第十九章四边形知识点总结与典型例题.docx

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1、第十九章四边形知识点总结与典型例题襄阳五中实验中学 第十九章目录 一、平行四边形的性质 . 2 考向1：多边形的内角和与外角和 . 2 考向2：平行四边形的性质 . 2 二、平行四边形的判定 . 4 考向3：平行四边形的判定 . 4 考向4：三角形中位线定理 . 5 三、矩形的性质 . 5 考向5：矩形的性质 . 6 四、矩形的判定 . 7 考向6：矩形的判定 . 7 考向7：直角三角形斜边中线定理 . 9 五、菱形的性质 . 10 考向8：菱形的性质 . 10 考向9：菱形的面积公式 . 11 六、菱形的判定 . 12 考向10：菱形的判定 . 13 七、正方形的性质 . 13 考向11：正

2、方形的性质 . 13 八、正方形的判定 . 15 考向12：正方形的判定 . 15 九、梯形 . 17 考向13：等腰梯形的性质 . 18 考向14：等腰梯形的判定 . 19 考向15：梯形的中位线 . 20 十、重心 . 22 考向16：三角形重心定理 . 22 十一、四边形动点问题 . 24 考向17：四边形动点问题 . 24 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 第十九章四边形知识点总结与典型例题 一、平行四边形的性质 1、平行四边形的定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2、平行四边形的性质 ： DOC边：平行四边形的两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等； 角：平

3、行四边形的两组对角分别相等； 对角线：平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. 3、多边形的对角线： 从n边形的一个顶点可以引 n-3 条对角线； n边形共有 ABn(n-3) 条对角线. 2 4、正多边形：各个角都相等，各个边都相等的多边形叫做正多边形. 5、多边形的内角和与外角和： 多边形的内角和等于(n-2)180o； 多边形的外角和等于360. 典型例题： 考向1：多边形的内角和与外角和 1、若多边形的每个内角都为150，则从一个顶点引的对角线有 A.7条 B.8条 C.9条 D.10条 2、如果一个四边形内角之比是2235

4、，那么这四个内角中 A.有两个钝角 B.有两个直角 C.只有一个直角 D.只有一个锐角 3、一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是边形 A.7 B.6 C.5 D.4 4、若等角n边形的一个外角不大于40，则它是边形 A.n=8 B.n=9 C.n9 D.n9 考向2：平行四边形的性质 5、如图,平行四边形ABCD中,AEBD,CFBD,垂足分别为E、F. 求证：BAE =DCF. o 6、如图，过口ABCD的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF与GH ，我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 那么图中的口AEMG的面积S1 与口HCFG的面积S2的大小关系是S1 _S2 (填、

5、=号). 思路点拨：观察三角形面积. 7、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且ABAD，过O作OEBD交BC于点E若CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 8、已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。 求证：ADFCBE；EBDF。 9、平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为 A.6AC10 B.6AC16 C.10AC16 D.4AC16 10、如图，在平行四边形中，为垂足，如果，那么的度数是( ) A. B. C. D. 11、如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，则CAD的度数是 . 我的新浪博客

6、： 襄阳五中实验中学 二、平行四边形的判定 1、平行四边形的判定： DOC边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2、三角形中位线： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 3、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 4、平行线间的距离： 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。两条平行线间的距离处处相等。 典型例题： 考向3：平行四边形

7、的判定 1、如图，在平行四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，求证：四边形KLMN是平行四边形 AB 2、如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,当E,F满足下列哪个条件时,四边形DEBF不一定是平行四边形 A.AE=CF B.DE= BF C.ADE=CBF D.AED=CFB 3、如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，证明:四边形BFDE是平行四边形 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 考向4：三角形中位线定理 4、如图，ABC中ACB=90，点D、E分别

8、是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且CDF=A. 求证：四边形DECF是平行四边形. 思路点拨：点D、E分别是AC、AB的中点， DE是ABC的中位线 DE/CB ADE=ACB=90 AD=CD，ADE=CDE=90， DE=DE， ADE CDE ， A= ECD， CDF= A， ECD=CDF， EC/DF， 四边形DECF 是平行四边形。 三、矩形的性质 1、矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2、矩形的性质： 矩形具有平行四边形的所有性质； 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有

9、两条对称轴，对称中心是对角线的交点. 典型例题： 考向5：矩形的性质 1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2、如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K，分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2 . 思路点拨：观察三角形面积. 3、如图,矩形ABCD中,AC与BD交于O点,BEAC于E,CFBD于F. 求证:BE = CF. A E F O B C 4、如图,在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分BAD,交BC于E，若 CAE=15

