f(x)在1,4上的最大值是f(1)=-6； 32若函数g(x)=bx的图象与f(x)的图象恰有3个交点，则方程x-4x-3x=bx恰有三个不等实根 ，即x-4x-3x-bx=0恰有三个不等实根， Qx=0是其一根 x-4x-3-b=0有两个非零不等实根 232 D=16+4(3+b)0-3-b0 b7-且b-3 14； 27 提示：数形结合即可；-18b22令f(x)=0，得x1=a-a+9，x2=a+a+9 33a+a2+9当a即1a3时，显然不合题意 3a+a2+93时， 3)=2(a-)1 Qf(a)=-3a，f(
23、1)=-2-a， f(1)-f(a当 0a+a2+9 f(x)max=f(1)=-6 a=4，此时x2=3 3 而f(x2)=f(x)min=-18 32 综上a=4，f(x)=x-4x-3x 设切线为l的斜率为k，则k=f(1)=-2a 9 临猗中学zdj l的方程为y-f(1)=-2a(x-1)，即y=-2ax+a-2 令g(x)=f(x)-(-2ax+a-2)=x3-ax2-3x+2ax-a+2 则g(x)=3x2-2ax-3+2a=(x-1)3x-(2a-3) Ql在点A处穿过函数y=f(x)的图象 g(x)在x=1两边附近的函数值异号 x=1不是g(x)的极值点 若12a-32a-3
24、即a3，则x=1与x=都是g(x)的极值点 332a-31=即a=3时满足题意 f(x)=x3-3x2-3x 3x例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=e(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2. 求a,b,c,d的值 若x-2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围。 a=4,b=2,c=2,d=2. 由知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1). 设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2 则F(x)=2ke(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1) x 由题设可得F(0)
25、0，得k1. 令F(x)=0， 即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2 i)若-1ke2，则-2x10，从而当x(-2,x1)时，F(x)0，即F(x)在x(-2,x1)单调递减，在x(x1,+)单调递增， 故F(x)在-2,+)上有最小值为F(x1),F(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)0. 故当x-2时，F(x)0恒成立，即f(x)kg(x). ii)若当k=e2，则F(x)=2e(x+2)(e-e)，当x-2时，F(x)0，即F(x)在(-2,+)上单调递增，而F(-2)=0,故当且仅当x-2时，F(x)0恒成立，即f(x)kg(x).
26、iii)若ke2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0, 从而当x-2时，F(x)kg(x)不可能恒成立. 综上，k的取值范围为1,e2. 例4、已知f(x)=xlnx，g(x)=x3+ax2-x+2 求f(x)的单调区间； 若对于任意的x(0,+)，2f(x)g(x)+2恒成立，求实数a的取值范围. 设函数t(x)=f(x)-a(x-1)，其中aR，求函数t(x)在1,e上的最小值. 来源:学科网2x-2解：由题f(x)=lnx+1，令f(x)0，则0x0，则x211 f(x)的单调递减区间为0,； ee11 f(x)的单调递减区间为,+； ee32 由题意2xlnx3x
27、+2ax-1+2在x(0,+)上恒成立 1x(0,+)上恒成立2xx-1)(3x+1)31131(设h(x)=lnx-x-，则h(x)=-+2= 22xx22x2x21令h(x)=0，得x=1或x=- 3当0x0；当x1时，h(x)0 即2xlnx3x+2ax+1 alnx-x-2当x=1时，h(x)取得最大值，h(x)max=h(1)=-2 a2-. 由题，则t(x)=lnx+1-a 令t(x)=0，则x=ea-110 临猗中学zdj 当x(0,ea-1)时，g(x)0，g(x)在(0,ea-1)上单调递增 当ea-11即a1时，g(x)在1,e上单调递增， a-1所以g(x)在1,e上的最小值为g(1)=0 当1ea-1e即1a2时，g(x)在上单调递减，在ea-1,e上单调递增. 1,e)(所以g(x)在1,e上的最小值为g(ea-1)=a-ea-1 当eea-1即a2时，g(x)在1,e上单调递减 所以g(x)在1,e上的最小值为g(e)=e+a-ae 综上，当a1时，g(x)在1,e上的最小值为0；当1a2时，g(x)在1,e上的最小值为a-ea-1；当a2时，g(x)在1,e上的最小值为e+a-ae. 11
