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1、经济数学基础讲义 第7章 多元函数微分学第4章 多元函数微分学 4.2.1 二元函数的概念 多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较 一元函数是含有一个自变量的函数：y=f(x)。多元函数是含有多个自变量的函数，例如： 二元函数：z=f(x,y)，三元函数：u=f(x,y,z)等等 例1 如果圆锥体底半径为r,高为h，则其体积v v是因变量r和h是自变量，D=(r,h)r0,h0. 它是二元函数.其中，.定义域：例2黑白电视：在t时刻屏幕上坐标为(x,y)处的灰度z为：z=z(x,y,t)，它是三元函数. 例3在一个有火炉的房间里，在t时刻，点(x,y,z)处的温度u是x,y,z,t的函数：
2、u=u(x,y,z,t)，称为温度分布函数，它是四元函数 例4 求函数z=a2-x2-y2的定义域 解：a2-x2-y20，定义域为D=(x,y)x+ya 例5 求z=222ln(x+y)的定义域 y解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有 y0 x+y0D=(x,y)y0,x+y0 4.3 4.4偏导数 二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处关于x的偏导数 Dx0limf(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dx记作：z或fx(x0,y0).类似地，关于y的偏导数： x(x0,y0)limf(x0,y0+Dy)-f(x0,y0)DyDy0例如：z=x2sin3y 1 z=fy(
3、x,y)=3x2cos3y yz=fy(1,0)=3x2cos3y(1,0) y(1,0) =3求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x求偏导，一个是对y求偏导.对x求偏导时，应把y看作常数.这样z就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y求偏导也类似. 注意： 一元函数y=f(x)在x0处可导，则在x0处连续. 多元函数z=f(x,y)在(x0,y0)可导和在(x0,y0)连续，二者不能互推. 全微分 z=f(x,y)称 zzDx+Dyxyzz=dx+dyxydz=为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分. 例1: 求z=f(x,y)=x2sin3y在点(1,0)处关于x
4、的偏导数. z=2xsin3y(1,0)=0 =2xsin3y，解： 将y看作常数，x(1,0)x2例2: 求z=xy+zy在点(1,-1)处的全微分. xzyz12=(2xy-)=-2+1=-1=(x+)=2 解： ，2x(1,-1)x(1,-1)y(1,-1)x(1,-1)因此，dz=-dx+2dy 4.5 复合函数与隐函数微分法 复合函数求导法 设z=f(u,v)，而u=u(x,y)，v=v(x,y)，则 zzuzvzzuzv=+=+， yuyvyxuxvx2 例1: z=exysin(x+y). 解法1：设u=xy，v=x+y，则z=eusinv zzuzv=+=(eusinv)y+(
5、eucosv)1=yexysin(x+y)+exycos(x+y) xuxvxz=eusinv，u=xy，v=x+y zzuzv=+=(eusinv)x+(eucosv)1=xexysin(x+y)+exycos(x+y) yuyvy 解法2：z(exy)(sin(x+y)=yexysin(x+y)+exycos(x+y) =sin(x+y)+exyxxx同理，z=xexysin(x+y)+exycos(x+y) yzz, xyzzuzv=fuy+fv1=yfu+fv =+xuxvx例2:z=f(xy,x+y)，求解:设u=xy,v=x+y,则z=f(u,v)，zzuzv=+=fux+fv1=
6、xfu+fv yuyvy例3 z=f(x,xy2)，求解: 设u=x,v=xy2,则z=f(u,v)，zzuzv=+=fu1+fvy2 xuxvx=fu+y2fv=2xyfv 例4 z=f(3x2,sinx)，求dz dx注意：f是二元函数：f(u,v)， u=3x2,v=sinx 而z是关于u,v的二元函数，最终是关于x的一元函数 dzzduzdv=fu6x+fvcosx =+dxudxvdxzz, 例5 z=f(xy)，求xy23注意：f是一元函数，而z是关于x,y的二元函数 3 zuzu3=f=f3x2y2 =f=f2xy，z=f(u),u=xy，yyxx23例6 方程F(x,y)=x2
7、+y2-a2=0(y0)其图形为上半圆周，相应的函数为dy-2xx=-。显然， y=y(x)=a-xdx2a2-x2y22另一种观点：x2+y2-a2=0，x2+y2(x)-a20 xd:2x+2yy=0，y=- ydx例7 设函数y=y(x)由方程xlny+yexy-2=0所确定，求 y(x) 解: 无法由已知方程解出y(x)但此y(x)应满足 xlny(x)+y(x)exy(x)-20 dy:lny+x+yexy+yexy(y+xy)=0 dxyylny+y3exy由此解出y:y=-， xy2xyx+ye+xye4.6 二元函数的极值 二元函数的极值 多元函数极值的概念与一元函数极值的概念
8、类似 若对(x0,y0)附近的(x,y)均有f(x0,y0)f(x,y)，则称(x0,y0)是f(x,y)的极小点，f(x0,y0)是极小值若，则称是的极大点，是极大值 极大值点、极小值点统称为极值点极大值、极小值统称为极值 极值存在的必要条件 若一元函数y=f(x)在x0处可导，且x0是极值点，则f(x0)=0 若二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处可导，且(x0,y0)是极值点，则 fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0 二元函数最大值、最小值 若z=f(x,y)在闭区域D内连续，则z=f(x,y)在D内必有最大值和最小值 若z=f(x,y)在D内可导，且在D内有唯一驻点(x
9、0,y0)，则z=f(x,y)在该驻点4 (x0,y0)处的值就是最大值或最小值 下面我们总结一下求最大值最小值应用问题的步骤： 根据题意，建立函数关系； 求驻点； 如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点 例2 用铁皮做一个体积为V的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？ 解：设长、宽分别为x,y，则高为V，表面积为 xy S=xy+2xVVVV+2y=xy+2+2 xyxyyx=y- Sx2V2VS=x-=0 =0，y22yx3V2V 解得x=y=2V，此时高为 =xy233答：当长、宽、高分别为32V、32V、2V时，无盖箱子用料最省 24.6.3 条件极值 在例
10、2中，给定体积V，求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V下的最小值 拉格朗日乘数法 求函数f(x,y,z)在条件f(x,y,z)=0下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法： 令拉格朗日函数：F=f(x,y,z)+lf(x,y,z) 求F=f(x,y,z)+lf(x,y,z)的极值： FFF=0,=0,=0, xyzF=f(x,y,z)=0 l解此方程组 用拉格朗日乘数法解例2： 求原题即为求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V下的最小值 令L=xy+2xh+2yh+l(xyh-V) 5 L=y+2h+lyh=0,xL=x+2h+lxh=0, yL=2x+2y+lxy=0,h xyh=V 由此可得： y+2hyh=x+2hxh=2x+2yxy=-l 解得x=y=2h 由此可得： y+2hx+2yh=hxh=2x+2yxy=-l 解得x=y=2h 再由xyh=V，解得x=y=2h=32V 6