10、，求BOE的度数. D 思路点拨：AE平分BAD交BC于E， BAE=45，AB=BE， CAE=15， BAO=BAE+CAE=60，OCB=30, 又OA=OB， BOA是等边三角形， OA=OB=AB， AB=BE OB=BE， 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 BOE是等腰三角形，且OBE=OCB=30， BOE=1=75 2四、矩形的判定 1、矩形的判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 有三个角是直角的四边形是矩形. 2、证明一个四边形是矩形的步骤： 方法一：先证明该四边形是平行四边形，再证一角为直角或对角线相等； 方法二：若一个四边形中的直角较

11、多，则可证三个角为直角. 3、直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 典型例题： 考向6：矩形的判定 1、如图，在ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形 求证：四边形ADCE是矩形. 思路点拨：四边形ABDE是平行四边形， AEBC，AB=DE，AE=BD D为BC的中点， CD=DB CDAE，CD=AE 四边形ADCE是平行四边形 AB=AC， AC=DE 平行四边形ADCE是矩形. 2、已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，点M、N分别为AD、BC的中点 求证：四边形BMDN是矩形 我的新浪博客： 襄阳五中

12、实验中学 思路点拨：ABD和BCD是两个全等的正三角形， AD=BD=AB=BC，ADB=DBC=60， MDBN 又M为AD中点， MD=1AD，MBAD， 2DMB=90 同理BN=1BC， 2MD=BN， 四边形BMDN是平行四边形， 又DMB=90， 平行四边形BMDN是矩形即四边形BMDN是矩形 3、已知：如图，AB=AC，AE=AF，且EAB=FAC，EF=BC求证：四边形EBCF是矩形 AEFBC 思路点拨：AE=AF，EAB= FAC，AB=AC， AEBAFC， EB=FC，ABE=ACF， AB=AC， 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 ABC=ACB， EBC=FCB，

13、EB=FC，EF=BC， 四边形EBCF是平行四边形， EBFC， EBC+FCB=180， EBC=FCB=90， EBCF是矩形. 考向7：直角三角形斜边中线定理 4、如图，在平行四边形ABCD中，以AC为斜边作RtACE，且BED是直角 求证：平行四边形ABCD是矩形 思路点拨：连接EO， 四边形ABCD是平行四边形， AO=CO，BO=DO， 在RtEBD中， O为BD中点， EO=1BD， 21AC， 2在RtAEC中，O为AC中点， EO=AC=BD， 又四边形ABCD是平行四边形， 平行四边形ABCD是矩形 5、如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，M、N分别是AC、B

14、D的中点，求证：MNBD 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 思路点拨：ABC=ADC=90，M是AC的中点， BM=11AC，DM=AC， 22BM=DM， DBM是等腰三角形 N是BD的中点， MNBD 6、如图，已知BD、CE分别是ABC的AC、BC边上的高，G、F分别是BC、DE的中点求证：GFDE 思路点拨：如图，连接EG、FG， BD、CE分别是ABC的AC、BC边上的高，点G是BC的中点 DG=EG=1BC， 2 EGD是等腰三角形 点F是DE的中点， GFDE 五、菱形的性质 1、菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2、菱形的性质： 菱形具有平行四边形的所有性质；

15、 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴，对称中心是对角线交点. 3、菱形的面积公式： 菱形的两条对角线的长分别为a，b，则S菱形=1ab 2典型例题： 考向8：菱形的性质 1、如图，已知菱形ABCD的边长为4cm，BAD=120，对角线AC、BD相交我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长 思路点拨：在菱形ABCD中，BAO=又在ABC中，AB=BC， BCA=BAC=60， ABC=180-BCA-BAC=60， ABC为等边三角形 AC=AB=4cm 在菱形

16、ABCD中，ACBD， AOB为直角三角形， OB=11BAD=120=60 22AB2-AO242-2223 3 BD=2BO=4考向9：菱形的面积公式 1、菱形ABCD的对角线交于O点，AC=16cm，BD=12cm求菱形ABCD的高 思路点拨：作DEAB于E ABCD是菱形，AC=16，BD=12， ACBD，OB=6，OA=8 AB=10 面积S=1ACBD=ABDE， 211612=10DE， 2DE=9.6 即菱形ABCD的高为9.6cm 2、如图，四边形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分别为E、F 求证：BE=BF； 当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长

17、 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 思路点拨：证明：四边形ABCD是菱形， AB=CB，A=C， BEAD、BFCD， AEB=CFB=90， 在ABE和CBF中， A=C AB=CB AEB=CFB=90 ABECBF， BE=BF 如图 对角线AC=8，BD=6， 对角线的一半分别为4、3， 菱形的边长为42+32=5， 菱形的面积=5BE=解得BE=11ACBD=86， 2224 5六、菱形的判定 1、菱形的判定： 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 四条边都相等的四边形是菱形. 2、证明一个四边形是菱形的步骤： 方法一：先证明它是一个平行四边形，然后

18、证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”； 方法二：直接证明“四条边相等”. 典型例题： 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 考向10：菱形的判定 1、如图所示，已知ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为_ 2、如图所示，已知ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F，再过E，F作EGAC，FHAB，垂足分别为G，H，且EG，FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系 AHEBKGFDC 思路点拨：EF与DK互相垂直平分,证明四边形DEKF是菱形. 3、已知：如图，在ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，与A

19、D、BC相交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形 AEOBD 思路点拨：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 七、正方形的性质 1、正方形的定义： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2、正方形的性质： 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，即正方形的四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角. 3、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有四条对称轴，对角线的交点是对称中心. 典型例题： 考向11：正方形的性质 1、下列性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是 A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角

20、线互相垂直且相等 我的新浪博客： FC襄阳五中实验中学 2、如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论AE=BF；AEBF；AO=OE；SAOB=S四边形DEOF中，错误的有 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 思路点拨：错误的结论是：AO=OE，若其成立必有AF=EF，而AF=DEEF,显然矛盾. 3、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQ+PR的值是 A.2 2 B.123 C. D. 232思路点拨：连接BP，过C作CMBD， SBCE=

21、SBPE+SBPC 11+BEPR 221=BC 21=BECM，BC=BE， 2=BCPQPQ+PR=CM， BE=BC=1且正方形对角线BD=又BC=CD，CMBD， M为BD中点，又BDC为直角三角形， CM=2BC=2， 12BD=， 22即PQ+PR值是2 ，故选A 2我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 八、正方形的判定 1、正方形的判定： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 典型例题： 考向12：正方

22、形的判定 1、四边形ABCD的对角线AC=BD，ACBD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是 A正方形 B菱形 C矩形 D任意四边形 2、下列命题中是假命题的是 A一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C一组邻边相等的平行四边形是菱形 D一组邻边相等的矩形是正方形 3、如图，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是 ABC=AC BCFBF CBD=DF DAC=BF 4、如图：在菱形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=

23、CF，AF=DE 求证：ABFDCE； 四边形ABCD是正方形 思路点拨：BE=CF， BF=CE， 又AF=DE，AB=DC， ABFDCE 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 由ABFDCE得B=C， 由ABCD得B+C=180， 得B=C=90， 四边形ABCD是正方形 5、已知：如图，ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E 求证：AODEOC； 连接AC，DE，当B=AEB= 时，四边形ACED是正方形？请说明理由 思路点拨：四边形ABCD是平行四边形， ADBC D=OCE，DAO=E O是CD的中点， OC=OD， 在ADO和ECO中， DOCE DAOCE

24、O DOCO， AODEOC； 当B=AEB=45时，四边形ACED是正方形 AODEOC， OA=OE 又OC=OD， 四边形ACED是平行四边形 B=AEB=45， AB=AE，BAE=90 四边形ABCD是平行四边形， ABCD，AB=CD COE=BAE=90 ACED是菱形 AB=AE，AB=CD， AE=CD 菱形ACED是正方形 6、如图，四边形ABCD为矩形，四边形AEDF为菱形 求证：ABEDCE； 试探究：当矩形ABCD边长满足什么关系时，菱形AEDF为正方形？请说明理由 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 思路点拨：证明：四边形ABCD为矩形， B=C=90，AB=DC，

25、四边形AEDF为菱形， AE=DE， 在RtABE和RtDCE中， ABDC，AEDE RtABERtDCE； 当BC=2AB时，菱形AEDF为正方形 理由：RtABERtDCE， BE=CE，AEB=DEC， 又BC=2AB， AB=BE， BAE=AEB=45， 同理可得，DEC=45， AEB+AED+DEC=180， AED=180-AEB-DEC=90， 菱形AEDF是正方形 九、梯形 1、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 2、等腰梯形的定义： 两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 3、直角梯形的定义： 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形. 4、等腰梯形的性质：

26、角：等腰梯形同一底边上的两个角相等； 边：等腰梯形的两腰相等； 对角线：等腰梯形的两条对角线相等. 5、等腰梯形是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线. 6、梯形的面积公式： 梯形的上底长为a，下底长为b，高为h，则S梯形= 7、等腰梯形的判定： 两腰相等的梯形是等腰梯形； 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形； 我的新浪博客： 1(a+b)h 2襄阳五中实验中学 对角线相等的梯形是等腰梯形. 8、梯形的中位线定义： 连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线. 9、梯形中位线的性质： 梯形的中位线平行于上下底且等于上下底和的一半. 典型例题： 考向13：等腰梯形的性质 1、下列说法中正确的是 A对

27、角线互相垂直的四边形是菱形 B有一个角是60的等腰三角形是等边三角形 C有一组对边相等的四边形是平行四边形 D等腰梯形的对角线互相平分 2、顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 A矩形 B菱形 C正方形 D平行四边形 3、如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=5，BC=8，BAD的平分线交BD于点E，且AECD，则梯形ABCD的周长为 A21 B18 C123 D10 思路点拨：延长AE交BC于F， AE是BAD的平分线， BAF=DAF， ADCB， DAF=AFB， BAF=AFB， AB=BF， AB=5，BC=8， CF=8-5=3， ADBC，AECD， 四边形AFCD是平行

28、四边形， AD=CF=3 梯形ABCD的周长=3+5+5+8=21 故选A 4、如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF求证：GAB是等腰三角形 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 考向14：等腰梯形的判定 5、在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是 ABDC=BCD BABC=DAB CADB=DAC DAOB=BOC 思路点拨：ADB=DAC，ADBC， ADB=DAC=DBC=ACB， OA=OD，OB=OC， AC=BD， ADBC， 四边形ABCD是等腰梯形，故C选项正确. 6、下列

29、说法错误的是 A矩形的对角线相等 B四条边相等的四边形是正方形 C同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 D菱形的对角线互相垂直 7、如图，梯形ABCD中，ADBC，ABDE，DEC=C，求证：梯形ABCD是等腰梯形 思路点拨：ABDE， DEC=B， DEC=C， B=C， 梯形ABCD是等腰梯形 8、如图：已知，四边形ABCD是平行四边形，AEBD，交CD的延长线于点E，EFBC交BC延长线于点F，求证：四边形ABFD是等腰梯形 思路点拨：四边形ABCD是平行四边形， ADBC；ABCD，AB=CD， ABDE； 又AEBD， 四边形ABDE是平行四边形 AB=DE CD=DE 我的新浪博客

30、： 襄阳五中实验中学 EFBC， DF=CD=DE AB=DF CD、DF交于点D， 线段AB与线段DF不平行 四边形ABFD是等腰梯形 考向15：梯形的中位线 9、如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是 A9 B10.5 C12 D15 10、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，两条对角线AC与BD互相垂直，中位线EF的长度为10，则梯形ABCD的面积为 A200 B20 C100 D50 思路点拨：梯形ABCD的中位线EF的长度为10， AD+BC=2EF=20， 过点D作DMAC交BC延长线于点M， 作DNBC于点N，则A

31、D=CM， ACBD， BDM是等腰直角三角形， DN=1=EF=10， 2又EF是梯形的中位线， AD+BC=2EF=20， 故可得梯形ABCD的面积=故选C 11、如图：在梯形ABCD中，CDAB，点F在AB上CF=BF，且CEBC交AD1DN=100 2于E，连接EF已知EFCE， 若CF=10，CE=8，求BC的长 若点E是AD的中点，求证：AF+DC=BF 我的新浪博客： 襄阳五中实验中学 思路点拨：过点F作FHBC于点H， CEBC，EFCE， 四边形CEFH是矩形， CH=EF， 在RtCEF中，CF=10，CE=8， EF=6， CH=6， CF=BF， BC=2CH=12 连接EH，交CF于点G， 四边形CEFH是矩形， CG=GF，EG=GH， EG是梯形ADCF的中位线，GH是BCF的中位线， EG=11，GH=BF， 22AF+DC=BF 12、如图，在ABC中，ACB=90，DE是ABC的中位线，点F在AC延长上，且CF=1AC求证：四边形ADEF是等腰梯形 2 思路点拨：DE是ABC的中位线， DEAC，且DE=DEAF， 四边形ADEF是梯形 连接CD D为AB中点， CD=1AC 2